Serje ta' Fourier

Minn Wikipedija, l-enċiklopedija l-ħielsa
Aqbeż lejn: navigazzjoni, fittex

Fil-matematika, serje ta' Fourier hi rappresentazzjoni ta' funzjoni perjodika (għas-semplicità nieħdu l-perijodu 2π) permezz ta' somma ta' funzjonijiet perjodiċi tal-forma

 ;

Minħabba l-formula ta' Euler, is-serje preċedenti nistgħu nesprimuha ekwivalentement permezz tal-funzjonijiet tas-senu u kosenu.

Dawn is-serje huma msemmijin għall-matematiku Franċiż Joseph Fourier (1768-1830), li kien l-ewwel li studja sistematikament dawn is-serje infiniti (qabel kienu l-oġġett ta' investigazzjoni preliminari minn Euler, d'Alembert u Daniel Bernoulli). Fourier applika dawn is-serje għas-soluzzjoni tal-ekwazzjoni tas-sħana, u ppubblika ir-riżultati inizjali tiegħu fl-1807 u fl-1811 u fl-ikbar xogħol tiegħu bit-titlu Théorie analytique de la chaleur fl-1822. Skont il-punto di vista modern, ir-riżultati ta' Fourier huma fuq livell xi ftit informali, minħabba l-fatt li l-matematika fis-seklu XIX kienet għadha ma żviluppatx nozzjoni preċiża ta' funzjoni u ta' integral. Kien biss wara n-nofs ta' dak is-seklu li Dirichlet u Riemann irriformulaw ir-riżultati ta' Fourier b'preċisjoni ogħla u f'forma iżjed soddisfaċenti.

Bil-mogħod daħlu ħafna forom oħra ta' trasformati marbutin ma' dik ta' Fourier. Dawn it-trasformati ġodda jintużaw għal applikazzjonijiet oħra u jestendu l-idea tal-bidu billi nirrappreżentaw kull funzjoni perjodika bħala sovrappożizzjoni ta' armoniċi. L-oqsma li issa huma miftuħin għal dan jagħmlu parti minn dil li ngħidulha analisi armonika.

Definizzjoni ta' serje ta' Fourier[immodifika | immodifika s-sors]

Ejjew nikkonsidraw funzjoni ta' varjabbli reali b'valuri komplessi li hi perjodika b'perijodu u b'kwadrat integrabbli fuq l-intervall . Niddefinixxu

.

F'dal-każ ir-rappreżentazzjoni premess tas-serje ta' Fourier ta' tingħata minn

.

Kull wieħed mit-termini ta' din is-somma ngħidulu mod ta' Fourier. Fil-każ partikulari importanti fejn hi funzjoni ta' valuri reali, sikwit ikun utli li nużaw l-identità

biex nirrappreżentaw ekwivalentement bħala kumbinazzjoni linjari infinita ta' funzjonijiet tal-forma u , jiġifieri bħala

,

fejn

 ;

din terġa' twassal għar-rappreżentazzjoni preċedenti permezz ta'

.

Eżempju[immodifika | immodifika s-sors]

Nikkonsidraw il-funzjoni , il-funzjoni identità għal . Jekk irridu nikkonsidraw l-żvilupp barra minn dan id-dominju, is-serje ta' Fourier teħtieġ impliċitament li din il-funzjoni tkun perjodika.

Irridu nikkalkulaw il-koeffiċjenti ta' Fourier ta' din il-funzjoni. Naraw mil-ewwel li hi funzjoni żewġija, waqt li l-f u huma funzjonijiet farradin.

Mela s-serje ta' Fourier għall-funzjoni li qegħdin neżaminaw hi:

Konvergenza tas-serje ta' Fourier[immodifika | immodifika s-sors]

Waqt li l-koeffiċjenti ta' Fourier u nistgħu niddefinuhom formalment għal kull-funzjoni li jagħmel sens li nikkonsidraw l-integrali li jagħtu l-valuri tagħhom, jekk is-serje definita hekk tikkonverġix għal jiddipendi mill-proprijetajiet speċifiċi ta' dik il-funzjoni.

Ikollna konklużjoni l-iżjed sempliċi meta hi ta' kwadrat integrabbli; f'dak il-każ

(jiġifieri għandna konvergenza fin-norma tal-ispazju L2).

Nafu ħafna kriteri oħra li jiggarantixxu li s-serje tikkonverġi f'punt mogħti x, pereżempju jekk il-funzjoni tkun differenzjabbli fx. Anki diskontinwità b'qabża ma tagħmilx problemi: jekk il-funzjoni jkollha derivati fuq ix-xellug u l-lemin fx, imbagħad is-serje ta' Fourier tikkonverġi għall-valur medju tal-limiti mix-xellug u mill-lemin. Dan igħidulu l-fenomenu Gibbs.

Minn naħa l-oħra hemm il-possibbiltà li ħafna jsibu stramba: is-serje ta' Fourier ta' funzjoni kontinwa tista' ma tikkonverġiex punt punt.

Xi konsegwenzi utli tal-proprijetajiet tal-omomorfiżmu tal-exp[immodifika | immodifika s-sors]

Konsegwenza tal-fatt li l-"funzjonijiet bażi" huma omomorfiżmi tal-linja reali, u iżjed eżatt, tal-grupp tal-ċirkonferenza, hemm xi identitajiet utli:

  • Jekk

u niddenotaw b'G it-trasformata ta' g, imbagħad

.
  • Jekk hi it-trasformata ta' , imbagħad
,

jiġifieri t-trasformata ta' Fourier ta' konvoluzzjoni hi l-prodott tat-trasformati ta' Fourier. Viceversa, jekk , imbagħad it-trasformata ta' Fourier H ta' h hi l-konvoluzzjoni tat-trasformati ta' Fourier ta' f u ta' g:

.

Teorema ta' Parseval[immodifika | immodifika s-sors]

Proprijetà importanti oħra tas-serje ta' Fourier hi t-teorema ta' Parseval, każ partikulari tat-teorema ta' Plancherel u forma ta' unitarjetà:

.

Norma bill-kwadrat tals-serje (li fil-fiżika jgħidulha l-enerġija tas-sinjal). In partikulari għall-funzjoni f b'valuri reali:

.

L-identità għandha sinjifikat importanti ħafna u hi valida esklużivament għan-norma bill-kwadrat: tagħti ugwaljanza bejn funzjoni perjodika u s-serje ta' Fourier korrispondenti.

Formulazzjoni ġenerali[immodifika | immodifika s-sors]

Il-proprijetajiet tas-serje ta' Fourier l-iżjed utli għall-komputazzjonali huma l-biċċa l-kbira konsegwenzi tal-proprijetajiet tal-ortognalità u tal-omomorfiżmu tal-funzjonijiet . Ħafna suċċessjonijiet oħra ta' funzjonijiet ortognali għandhom proprijetajiet simili; imma f'dawn il-każi jintilfu l-identitajiet utli (pereżempju, dawk li għandhom x'jaqsmu mal-konvoluzzjoni) li jiġu mill-proprijetà tal-omomorfiżmu.

Eżempji ta' funzjonijiet ortognali utli jinkludu s-suċċessjonijiet ta' funzjonijiet ta' Bessel u l-polinomji ortognali. Dawn is-suċċessjonijiet sikwit jikkorrispondu ma' soluzzjonijiet ta' ekwazzjonijiet differenzjali; klassi wiesa' ta' suċċessjonijiet utili huma s-soluzzjonijiet tal-problemi ta' Sturm-Liouville. Huma jwasslu anki għas-soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni ta' Schrödinger tal-mekkanika mewġija.

Paġni li għandhom x'jaqsmu[immodifika | immodifika s-sors]

Bibljografija[immodifika | immodifika s-sors]

Ħoloq esterni[immodifika | immodifika s-sors]