Il-liġi tan-numri kbar, imsejħa wkoll it-teorema ta' Bernoulli (għaliex l-ewwel formulazzjoni taha Jacob Bernoulli), tħares lejn l-imġiba tal-medja ta' sekwenza ta'
varjabbli każwali [1] indipendenti u distribwiti identikament (bħal
qisien tal-istess kobor,
tefgħat tal-istess munita eċċ.) meta
tersaq lejn l-infinit.
Każ partikulari tal-applikazzjoni tal-liġi tan-numri kbar hu t-tbassir probabbilistiku tal-proporzjon ta' suċċessi minn
realizzazzjonijiet indipendenti ta' ġrajja
: meta
tersaq lejn l-infinit, il-proporzjon ta' suċċessi jikkonverġi għall-probabbiltà ta'
(ara l-eżempju).
Għal suċċessjoni ta' varjabbli każwali
indipendenti u distribwiti identikament b'medja
, il-medja kampjunarja hi

Il-liġi (qawwija) tan-numri kbar tgħid li

jiġifieri, il-medja kampjunarja tikkonverġi kważi ċertament għall-medja komuni tal-
.
Il-liġi (dgħajfa) tan-numri kbar tgħid li jekk
tkun suċċessjoni ta' varjabbli każwali li għandhom l-istess medja
, l-istess varjanza finita u indipendenti, imbagħad
għal kull
:

jiġifieri, il-medja kampjunarja tikkonverġi fil-probabbiltà għall-medja komuni tal-
.
Il-liġi tan-numri kbar tiggarantixxi li l-medja kampjunarja tagħtina stima konsistenti tal-medja ta' popolazzjoni; biżżejjed ngħidu li mħabba l-liġi tan-numri kbar nistgħu ikkolna fiduċja li l-medja li nikkalkulaw minn numru kbir biżżejjed ta' kampjuni hi qrib biżżejjed tal-medja vera.
Nissoponu li għandna ġrajja (bħall-fatt li t-tfigħ ta' damma jagħtina s-sitta) b'probabbiltà li ma nafuhiex
(ma nafuhiex għax id-damma tista' tkun imbabsa, jew sempliċement difettuża: ma nistgħux inkunu nafu minn qabel).
Jekk nitfgħu id-damma
darba wara xulxin niksbu stima tal-probabbiltà li nġibu s-sitta b'dik id-damma,
, li hi mogħtija minn

fejn kull
fis-somma tirrappreżenta tefgħa u tiswa wieħed jekk it-tefgħa tagħtina s-sitta u żero jekk jiġi numru ieħor. Il-liġi tan-numri kbar tafferma sempliċement li, iżjed ma nużaw provi biex nikkalkulaw l-istima, iżjed din tkun qrib, probabbilment, għall-probabbiltà vera tal-ġrajja,
.
Jekk l-istima
li nikkalkulaw tkun qrib ħafna ta' wieħed f'sitta, li hi l-probabbiltà teorika li nġibu s-sitta għall-damma perfetta, nistgħu inkun ċerti mhux ħażin li d-damma m'hijiex imxaqilba lejn is-sitta (biex inkunu żguri li d-damma ma xxaqlibx lejn l-ebda numru irridu nirrepetu l-provi għall-ħames numri l-oħra). Xi tfisser żguri mhux ħażin jiddipendi minn kemm irridu nkunu preċiżi fil-provi tagħna: b'għaxar tefgħat ikollna stima raffa, b'mija jkollna waħda iżjed preċiża, b'elf iżjed u nibqgħu sejjrin hekk: il-valur ta'
li lesti li naċċettaw bħala biżżejjed jiddependi mill-grad ta' każwalità li naħsbu li hu neċessarju għad-damma li qegħdin nużaw.
Ħalli
tkun suċċessjoni ta' spazji ta' probabbiltà. Inħarsu lejn l-ispazju prodott
u fih suċċessjoni Bernoulljana ta' ġrajjiet (stokastikament indipendenti u b'probabbiltà kostanti
),
. Għal kull element
niddefinixxu l-frekwenza ta' suċċess f'
provi,
, fejn
turi n-numru ta' suċċessi miksuba f'
provi.
B'din in-notazzjoni il-liġi nistgħu niktbuha:
,
.
Prova:
- Jekk niffissaw
u nużaw id-diżugwaljanza ta' Čebyšëv [2]

- Jekk
għandha distribuzzjoni binomjali, jkollna
u 
- mil-liema
u
.
- Meta nissostitwixxu niksbu:

- u la
,
,

- Imma
, u għalhekk ipprovajna l-liġi dgħajfa.
Nota: Il-liġi dgħajfa tan-numri kbar ma tiżgurax li, nagħżlu kif nagħżlu
, kważi ċertament jekk nibdew minn ċertu
il-valur ta'
ħa jibqa inqas jew daqs
, jiġifieri li s-sett
ħa jkun
-traskurabbli.
Infatti, jekk nagħmlu d-definizzjoni tal-limitu iżjed espliċita, insibu li:
imma m'hemm xejn li jiżgura li
ma tiddiverġiex meta
.
Minn naħa l-oħra l-liġi qawwija tan-numri kbar: :
timplika li
,

u din l-asserzjoni tal-aħħar timplika l-liġi dagħjfa tan-numri kbar.
Prova taż-żewġ implikazzjonijiet:
1.
- Billi nagħmlu d-definizzjoni tal-limitu espiliċita u ngħaddu għall-kumplement, nistgħu nifformolaw il-liġi qawwija b'dal-mod:

- Meta nittrasformaw il-kwantifikatur eżistenzjali f'unjoni, din issir:

- Issa jekk
, bil-monotonija ta'
għandna


- u mela

2.
- Minn naħa l-oħra jekk nassumu din tal-aħħar u nittrasformaw ukoll il-kwantifikaturi f'operazzjoniet tas-settijiet, ikollna:


- Imma, billi hemm intersezzjoni ta' suċċessjoni ta' settijiet li ma jikbrux, bil-monotonija ta'
, nistgħu niktbu:

- Imbagħad bil-monotonija ta'
niksbu għal kull
.

- li hi l-liġi dagħjfa tan-numri kbar.
Prova tal-liġi qawwija:
- Digà rajna li l-asserzjoni hi ekwivalenti għal:

- Din hi wkoll ekwivalenti għal:

- Bis-subadditività


- Mela, billi
mhux negattiva, jekk nuru li

- inkunu pprovajna l-liġi qawwija. L-ewwel ħa nipprovaw din għas-sottosuċċessjoni
, jiġifieri
.
- Biex nagħmlu dan, bil-lemma ta' Borel-Cantelli, biżżejjed li nivverifikaw li l-espressjoni li ġejja tikkonverġi

- Bid-diżugwaljanza ta' Čebyšëv insibu li

- minn fejn:

- Imma nafu li din is-serje tikkonverġi u għalhekk għandna li
,

- Issa ninotaw li kull numru naturali n qiegħed bejn żewġ kwadrati konsekuttivi, jiġifieri,
hekk li

- minn fejn inġibu

- Issa ninotaw li
hi l-ikbar differenza possibbli bejn
u
, u għalhekk:

- u mela:

- Issa jekk nużaw
, ikollna:

- Meta ngħaddu għall-limitu (
) u napplikaw ir-riżultat miksub għal
, niksbu li, kważi ċertament:

- li ttemm il-prova.
- ^ Nistgħu ngħidulom ukoll varjabbli aleatorji jew varjabbli stokastiċi
- ^ Billi hemm ħafna verżjonijiet tat-transliterazzjoni mir-Russu ta' dan l-isem (Чебышёв): Chebychev, Chebyshov, Tchebycheff jew Tschebyscheff, qegħdin nużaw it-transliterazzjoni xjentifika (International Scholarly System).