Liġi tan-numri kbar

Minn Wikipedija, l-enċiklopedija l-ħielsa
Aqbeż lejn: navigazzjoni, fittex

Il-liġi tan-numri kbar, imsejħa wkoll it-teorema ta' Bernoulli (għaliex l-ewwel formulazzjoni taha Jacob Bernoulli), tħares lejn l-imġiba tal-medja ta' sekwenza ta' varjabbli każwali [1] indipendenti u distribwiti identikament (bħal qisien tal-istess kobor, tefgħat tal-istess munita eċċ.) meta tersaq lejn l-infinit.

Każ partikulari tal-applikazzjoni tal-liġi tan-numri kbar hu t-tbassir probabbilistiku tal-proporzjon ta' suċċessi minn realizzazzjonijiet indipendenti ta' ġrajja : meta tersaq lejn l-infinit, il-proporzjon ta' suċċessi jikkonverġi għall-probabbiltà ta' (ara l-eżempju).

Il-liġi qawwija tan-numri kbar[immodifika | immodifika s-sors]

Għal suċċessjoni ta' varjabbli każwali indipendenti u distribwiti identikament b'medja , il-medja kampjunarja hi

Il-liġi (qawwija) tan-numri kbar tgħid li

jiġifieri, il-medja kampjunarja tikkonverġi kważi ċertament għall-medja komuni tal-.

Il-liġi dgħajfa tan-numri kbar[immodifika | immodifika s-sors]

Il-liġi (dgħajfa) tan-numri kbar tgħid li jekk tkun suċċessjoni ta' varjabbli każwali li għandhom l-istess medja , l-istess varjanza finita u indipendenti, imbagħad għal kull :

jiġifieri, il-medja kampjunarja tikkonverġi fil-probabbiltà għall-medja komuni tal-.

Konsegwenzi fl-istatistika[immodifika | immodifika s-sors]

Il-liġi tan-numri kbar tiggarantixxi li l-medja kampjunarja tagħtina stima konsistenti tal-medja ta' popolazzjoni; biżżejjed ngħidu li mħabba l-liġi tan-numri kbar nistgħu ikkolna fiduċja li l-medja li nikkalkulaw minn numru kbir biżżejjed ta' kampjuni hi qrib biżżejjed tal-medja vera.

Eżempju[immodifika | immodifika s-sors]

Nissoponu li għandna ġrajja (bħall-fatt li t-tfigħ ta' damma jagħtina s-sitta) b'probabbiltà li ma nafuhiex (ma nafuhiex għax id-damma tista' tkun imbabsa, jew sempliċement difettuża: ma nistgħux inkunu nafu minn qabel).

Jekk nitfgħu id-damma darba wara xulxin niksbu stima tal-probabbiltà li nġibu s-sitta b'dik id-damma, , li hi mogħtija minn

fejn kull fis-somma tirrappreżenta tefgħa u tiswa wieħed jekk it-tefgħa tagħtina s-sitta u żero jekk jiġi numru ieħor. Il-liġi tan-numri kbar tafferma sempliċement li, iżjed ma nużaw provi biex nikkalkulaw l-istima, iżjed din tkun qrib, probabbilment, għall-probabbiltà vera tal-ġrajja, .

Jekk l-istima li nikkalkulaw tkun qrib ħafna ta' wieħed f'sitta, li hi l-probabbiltà teorika li nġibu s-sitta għall-damma perfetta, nistgħu inkun ċerti mhux ħażin li d-damma m'hijiex imxaqilba lejn is-sitta (biex inkunu żguri li d-damma ma xxaqlibx lejn l-ebda numru irridu nirrepetu l-provi għall-ħames numri l-oħra). Xi tfisser żguri mhux ħażin jiddipendi minn kemm irridu nkunu preċiżi fil-provi tagħna: b'għaxar tefgħat ikollna stima raffa, b'mija jkollna waħda iżjed preċiża, b'elf iżjed u nibqgħu sejjrin hekk: il-valur ta' li lesti li naċċettaw bħala biżżejjed jiddependi mill-grad ta' każwalità li naħsbu li hu neċessarju għad-damma li qegħdin nużaw.

B'iżjed rigur[immodifika | immodifika s-sors]

Ħalli tkun suċċessjoni ta' spazji ta' probabbiltà. Inħarsu lejn l-ispazju prodott u fih suċċessjoni Bernoulljana ta' ġrajjiet (stokastikament indipendenti u b'probabbiltà kostanti ), . Għal kull element niddefinixxu l-frekwenza ta' suċċess f' provi, , fejn turi n-numru ta' suċċessi miksuba f' provi.

Il-liġi dgħajfa tan-numri kbar[immodifika | immodifika s-sors]

B'din in-notazzjoni il-liġi nistgħu niktbuha: , .

Prova:

Jekk niffissaw u nużaw id-diżugwaljanza ta' Čebyšëv [2]
Jekk għandha distribuzzjoni binomjali, jkollna
u
mil-liema
u .
Meta nissostitwixxu niksbu:
u la , ,
Imma , u għalhekk ipprovajna l-liġi dgħajfa.

Nota: Il-liġi dgħajfa tan-numri kbar ma tiżgurax li, nagħżlu kif nagħżlu , kważi ċertament jekk nibdew minn ċertu il-valur ta' ħa jibqa inqas jew daqs , jiġifieri li s-sett ħa jkun -traskurabbli. Infatti, jekk nagħmlu d-definizzjoni tal-limitu iżjed espliċita, insibu li: imma m'hemm xejn li jiżgura li ma tiddiverġiex meta .

Il-liġi qawwija tan-numri kbar[immodifika | immodifika s-sors]

Minn naħa l-oħra l-liġi qawwija tan-numri kbar: : timplika li ,

u din l-asserzjoni tal-aħħar timplika l-liġi dagħjfa tan-numri kbar.

Prova taż-żewġ implikazzjonijiet:

1.

Billi nagħmlu d-definizzjoni tal-limitu espiliċita u ngħaddu għall-kumplement, nistgħu nifformolaw il-liġi qawwija b'dal-mod:
Meta nittrasformaw il-kwantifikatur eżistenzjali f'unjoni, din issir:
Issa jekk , bil-monotonija ta' għandna
u mela

2.

Minn naħa l-oħra jekk nassumu din tal-aħħar u nittrasformaw ukoll il-kwantifikaturi f'operazzjoniet tas-settijiet, ikollna:
Imma, billi hemm intersezzjoni ta' suċċessjoni ta' settijiet li ma jikbrux, bil-monotonija ta' , nistgħu niktbu:
Imbagħad bil-monotonija ta' niksbu għal kull .
li hi l-liġi dagħjfa tan-numri kbar.


Prova tal-liġi qawwija:

Digà rajna li l-asserzjoni hi ekwivalenti għal:
Din hi wkoll ekwivalenti għal:
Bis-subadditività
Mela, billi mhux negattiva, jekk nuru li
inkunu pprovajna l-liġi qawwija. L-ewwel ħa nipprovaw din għas-sottosuċċessjoni , jiġifieri
.
Biex nagħmlu dan, bil-lemma ta' Borel-Cantelli, biżżejjed li nivverifikaw li l-espressjoni li ġejja tikkonverġi
Bid-diżugwaljanza ta' Čebyšëv insibu li
minn fejn:
Imma nafu li din is-serje tikkonverġi u għalhekk għandna li ,
Issa ninotaw li kull numru naturali n qiegħed bejn żewġ kwadrati konsekuttivi, jiġifieri, hekk li
minn fejn inġibu
Issa ninotaw li hi l-ikbar differenza possibbli bejn u , u għalhekk:
u mela:
Issa jekk nużaw , ikollna:
Meta ngħaddu għall-limitu () u napplikaw ir-riżultat miksub għal , niksbu li, kważi ċertament:
li ttemm il-prova.

Noti[immodifika | immodifika s-sors]

  1. ^ Nistgħu ngħidulom ukoll varjabbli aleatorji jew varjabbli stokastiċi
  2. ^ Billi hemm ħafna verżjonijiet tat-transliterazzjoni mir-Russu ta' dan l-isem (Чебышёв): Chebychev, Chebyshov, Tchebycheff jew Tschebyscheff, qegħdin nużaw it-transliterazzjoni xjentifika (International Scholarly System).