Il-Kontribuzzjonijiet Tiegħi

Émile Édouard Charles Antoine Zola, magħruf aħjar bħala Émile Zola (Pariġi, 2 ta' April1840, 29 ta' Settembru 1902), kien kittieb Franċiż, meqjus bħala missier in-naturaliżmu ul-akbar rappreżentant tiegħu. Kiteb artiklu relevanti ħafna għar-reviżjoni tal-proċess ta' Alfred Dreyfus, li qamlu l-eżilju minn pajjiżu.

Bijografija

Émile Zola twieled Pariġi, bin François Zola, inġinier Venezjan naturalizata, u l-Franċiża Émilie Aubert. Il-familja marret toqgħod Aix-en-Provence u kellha problemi eknomi ġravi bil-mewt kmieni tal-missier. Kellu bħala ħabib tal-iskola lill-pittur Paul Cézanne,^[1] li miegħu żamm ħbiberija fit-tul u tal-qalb. Mar Pariġi fl-1858. Fl-1859, Émile Zola ippospona darbtejn l-eżami tal-bakkalawrjat. Billi ma kienx ikun ta' piż għal ommu, abbanduna l-istudji bl-iskop li jfittex ix-xogħol.

Fl-1862 daħal jaħdem mal-ħanut tal-kotba Hachette^[1] bħala assisstent. Kiteb l-ewwel test u kkolabora fil-kolonni letterarji ta' diversi gazzetti. Mill-1866, rawwem ħbiberija ma' personalitajiet bħal Édouard Manet, Camille Pissarro u l-aħwa Goncourt.

Fl-1868 ġietu l-idea għall-proġett ta' Les Rougon-Macquart, li beda fl-1871 u temm fl-1893. L-għan tiegħu kien li joħloq rumanz "fiżjoloġiku" li fih kellu l-ħsieb li japplika xi ftit mit-teoriji ta' Taine dwar l-nfluwenza tar-razza u l-ambjent fuq l-individwu u ta' Claude Bernard dwar l-eredità. "Irrid nispjega kif familja, ġemgħa żgħira ta' bnedmin, iġġib ruħha f'soċjetà, waqt li tiżviluppa bit-twelid ta' għaxra jew għoxrin minn nies li mal-ewwel daqqa t'għajn jidhru profundament differenti, imma li l-analiżi turi li huma intimament marbutin ma' xulxin," qal Zola fid-daħla tal-ewwel rumanz tas-saga, li segwa f'parti minnha l-mudell ta' Honoré de Balzac fil-Kummiedja Umana. Is-sottotitlu tas-sensiela jgħid Storia naturali u soċjali ta' familja baxxa fit-Tieni Imperu.

Ix-xogħol hu magħmul minn għoxrin rumanz u jibda b'Il- Fortuna tal-Familja Rougon fl-1871: ritratt soċjali li jimxi mal-iskema tan-naturaliżmu fih doża qawwija ta' vjolenża u dramma u kultant kien espliċitu żżejjed għall-gosti tal-epoka. Ir-rumanzi mingħajr dubju huma maħdumin b'immaġinazzjoni kbira.

Fl-1870 iżżewweġ lil Alexandrine Mélay. Mill-1873, kellu kuntatt ma' Gustave Flaubert y Alphonse Daudet. Kien jaf lil Joris-Karl Huysmans, Paul Alexis, Léon Hennique u Guy de Maupassant li kellhom id-drawwa jiltaqgħu miegħu filgħaxija f'Médan, post qrib Poissy fejn mill-1878 Zola kellu dar żgħira tal-kampanja. Għamel ruħu l-lider tan-naturalisti. Sentejn wra deher volum kollettiv li twieled minn dawn il-Filgħaxijiet.

Fl-1886, Zola u Cézanne tbegħdu, u dan kien attribwit, però mingħajr bażi, għax-xebh bejn Paul Cézanne, il-ħabib u pittur mal-persunaġġ ta' Claude Lantier, pittur li ma rnexxiex fir-rumanz L'Œuvrer ta' Zola. Infatti xi wħud mill-karatteristiċi tal-personalità biss - pereżempju, id-drawwiet, il-valuri, u l-mod ta' kif jaħdem il-persunaġġ fil-ktieb - kienu ispirati min-noti li Zola ħa mill-ħajja ta’ ħabibu. Ix-xogħol plastiku fittizju ta' Claude Lantier kien ispirat mill-interpretazzjoni ta' Zola stess ta' grupp ta' pitturi li kien jaf sew, fosthom Manet. Il-kawża vera tal-firda bejniethom x'aktarx kienet l-Affari Dreyfus li fiha kienu fuq naħat opposti.^[2]

Criticó habitualmente los criterios utilizados en las exposiciones de arte oficiales del siglo XIX, en las que se rechazaba de forma continuada las nuevas obras impresionistas.

Min-naħa l-oħra il-pubblikazzjoni ta' La Terre qajmet polemika, dan ir-rumanz kien wieħed mill-aktar grafikament vjolenti u sesswalment espliċiti. Fih, l-isforzi ta' Zola biex jikxef in-naħa moħbija tas-soċjetà kontemporanja laħqu l-aqwa tagħhom, l-ebda wieħed miir-rumanzi tas-sensiela Rougon-Macquart l-oħra jiddeskrivu materjal daqshekk sensazzjonali. Wara l-pubblikazzjoni ta' dan ir-rumanz fil-ġurnal Le Figaro fit-18 ta' Awwissu tal-1887 deher il-Manifeste des Cinq, manifest indirizzat lil Émile Zola. Kien forma ta' ittra miftuħa lil Zolaf u ffirmat minn ħames kittieba żagħżagħ qrib tas-salon letterarju informali ta' Edmond de Goncourt imsejjaħ Le Grenier : Paul Bonnetain, J.-H. Rosny, Lucien Descaves, Paul Margueritte u Gustave Guiches. KDawn kienu jagħmlu dik li tissejjaħ it-tielet ġenerazzjoni tan-nauralisti. Edmond de Goncourt iddissoċja ruħu kompletament minn din l-ittra u fil-ġurnal tiegħu sejħilha "għemil ħażin". Il-manifest, waqt li rrikonoxxa t-talent ta' Zola, ċanfru għax waqa' fil-vulgarità, li kien nieqes mis-serjetà u moħħu fil-bejgħ.^[3]

Fl-1890, ġie miċħud milli jidħol fl-Académie Francaise. Fl-1894 is-Santa Sede poġġiet ix-xogħlijiet kollha tiegħu fuq l-Indiċi tal-Kotba Projbiti tal-Knisja Kattolika.^[4]

El caso Dreyfus

Mudell:AP left|thumb|Portada de L'Aurore de 13 de enero de 1898 con la carta J’accuse…! de Zola. Desde 1897, Zola se implicó en el caso Dreyfus, un militar francés, de origen judío, culpado falsamente por espía.

El novelista interviene en el debate dada la campaña antisemita, y apoya la causa de los judíos franceses. Escribe varios artículos, donde figura la frase "la verdad está en camino y nadie la detendrá" (12-1897). Finalmente publicó en el diario L'Aurore su famoso J’accuse…! (Carta al Presidente de la República), 1898, con trescientos mil ejemplares, lo que hizo que el proceso de revisión tuviera un brusco giro. Pues el verdadero traidor (el que espió) fue el comandante Walsin Esterházy, que fue denunciado en un Consejo de Guerra el 10 de enero de 1898, pero sin éxito.

La versión íntegra en español del alegato en favor del capitán Alfred Dreyfus, dirigido por Émile Zola mediante esa carta abierta al presidente francés M. Felix Faure, y publicado por el diario L'Aurore, el 13 de enero de 1898, en su primera plana, es la siguiente:

Mudell:Cita miniaturadeimagen|Caricatura de Zola, caracterizado como un cerdo, en Musée des Horreurs una serie de caricaturas antidreyfusistas y antisemitas publicada en Francia entre 1899 y 1900. Era la primera síntesis del proceso, y se leyó en todo el mundo. La reacción del gobierno fue inmediata. Un agitado proceso por difamación (con gran violencia, centenares de testigos, incoherencias y ocultaciones por parte de la acusación) le condenó a un año de cárcel y a una multa de 7500 francos (con los gastos), que pagó su amigo y escritor Octave Mirbeau.

Agobiado por la agitación que causó su proceso, Zola se exilió en Londres, donde vivió en secreto. A su regreso, publicó en La Vérité en marche sus artículos sobre el caso. Solo en junio de 1899, con la prosecución del proceso, puede regresar a su país. Pero Alfred Dreyfus es condenado, con atenuantes, y Zola le escribe nada más llegar. Zola adquiere una gran dimensión social y política, pero tiene grandes problemas económicos (la justicia le embarga bienes) y es puesto en la picota por medios muy influyentes.

Últimos libros

Escribió finalmente dos ciclos de novelas más, pese a su salud. La primera, fue la gruesa serie de Las tres ciudades, trilogía compuesta por Lourdes (1894), Roma (1896), París (1898). La segunda fue la tetralogía que denominó Los cuatro evangelios, formada por Fecundidad (1899), Trabajo (1901), Verdad (1903)^[3]y la inconclusa Justicia.

En un artículo largo y famoso, un escritor tan distinto, Henry James, que llegó a conocerle, señaló el carácter mecánico y poco enérgico de esas últimas obras, pero hacía el siguiente balance global: "nuestro autor era verdaderamente grande para tratar asuntos que le eran apropiados. Si los otros, los asuntos de orden personal o íntimo, más o menos inevitablemente lo hacían 'traicionarse', le cabe no obstante el gran honor de que cuanto más promiscuo y colectivo podía ser, aun cuanto más podía ilustrar nuestra gran porción natural de salud, sinceridad y grosería (por repetir mi impugnación), más podía impresionarnos como penetrante y verídico. No fue un honor fácil de alcanzar ni es probable que su nombre lo pierda en poco tiempo".^[5]

Muerte

Zola no pudo acabar ese ciclo de Les quatre évangiles, pues el 29 de septiembre de 1902 murió en su casa, supuestamente asfixiado, pero más probablemente asesinado por alguien que tapó la chimenea de una estufa (ya uno de los abogados de Dreyfus, Fernand Labori, había padecido un intento de asesinato).

Zola y su mujer, después de cenar y charlar sobre la última edición de los tres primeros tomos de Les quatre évangiles, se acostaron. De madrugada, su esposa se encontró enferma, fue al cuarto de baño y al regresar encontró a Zola despierto y también mal. Cuando este se levantó cayó al suelo y su mujer trató de llamar al servicio, pero se desvaneció sobre la cama.

Su entierro se celebró el domingo 5 de octubre con asistencia de un gentío inmenso. El Nobel de Literatura Anatole France proclamó un discurso que terminaba así: «No le compadezcamos por haber padecido; envidiémosle. Erigido sobre el cúmulo de ultrajes que la estupidez, la ignorancia y la maldad hayan jamás provocado. Su gloria alcanza una altura inaccesible. Envidiémosle, su destino y su corazón le concedieron la mayor recompensa: ha sido un momento de la conciencia humana».

Estuvo seis años enterrado en el cementerio de Montmartre, en París, pero sus cenizas fueron trasladadas al Panteón el 4 de junio de 1908, máximo honor en Francia.

Se rehabilitó tardíamente a Alfred Dreyfus en 1906.

Obras

[[Archivo:Zola grave on cimetiere de montmartre paris 01.JPG|thumb|Tumba de Zola en el Cementerio de Montmartre.]]

Año	Obra	Género literario
1864	Contes à Ninon (Cuentos a Ninon)	Cuento
1865	La Confession de Claude (La confesión de Claudio)	Cuento
1867	Les Mystères de Marseille	Novela
1868	Thérèse Raquin (Teresa Raquin)	Novela
1871	La Fortune des Rougon (La fortuna de los Rougon)	Novela
1871	La Curée (La jauría)	Novela
1873	Le Ventre de Paris (El vientre de París)	Novela
1874	La Conquête de Plassans (La conquista de Plassans)	Novela
1875	La Faute de l'Abbé Mouret (La caída del abate Mouret)	Novela
1876	Son Excellence Eugène Rougon (Su Excelencia Eugène Rougon)	Novela
1877	L'Assommoir (La taberna)	Novela
1877	L'Attaque du moulin	Cuento
1880	L'Inondation (La inundación)	Novela
1880	Nana	Novela
1883	Au Bonheur des Dames (El paraíso de las damas)	Novela
1884	La Joie de vivre (La alegría de vivir)	Novela
1885	Germinal (Germinal)	Novela
1886	L'Œuvre (La obra)	Novela
1887	La Terre (La tierra)	Novela
1888	Le Rêve (El sueño)	Novela
1890	La Bête humaine (La bestia humana)	Novela
1891	L'Argent (El dinero)	Novela
1892	La Débâcle (El desastre)	Novela
1893	Le Docteur Pascal (El doctor Pascal)	Novela
1894	Lourdes	Novela
1896	Rome (Roma)	Novela
1898	Paris (París)	Novela
1899	Fécondité (Fecundidad)	Novela
1901	Travail (Trabajo)	Novela
1903	Vérité (Verdad)	Póstumo
-	Justice (solo notas preparatorias)	-
1898	Messidor	Poesía
1901	L'Ouragan	Poesía
1861	Perrette	Teatro
1874	Les Héritiers Rabourdin	Teatro
1878	Le Bouton de rose	Teatro
1880	La novela experimental	Ensayo
1881	La escuela naturalista	Ensayo
1881	El naturalismo en el teatro	Ensayo

Referencias

Mudell:Listaref

Bibliografía

Bravo Castillo, Juan: "Émile Zola y la novela naturalista", en Grandes hitos de la historia de la novela euroamericana. Vol. II: El siglo XIX: los grandes maestros. Madrid, Cátedra, 2010, pp. 767-818.
James, Henry: "Émile Zola", en El futuro de la novela, Taurus, 1975, pp. 157-186.
Leopold, Stephan: "Die messianische Überwindung des mortalistischen Abgrundes: Zolas Le docteur Pascal und Les Quatre Évangiles", en: Stephan Leopold y Dietrich Scholler (eds.), Von der Dekadenz zu den neuen Lebensdiskursen. Französische Literatur und Kultur zwischen Sedan und Vichy, Múnich, Fink 2010, pp. 141-167.
Levin, Harry: El realismo francés, Laia, Barcelona, 1974.
Mitterrand, Henry: Zola et le naturalisme, Presses Universitaires de France, París, 1986.
Zola, Émile: El naturalismo, Península, Barcelona, 1972, selección de Le roman expérimental, traducción, introducción y notas de Laureano Bonet.

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Sistema Dinamika

Klassifikazzjoni

Sistemi kontinwi

Data una varietà $S$ , sia $v:S\to S$ un campo vettoriale differenziabile, cioè che associa ad ogni punto $z\in S$ un vettore le cui coordinate sono legate alle coordinate di $z$ (definite in un suo intorno rispetto a qualche base) tramite una funzione differenziabile. Un sistema dinamico è definito dall'equazione autonoma (l'equazione del moto per sistemi meccanici):

Mogħtijin varjetà $S$ , ħa $v:S\to S$ tkun kamp vettorjali differenzjabbli, jiġifieri li jassoċja kull punt $z\in S$ vettur li l-koordinati tiegħu huma marbuta mal-koordinati ta' $z$ (definite in un suo intorno rispetto a qualche base) tramite una funzione differenziabile. Un sistema dinamico è definito dall'equazione autonoma (l'equazione del moto per sistemi meccanici):

v(z)={\frac {dz}{dt}}.

Trattandosi di un'equazione differenziale ordinaria, il relativo teorema di esistenza e unicità della soluzione stabilisce che preso un punto iniziale $z_{0}$ esiste un intervallo $-a\leq t\leq b$ , con $a,b>0$ , in cui il sistema dinamico ha una soluzione unica $z(t)=\phi _{t}(z_{0})$ .

Se la soluzione (traiettoria) esiste per tutti i tempi e per qualsiasi scelta del punto iniziale $z_{0}$ si ha che il tempo può scorrere nel verso contrario, ovvero è possibile predire il passato conoscendo uno stato del sistema nel futuro. In particolare, si verifica che $\phi _{t}^{-1}=\phi _{-t}$ e l'insieme delle $\phi _{t}$ forma un gruppo continuo ad un parametro di diffeomorfismi su $S$ .

La struttura matematica che viene assegnata allo spazio delle fasi $M$ dipende comunque dal contesto; solitamente è uno spazio topologico, in cui ha senso parlare di continuità nell'evoluzione temporale dello stato. Uno spazio topologico in cui è possibile l'utilizzo di strumenti metrici e differenziali è ad esempio la varietà differenziabile, una delle strutture più utilizzate in quanto risulta particolarmente adatta per modellare i sistemi fisici. Per i sistemi nei quali allo stato viene associata una nozione di misura, ad esempio una probabilità, si utilizza uno spazio misurabile. Si richiede inoltre che il flusso $\Phi$ sia compatibile con la struttura di $M$ : nel caso in cui $M$ sia rispettivamente uno spazio topologico, uno spazio misurabile, una varietà differenziabile o una varietà complessa, $\Phi$ è un omeomorfismo, una funzione misurabile, un diffeomorfismo o una funzione olomorfa.

Sistemi discreti

I sistemi dinamici discreti sono definiti da un'iterazione del tipo:

X_{n+1}=f(X_{n})\qquad n\geq 0,

di una funzione $f:S\to S$ , con $S\subset \mathbb {R} ^{n}$ . Può essere vista come un'equazione alle differenze:

X_{n+1}-X_{n}=f(X_{n})-X_{n}\qquad n\geq 0,

che definendo $F(X_{n})=f(X_{n})-X_{n}$ assume la stessa forma dell'equazione differenziale ordinaria del caso continuo.

Le orbite di un sistema discreto sono una successione di stati $\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ . Il gruppo di trasformazioni è quindi dato dall'insieme:

G=\{Id,f,f^{2},f^{3},\dots f^{n},\dots \}.

dove l'espressione $f^{k}$ indica la composizione di funzioni $f\circ \dots \circ f$ di $f$ con sé stessa iterata $k$ volte.

Classificazione in base a ingressi e uscite

In ambito ingegneristico i sistemi dinamici vengono classificati in base al numero di variabili d'ingresso e d'uscita, si hanno infatti:

sistemi a singolo ingresso e singola uscita (SISO, dall'inglese single input-single output);
sistemi a ingresso multiplo e uscita multipla (MIMO, dall'inglese multiple input-multiple output);

e meno frequentemente:

sistemi a singolo ingresso e uscita multipla (SIMO, dall'inglese single input-multiple output);
sistemi a ingresso multiplo e singola uscita (MISO, dall'inglese multiple input-single output).

Sistemi lineari

Mudell:Vedi anche

Una tecnica utilizzata per studiare un problema non lineare ${\dot {x}}=f(x(t))$ nelle vicinanze di un punto di equilibrio è quella di approssimarlo ad un sistema lineare ${\dot {z}}=J_{f}(x_{0})\cdot z(t)$ in un intorno del punto di equilibrio tramite la matrice jacobiana $J_{f}$ di $f$ . A seconda del comportamento del sistema (a seconda del determinante di $J_{f}$ ) l'equilibrio è classificato come stabile, asintoticamente stabile

Una classe molto importante di sistemi dinamici è quella dei sistemi lineari, in cui il legame tra variabili di ingresso e l'uscita è lineare. Sono utilizzati ad esempio nella teoria dei segnali o nella teoria dei circuiti, e spesso sono analizzati in frequenza tramite l'utilizzo di trasformate integrali, come la trasformata di Fourier o la trasformata di Laplace.

Un sistema lineare di $n$ stati $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ , $m$ input $\mathbf {u} \in \mathbb {R} ^{m}$ e $q$ uscite $\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{q}$ viene descritto da un'equazione del tipo:^[6]

{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t),

\mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t),

dove $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ , $B\in \mathbb {R} ^{n\times m}$ , $C\in \mathbb {R} ^{q\times n}$ e $D\in \mathbb {R} ^{q\times m}$ sono matrici (che nel caso stazionario non dipendono dal tempo).

Sistemi lineari e stazionari

Mudell:Vedi anche Un sistema dinamico lineare e stazionario è anche detto lineare tempo-invariante, abbreviato spesso con la sigla LTI (dall'inglese Linear Time-Invariant). Nel caso di un sistema continuo, è caratterizzato dal fatto che l'uscita $y(t)$ per un segnale in ingresso $x(t)$ è descritta dalla convoluzione:

y(t)=x(t)*h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\operatorname {d} \tau =\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\operatorname {d} \tau

dove $h(t)$ è la risposta impulsiva, ovvero la risposta del sistema quando l'ingresso $x(t)$ è una funzione a delta di Dirac. Se la funzione $h(\tau )$ è nulla quando $\tau <0$ allora $y(t)$ dipende soltanto dai valori assunti da $x$ precedentemente al tempo $t$ , ed il sistema è detto causale.

Un sistema a tempo discreto trasforma la successione in ingresso $\{x\}$ in un'altra successione $\{y\}$ , data dalla convoluzione discreta con la risposta $h$ alla delta di Kronecker:

y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k].

Gli elementi di $\{y\}$ possono dipendere da ogni elemento di $\{x\}$ . Solitamente $y[n]$ dipende maggiormente dagli elementi in prossimità del tempo $n$ .

I sistemi lineari stazionari sono spesso descritti nel dominio della frequenza (risposta in frequenza) attraverso la funzione di trasferimento, definita come la trasformata di Laplace della risposta all'impulso a Delta.

Sistemi strettamente propri

Un ulteriore classificazione per i sistemi lineari li divide in strettamente propri (o puramente dinamici) quando l'uscita dipende esclusivamente dagli stati del sistema, e in tal caso nella rappresentazione matriciale ciò corrisponde a una matrice $D(t)$ nulla, mentre si parla di sistema improprio in tutti gli altri casi. Un caso particolare di sistema proprio si ha quando è la matrice $C(t)$ ad azzerarsi, in tal caso il sistema è detto non dinamico e non è necessario ricorrere a variabili di stato per rappresentarlo, poiché il legame fra ingresso e uscita è istantaneo.^[7] È possibile dimostrare che un sistema puramente dinamico ha funzione di trasferimento con grado del numeratore minore a quello del denominatore mentre un sistema non dinamico ha, ovviamente, funzione di trasferimento con grado zero.

Sistemi non lineari

Mudell:Vedi anche

Din is-sezzjoni għadha vojta. Għinna biex niktbuha!

Sistemi complessi

Mudell:Vedi anche In fisica moderna un sistema complesso è un sistema dinamico a multicomponenti ovvero composto da diversi sottosistemi che tipicamente interagiscono tra loro. Tali sistemi vengono studiati tipicamente attraverso apposite metodologie di indagine di tipo "olistico" ovvero come computazione "in toto" ("il tutto è maggiore della somma delle singole parti") dei comportamenti dei singoli sottosistemi assieme alle loro reciproche interazioni (eventualmente non-lineari), descrivibili analiticamente tramite modelli matematici, anziché in maniera "riduzionistica" (cioè scomponendo e analizzando il sistema nei suoi componenti).

Analisi

Mudell:Vedi anche L'analisi dei sistemi dinamici o è lo studio del comportamento dei sistemi medesimi. Dal momento che la definizione di sistema dinamico è molto generale, sono diverse le discipline che propongono un modello matematico di sistema dinamico in riferimento a contesti particolari.

Ad esempio, in meccanica classica le equazioni del moto di Newton sono state riformulate dalla meccanica lagrangiana e dalla meccanica hamiltoniana, mentre in ingegneria i sistemi dinamici - che possono essere ad esempio circuiti - hanno una uscita (output) e un ingresso (input). Nel caso gli ingressi siano sottoposti ad un segnale aggiuntivo di controllo, si entra nell'ambito dell'analisi dei sistemi di controllo.

In tutti i casi, l'analisi dei sistemi dinamici viene effettuata impostando un sistema di una o più equazioni differenziali per le quali si specificano dei dati iniziali.

Rappresentazione nel dominio del tempo e della frequenza

Mudell:Vedi anche

Descrizione di un sistema LTI nel dominio del tempo (in blu) e nel dominio delle frequenze (la trasformata di Laplace è mostrata in rosso).

In matematica, ingegneria, fisica, statistica, e altri ambiti delle scienze, l'analisi nel dominio della frequenza di una funzione del tempo (o segnale) ne indica la descrizione in termini dell'insieme (spettro) delle sue frequenze. Ad esempio, è una pratica diffusa nell'ambito delle tecnologie audiovisive e nelle telecomunicazioni valutare quanto un segnale elettrico o elettromagnetico sia compreso in bande di frequenze di particolare interesse.

Rappresentazione nello spazio di stato

Mudell:Vedi anche In fisica matematica, in particolare in meccanica razionale e nella teoria dei sistemi dinamici, una 'rappresentazione in spazio di stato, nota anche come rappresentazione in spazio di fase, è una descrizione di un sistema dinamico in cui si fa particolare riferimento alle variabili di stato del sistema, le quali formano uno spazio vettoriale in cui esso viene rappresentato. La dimensione del suddetto spazio vettoriale è pari al doppio del numero di gradi di libertà del sistema; viceversa, uno spazio vettoriale che abbia dimensione pari al numero di gradi di libertà riuscirà a tener conto soltanto dello stato del sistema in un singolo istante.

Rappresentazione grafica

Traiettorie di stato

Supponendo di perturbare un sistema ed osservando la traiettoria di una grandezza di interesse, si verificano casi di particolare interesse quando l'evoluzione tenderà a stabilizzarsi in una posizione di equilibrio, ovvero un punto fisso dell'evoluzione del sistema.

Gli equilibri di un sistema cambiano al variare di ingressi e disturbi (supposti costanti), ad esempio modificando la tensione ai capi di un motore varia la velocità raggiunta a regime. Lo studio degli equilibri di un sistema dinamico è di estremo interesse, tipicamente i problemi di controllo possono essere interpretati come una modifica del punto di equilibrio di un dato sistema. Un esempio semplice è dato dall'equilibrio termico di un appartamento, la cui temperatura interna è l'equilibrio imposto dalle condizioni ambientali ed interne. L'utilizzo di un condizionatore d'aria (sistema di controllo) modificando la temperatura interna alla stanza non fa altro che modificare il punto di equilibrio del sistema.

Modello a scatole

Mudell:Vedi anche

Modello black box

Nell'ingegneria dei sistemi un sistema può essere modellizzato graficamente tramite una scomposizione in un insieme di sottosistemi collegati tra loro in vario modo (serie, parallelo, retroazione ecc...), ciascuno dei quali è identificato da uno scatolotto il cui funzionamento o comportamento è descritto da una funzione di sottoprocesso che esso svolge all'interno del sistema generale. Lo schema risultante si darà schema a blocchi del sistema (si veda Modello black-box, Modello white-box e Modello grey-box).

L'analisi di tali sistemi può essere fatta tramite l'ottenimento della cosiddetta funzione di trasferimento ovvero il rapporto tra la trasformata di laplace dell'ingresso e la trasformata dell'uscita ovvero tramite la cosiddetta risposta impulsiva, antitrasformata della funzione di trasferimento ovvero risposta da un impulso semplice dove l'uscita viene computata nel dominio del tempo dalla convoluzione di tale risposta impulsiva con l'ingresso desiderato ovvero con il prodotto della funzione di trasferimento per l'ingresso trasformato e poi il tutto antitrasformatato. Altro modo di rappresentazione analogo è il modello autoregressivo ingresso-stato-uscita a media mobile (ARMA).

Stabilità e punti di equilibrio

Mudell:Vedi anche

Stabilità in un sistema dinamico in prossimità del punto di equilibrio $x_{0}$ : le soluzioni che partono dentro $V$ rimangono in $U$ per tutta l'evoluzione del sistema.

Si possono definire diversi tipi di stabilità per un sistema dinamico, ad esempio la stabilità esterna, anche detta stabilità BIBO (da Bounded Input, Bounded Output), ovvero la proprietà di avere un'uscita limitata se l'ingresso è limitato, oppure la stabilità interna, che si riferisce alla capacità di tornare in una configurazione di equilibrio dopo una perturbazione dello stato di equilibrio stesso. La stabilità esterna viene generalmente utilizzata per analizzare il comportamento di sistemi lineari stazionari (per i quali si valutano i poli della funzione di trasferimento), mentre la stabilità interna sfrutta la rappresentazione in spazio di stato del sistema ed è stata studiata in particolare da Aleksandr Michajlovič Ljapunov.

L'analisi della stabilità di un sistema meccanico è collegata con il fatto che il sistema, se lasciato libero di evolvere, tende spontaneamente a portarsi in una configurazione dove la sua energia potenziale è minima: tale configurazione che corrisponde ad uno stato di equilibrio stabile (si veda il teorema di Lagrange-Dirichlet).

Stabilità interna

Mudell:Vedi anche In matematica, la stabilità interna o stabilità di Ljapunov di un sistema dinamico è un modo per caratterizzare la stabilità delle traiettorie compiute dal sistema nello spazio delle fasi in seguito ad una sua perturbazione in prossimità di un punto di equilibrio. Un punto di equilibrio è detto stabile (secondo Ljapunov) se ogni orbita del sistema che parte sufficientemente vicina al punto di equilibrio rimane nelle vicinanze del punto di equilibrio, ed è detto asintoticamente stabile se l'orbita converge al punto al crescere infinito del tempo.

Stabilità esterna

Mudell:Vedi anche Un sistema è stabile esternamente (BIBO stabile) se ad un ingresso limitato corrisponde una uscita limitata. La limitatezza di una funzione scalare $f$ è generalmente definita in tale contesto dal fatto che esiste un $M<\infty$ tale che:

\sup _{t\geq 0}|f(t)|<M.

Nel caso di sistemi dinamici lineari, un sistema lineare è BIBO stabile se e solo se la risposta impulsiva $h(t)$ è assolutamente integrabile, cioè esiste un $M'<\infty$ tale che:^[8]

\int _{-\infty }^{\infty }|h(\tau )|d\tau <M'.

Stabilità strutturale

Mudell:Vedi anche In matematica, la stabilità strutturale è una proprietà fondamentale dei sistemi dinamici descrivibile qualitativamente come l'inalterabilità delle traiettorie a seguito di piccole perturbazioni di classe C 1 {\displaystyle C^{1}} C^1. Esempi di queste proprietà qualitative sono il numero di punti fissi e di orbite periodiche (ma non i loro periodi). A differenza della stabilità secondo Lyapunov, che considera perturbazioni nelle condizioni iniziali di un certo sistema, la stabilità strutturale riguarda le perturbazioni del sistema stesso. Le varianti di questa nozione si applicano ai sistemi di equazioni differenziali ordinarie, ai campi vettoriali su varietà regolari, i flussi da essi generati, e i diffeomorfismi.

Controllabilità e osservabilità

Mudell:Vedi anche

I concetti di controllabilità e osservabilità di un sistema dinamico sono stati introdotti da Kalman nel 1960 e sono alla base della teoria del controllo. Informalmente, un sistema è controllabile se è possibile portarlo in qualsiasi configurazione finale agendo opportunamente sull'ingresso in un tempo finito; viceversa, è osservabile se dall'uscita è possibile risalire allo stato del sistema. Nei sistemi lineari controllabilità e osservabilità sono due proprietà duali.

Sistemi lineari

Dato un sistema dinamico lineare:

{\dot {x}}=Ax+bu

y=c^{T}x

dove $c^{T}$ è un vettore costante, si consideri la matrice:

T=[c^{T}\quad c^{T}A\quad c^{T}A^{2}\quad \dots \quad c^{T}A^{n-1}]^{T}.

Il sistema è completamente osservabile se il rango di $T$ è massimo.

Considerando invece la matrice:

R={\begin{bmatrix}b&Ab&A^{2}b&\ldots &A^{n-1}b\end{bmatrix}},

il sistema è completamente controllabile se la matrice ha rango massimo.

Definendo il sistema duale:^[9]

{\dot {x}}=A^{T}x+cu

y=b^{T}x

si dimostra che il sistema di partenza è completamente osservabile se e solo se il sistema duale è completamente controllabile, ed è completamente controllabile se e solo se il sistema duale è completamente osservabile.

Sistemi non lineari

Dato un sistema dinamico definito su una varietà $M\in C^{\infty }$ di dimensione $m$ :

{\dot {x}}=f(x,u)\qquad x\in M

y=g(x)

con $u\in \Omega \subset \mathbb {R} ^{l}$ l'ingresso, $y\in \mathbb {R} ^{n}$ l'uscita e $f,g\in C^{\infty }$ , i problemi di controllabilità si traducono nel verificare se lo spazio delle fasi $M$ è sufficientemente grande da contenere tutti gli stati possibili (altrimenti il sistema non è osservabile) o se, al contrario, contiene stati che il sistema non può raggiungere (il sistema non è controllabile).

Una descrizione matematica comunemente utilizzata considera l'algebra di Lie $F$ di campi vettoriali sullo spazio delle fasi $M$ generata dal campo vettoriale $f(\cdot ,u)$ , con $u\in \Omega$ un controllo costante: se la dimensione dell'algebra è costante esiste un'unica sotto-varietà $M'\subset M$ tangente lo stato iniziale $x_{0}$ contenente tutte le orbite raggiungibili dal sistema (andando avanti o all'indietro nel tempo) passanti per $x_{0}$ . Se la dimensione di $F(x_{0})$ è $m$ allora $M=M'$ e il sistema è in qualche modo controllabile; in caso contrario, se la dimensione è minore di $m$ si considera solo l'insieme $M'$ in cui il sistema è controllabile.^[10]

Sistemi ergodici

Mudell:Vedi anche La teoria ergodica (dal greco ἔργον érgon, lavoro, energia e ὁδός hodós «via, percorso»[1]) si occupa principalmente dello studio matematico del comportamento medio, a lungo termine, di sistemi dinamici.

Teoria delle biforcazioni

Mudell:Vedi anche

La teoria delle biforcazioni si occupa delle variazioni nella struttura delle orbite di un sistema dinamico al variare di un parametro del sistema, nel caso in cui tali variazioni non siano topologicamente equivalenti.

Caos e attrattori

Mudell:Vedi anche In matematica la teoria del caos è lo studio, attraverso modelli propri della fisica matematica, dei sistemi dinamici che esibiscono una sensibilità esponenziale rispetto alle condizioni iniziali.[1] I sistemi di questo tipo, pur governati da leggi deterministiche, sono in grado di esibire un'empirica casualità nell'evoluzione delle variabili dinamiche.[2] Questo comportamento casuale è solo apparente, dato che si manifesta nel momento in cui si confronta l'andamento temporale asintotico di due sistemi con configurazioni iniziali arbitrariamente simili tra loro.[1]

Esempio

Per introdurre l'analisi di un sistema dinamico possiamo fare riferimento al modello costituito da un serbatoio d'acqua forato. In tale modello fissiamo le variabili e le costanti del sistema che si è creato. Abbiamo:

la sezione del serbatoio $S$ che rimane costante nel tempo;
una costante generale $K$ del liquido considerato che comprende diversi fattori costanti rispetto al tempo come la densità del liquido e la dimensione del foro;
il livello di acqua nel serbatoio $x(t)$ che definiamo come variabile di stato del sistema;
la portata d'acqua entrante che definiamo ingresso del sistema $u(t);$
la portata uscente dell'acqua che definiamo uscita del sistema $y(t)$ che è proporzionale alla quantità di liquido sovrastante (ossia livello d'acqua per la sezione del serbatoio) e alla costante del sistema, infatti $y(t)=Kx(t).$

Sappiamo che, essendo un serbatoio un sistema dinamico, il suo stato al tempo $t$ è definito sia dalla variabile di ingresso, sia dalla variabile di uscita, sia dallo stato precedente del sistema $x(t-\Delta t).$ Possiamo quindi definire la formula generale dei sistemi dinamici (del primo ordine: ossia quelli definiti da una sola variabile di uscita) per i quali:

{\frac {\Delta x}{\Delta t}}=Ax(t)+Bu(t).

Se voglio sapere il livello di acqua nel serbatoio all'istante $t$ posso ragionare sulle variabili del sistema:

so che $u(t)-Kx(t)$ corrisponde alla quantità di liquido del serbatoio (quantità entrante meno quantità uscente)
so che tale valore è uguale a $S{\frac {\Delta x}{\Delta t}}$ (in quanto tale valore corrisponde anch'esso alla variazione di livello di liquido all'interno del serbatoio nell'unità di tempo), quindi
$u(t)-Kx(t)=S{\frac {\Delta x}{\Delta t}},$
ricavo il rapporto ${\frac {\Delta x}{\Delta t}}$ e ottengo
${\frac {\Delta x}{\Delta t}}=k{\frac {x(t)}{S}}+{\frac {u(t)}{S}}$ che si ritrova perfettamente con la formula generale dei sistemi di primo ordine.

Se volessimo analizzare graficamente l'andamento dello stato del sistema potremmo, tramite foglio di calcolo, determinare l'avanzare del sistema in funzione di un intervallo di tempo $\Delta t$ che viene scelto "empiricamente" tramite la formula $\Delta t={\frac {0,1}{|A|}}$ ossia $0,1$ diviso il valore assoluto del coefficiente moltiplicante lo stato del sistema nella formula generale dei sistemi.

Graficamente otterrei un iniziale andamento esponenziale del sistema seguito da un equilibrio dello stato del sistema. Tendenza dei sistemi dinamici è infatti il raggiungimento di uno stato di equilibrio che si conservi nel tempo.

Note

^ ^a ^b Mudell:Cita libro
^ https://journals.sagepub.com/doi/abs/10.1177/0047244116629891?journalCode=jesa
^ ^a ^b Mudell:Cita libro
^ Mudell:Cita libro
^ James, Henry: "Émile Zola", en El futuro de la novela, p. 186.
^ Giovanna Finzi - Classificazione dei sistemi dinamici Mudell:Webarchive
^ Classificazione dei sistemi dinamici Mudell:Webarchive su unibs.it
^ (EN) Mauricio de Oliveira - Stability
^ (EN) William J. Terrel - Controllability, Observability, and Duality
^ (EN) Robert Hermann, Arthur J. Krener - Nonlinear Controllability and Observability

Bibliografia

Voci correlate

Altri progetti

Mudell:Interprogetto

Collegamenti esterni

[:0-1] Mudell:Cita libro

[2] ttps://journals.sagepub.com/doi/abs/10.1177/0047244116629891?journalCode=jesa

[:1-3] Mudell:Cita libro

[4] Mudell:Cita libro

[5] James, Henry: "Émile Zola", en El futuro de la novela, p. 186.

[6] Giovanna Finzi - Classificazione dei sistemi dinamici Mudell:Webarchive

[7] Classificazione dei sistemi dinamici Mudell:Webarchive su unibs.it

[8] (EN) Mauricio de Oliveira - Stability

[9] (EN) William J. Terrel - Controllability, Observability, and Duality

[10] (EN) Robert Hermann, Arthur J. Krener - Nonlinear Controllability and Observability

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