Liġi tan-numri kbar

Il-liġi tan-numri kbar, imsejħa wkoll it-teorema ta' Bernoulli (għaliex l-ewwel formulazzjoni taha Jacob Bernoulli), tħares lejn l-imġiba tal-medja ta' sekwenza ta' $\ n$ varjabbli każwali indipendenti u distribwiti identikament (bħal $\ n$ qisien tal-istess kobor, $\ n$ tefgħat tal-istess munita eċċ.) meta $\ n$ tersaq lejn l-infinit.

Każ partikulari tal-applikazzjoni tal-liġi tan-numri kbar hu t-tbassir probabbilistiku tal-proporzjon ta' suċċessi minn $\ n$ realizzazzjonijiet indipendenti ta' ġrajja $E$: meta $\ n$ tersaq lejn l-infinit, il-proporzjon ta' suċċessi jikkonverġi għall-probabbiltà ta' $\ E$ (ara l-eżempju).

Il-liġi qawwija tan-numri kbar

Għal suċċessjoni ta' varjabbli każwali $\ X_{1},X_{2},...,X_{n},...$ indipendenti u distribwiti identikament b'medja $\ \mu$, il-medja kampjunarja hi

${\bar {X}}_{n}={{X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}} \over {n}}.$

Il-liġi (qawwija) tan-numri kbar tgħid li

$\operatorname {P} \left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\bar {X}}_{n}=\mu \right)=1,$

jiġifieri, il-medja kampjunarja tikkonverġi kważi ċertament għall-medja komuni tal-$\ X_{i}$.

Il-liġi dgħajfa tan-numri kbar

Il-liġi (dgħajfa) tan-numri kbar tgħid li jekk $X_{1},\,X_{2},\,...,\,X_{n},\,...$ tkun suċċessjoni ta' varjabbli każwali li għandhom l-istess medja $\ \mu$, l-istess varjanza finita u indipendenti, imbagħad għal kull $\ \varepsilon >0$:

$\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {P} \left(\left|{\bar {X}}_{n}-\mu \right|<\varepsilon \right)=1,$

jiġifieri, il-medja kampjunarja tikkonverġi fil-probabbiltà għall-medja komuni tal-$\ X_{i}$.

Konsegwenzi fl-istatistika

Il-liġi tan-numri kbar tiggarantixxi li l-medja kampjunarja tagħtina stima konsistenti tal-medja ta' popolazzjoni; biżżejjed ngħidu li mħabba l-liġi tan-numri kbar nistgħu ikkolna fiduċja li l-medja li nikkalkulaw minn numru kbir biżżejjed ta' kampjuni hi qrib biżżejjed tal-medja vera.

Eżempju

Nissoponu li għandna ġrajja (bħall-fatt li t-tfigħ ta' damma jagħtina s-sitta) b'probabbiltà li ma nafuhiex $\ p$ (ma nafuhiex għax id-damma tista' tkun imbabsa, jew sempliċement difettuża: ma nistgħux inkunu nafu minn qabel).

Jekk nitfgħu id-damma $\ n$ darba wara xulxin niksbu stima tal-probabbiltà li nġibu s-sitta b'dik id-damma, $\ p$, li hi mogħtija minn

${\bar {X}}_{n}={\frac {X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}{n}}$

fejn kull $\ X$ fis-somma tirrappreżenta tefgħa u tiswa wieħed jekk it-tefgħa tagħtina s-sitta u żero jekk jiġi numru ieħor. Il-liġi tan-numri kbar tafferma sempliċement li, iżjed ma nużaw provi biex nikkalkulaw l-istima, iżjed din tkun qrib, probabbilment, għall-probabbiltà vera tal-ġrajja, $\ p$.

Jekk l-istima $\ X(n)$ li nikkalkulaw tkun qrib ħafna ta' wieħed f'sitta, li hi l-probabbiltà teorika li nġibu s-sitta għall-damma perfetta, nistgħu inkun ċerti mhux ħażin li d-damma m'hijiex imxaqilba lejn is-sitta (biex inkunu żguri li d-damma ma xxaqlibx lejn l-ebda numru irridu nirrepetu l-provi għall-ħames numri l-oħra). Xi tfisser żguri mhux ħażin jiddipendi minn kemm irridu nkunu preċiżi fil-provi tagħna: b'għaxar tefgħat ikollna stima raffa, b'mija jkollna waħda iżjed preċiża, b'elf iżjed u nibqgħu sejjrin hekk: il-valur ta' $\ n$ li lesti li naċċettaw bħala biżżejjed jiddependi mill-grad ta' każwalità li naħsbu li hu neċessarju għad-damma li qegħdin nużaw.

B'iżjed rigur

Ħalli $\{(\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i},\operatorname {P} _{i})\}_{i\in \mathbb {N} }$ tkun suċċessjoni ta' spazji ta' probabbiltà. Inħarsu lejn l-ispazju prodott $(\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )$ u fih suċċessjoni Bernoulljana ta' ġrajjiet (stokastikament indipendenti u b'probabbiltà kostanti $\ p$), $\{E_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset {\mathcal {A}}$. Għal kull element $\omega \in \Omega$ niddefinixxu l-frekwenza ta' suċċess f'$\ n$ provi, $\phi _{n}:\Omega \to \mathbb {R} ,\phi _{n}(\omega )=N_{n}/n$, fejn $N_{n}=\#\{i:\omega \in E_{i}\}_{i=1}^{n}$ turi n-numru ta' suċċessi miksuba f' $\ n$ provi.

Il-liġi dgħajfa tan-numri kbar

B'din in-notazzjoni il-liġi nistgħu niktbuha: $\forall \ \varepsilon >0$, $\lim _{n\to \infty }\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}=0$.

Prova:

Jekk niffissaw $\ \varepsilon$ u nużaw id-diżugwaljanza ta' Čebyšëv

$\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-\operatorname {E} (\phi _{n})|>\varepsilon \}\leq {\frac {\operatorname {var} (\phi _{n})}{\varepsilon ^{2}}}$

Jekk $\ N_{n}$ għandha distribuzzjoni binomjali, jkollna

$\operatorname {E} (N_{n})=pn$ u $\operatorname {var} (N_{n})=np(1-p),$

mil-liema

$\operatorname {E} (\phi _{n})=p$ u $\operatorname {var} (\phi _{n})={\frac {1}{n^{2}}}np(1-p)={\frac {p(1-p)}{n}}$.

Meta nissostitwixxu niksbu:

$\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}\leq {\frac {p(p-1)}{n\varepsilon ^{2}}}$

u la $\lim _{n\to \infty }{\frac {p(p-1)}{n\varepsilon ^{2}}}=0$, $\forall \ \varepsilon >0$,

$\lim _{n\to \infty }\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}\leq 0$

Imma $\operatorname {P} ({\mathcal {A}})\geq 0$, u għalhekk ipprovajna l-liġi dgħajfa.

Nota: Il-liġi dgħajfa tan-numri kbar ma tiżgurax li, nagħżlu kif nagħżlu $\varepsilon >0$, kważi ċertament jekk nibdew minn ċertu $n_{\varepsilon }$ il-valur ta' $\ |\phi _{n}-p|$ ħa jibqa inqas jew daqs $\varepsilon$, jiġifieri li s-sett $\{\omega \in \Omega :\exists \ n_{\varepsilon }:\forall \ n>n_{\varepsilon },|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}$ ħa jkun $\operatorname {P}$-traskurabbli. Infatti, jekk nagħmlu d-definizzjoni tal-limitu iżjed espliċita, insibu li: $\forall \ \varepsilon >0,\forall \ \eta >0,\exists \ n_{\varepsilon ,\eta }:\forall \ n\geq n_{\varepsilon ,\eta },\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}\leq \eta$ imma m'hemm xejn li jiżgura li $n_{\varepsilon ,\eta }$ ma tiddiverġiex meta $\eta \to 0$.

Il-liġi qawwija tan-numri kbar

Minn naħa l-oħra l-liġi qawwija tan-numri kbar: :$\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :\lim _{n\to \infty }\phi _{n}(\omega )=p\}=1$ timplika li $\forall \ \varepsilon >0$,

$\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :\exists \ n_{\varepsilon }:\forall \ n>n_{\varepsilon },|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}=0.$

u din l-asserzjoni tal-aħħar timplika l-liġi dagħjfa tan-numri kbar.

Prova taż-żewġ implikazzjonijiet:

1.

Billi nagħmlu d-definizzjoni tal-limitu espiliċita u ngħaddu għall-kumplement, nistgħu nifformolaw il-liġi qawwija b'dal-mod:

$\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :\exists \ \varepsilon >0:\forall \ n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,\exists \ n>n_{\varepsilon }:|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}=0.$

Meta nittrasformaw il-kwantifikatur eżistenzjali f'unjoni, din issir:

$\operatorname {P} (\bigcup _{\varepsilon >0}\{\omega \in \Omega :\forall \ n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,\exists \ n>n_{\varepsilon }:|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \})=0.$

Issa jekk $\varepsilon >0$, bil-monotonija ta' $\operatorname {P}$ għandna

$0\leq \operatorname {P} \{\omega \in \Omega :\exists \ n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} :\forall \ n>n_{\varepsilon },|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}$

$\leq \operatorname {P} (\bigcup _{\varepsilon >0}\{\omega \in \Omega :\forall \ n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,:\exists \ n>n_{\varepsilon }:|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \})=0,$

u mela

$\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :\exists \ n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} :\forall \ n>n_{\varepsilon },|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}=0.$

2.

Minn naħa l-oħra jekk nassumu din tal-aħħar u nittrasformaw ukoll il-kwantifikaturi f'operazzjoniet tas-settijiet, ikollna:

$0=\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :\exists \ n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} :\forall \ n>n_{\varepsilon },|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}$

$=\operatorname {P} (\bigcap _{m\in \mathbb {N} }\bigcup _{n>m}\{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \})$

Imma, billi hemm intersezzjoni ta' suċċessjoni ta' settijiet li ma jikbrux, bil-monotonija ta' $\operatorname {P}$, nistgħu niktbu:

$\lim _{m\to \infty }\operatorname {P} (\bigcup _{n>m}\{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \})=0.$

Imbagħad bil-monotonija ta' $\operatorname {P}$ niksbu għal kull $\varepsilon >0$.

$\lim _{n\to \infty }\operatorname {P} (\{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \})\leq \lim _{m\to \infty }\operatorname {P} (\bigcup _{n>m}\{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \})=0$

li hi l-liġi dagħjfa tan-numri kbar.

Prova tal-liġi qawwija:

Digà rajna li l-asserzjoni hi ekwivalenti għal:

$\operatorname {P} (\bigcup _{\varepsilon >0}\{\omega \in \Omega :\forall \ n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,\exists \ n>n_{\varepsilon }:|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \})=0$

Din hi wkoll ekwivalenti għal:

$\operatorname {P} (\bigcup _{k\in \mathbb {N} _{0}}\{\omega \in \Omega :\limsup _{n\to \infty }|\phi _{n}(\omega )-p|>{\frac {1}{k}}\})=0$

Bis-subadditività

$\operatorname {P} (\bigcup _{k\in \mathbb {N} _{0}}\{\omega \in \Omega :\limsup _{n\to \infty }|\phi _{n}(\omega )-p|>{\frac {1}{k}}\})$

$\leq \sum _{k\in \mathbb {N} _{0}}\operatorname {P} (\{\omega \in \Omega :\limsup _{n\to \infty }|\phi _{n}(\omega )-p|>{\frac {1}{k}}\}).$

Mela, billi $\operatorname {P}$ mhux negattiva, jekk nuru li $\forall \ k\in \mathbb {N} _{0}$

$\operatorname {P} (\{\omega \in \Omega :\limsup _{n\to \infty }|\phi _{n}(\omega )-p|>{\frac {1}{k}}\})=0$

inkunu pprovajna l-liġi qawwija. L-ewwel ħa nipprovaw din għas-sottosuċċessjoni $\phi _{n^{2}}$, jiġifieri $\forall \ k\in \mathbb {N} _{0}$

$\operatorname {P} (\{\omega \in \Omega :\limsup _{n\to \infty }|\phi _{n^{2}}(\omega )-p|>{\frac {1}{k}}\})=0$.

Biex nagħmlu dan, bil-lemma ta' Borel-Cantelli, biżżejjed li nivverifikaw li l-espressjoni li ġejja tikkonverġi

$\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :|\phi _{n^{2}}(\omega )-p|>{\frac {1}{k}}\}$

Bid-diżugwaljanza ta' Čebyšëv insibu li $\forall \ k,\forall \ n$

$\operatorname {P} (\{\omega \in \Omega :|\phi _{n^{2}}(\omega )-p|>{\frac {1}{k}}\})\leq {\textrm {var}}(\phi _{n^{2}})k^{2}=k^{2}{\frac {p(1-p)}{n^{2}}}$

minn fejn:

$\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {P} (\{\omega \in \Omega :|\phi _{n^{2}}(\omega )-p|>{\frac {1}{k}}\})\leq p(1-p)k^{2}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$

Imma nafu li din is-serje tikkonverġi u għalhekk għandna li $\forall \ k\in \mathbb {N} _{0}$,

$\forall \ k\in \mathbb {N} _{0},\operatorname {P} (\limsup _{n\to \infty }\{\omega \in \Omega :|\phi _{n^{2}}(\omega )-p|>{\frac {1}{k}}\})=0.$

Issa ninotaw li kull numru naturali n qiegħed bejn żewġ kwadrati konsekuttivi, jiġifieri, $\forall \ n\in \mathbb {N} ,\exists \ q\in \mathbb {N}$ hekk li

$q^{2}\leq n<(q+1)^{2}$

minn fejn inġibu

${\frac {N_{n}}{(q+1)^{2}}}\leq \phi _{n}\leq {\frac {N_{n}}{q^{2}}}.$

Issa ninotaw li $n-q^{2}$ hi l-ikbar differenza possibbli bejn $N_{q^{2}}$ u $N_{n}$, u għalhekk:

$N_{q^{2}}\leq N_{n}\leq N_{q^{2}}+(n-q^{2})$

u mela:

${\frac {N_{q^{2}}}{(q+1)^{2}}}\leq {\frac {N_{n}}{(q+1)^{2}}}\leq \phi _{n}\leq {\frac {N_{n}}{q^{2}}}\leq {\frac {N_{q^{2}}+(n-q^{2})}{q^{2}}}.$

Issa jekk nużaw $n-q^{2}\leq (q+1)^{2}-q^{2}$, ikollna:

${\frac {N_{q^{2}}}{q^{2}}}{\frac {q^{2}}{(q+1)^{2}}}\leq \phi _{n}\leq {\frac {N_{q^{2}}}{q^{2}}}+{\frac {(q+1)^{2}-q^{2}}{q^{2}}}.$

Meta ngħaddu għall-limitu ($n\to \infty \Rightarrow q\to \infty$) u napplikaw ir-riżultat miksub għal $\phi _{n^{2}}$, niksbu li, kważi ċertament:

$p=p\lim _{q\to \infty }{\frac {q^{2}}{(q+1)^{2}}}\leq \lim _{n\to \infty }\phi _{n}\leq p+\lim _{q\to \infty }{\frac {q^{2}+2q+1-q^{2}}{q^{2}}}=p$

li ttemm il-prova.

Noti

Portal Matematika