L-Integral

Minn Wikipedija, l-enċiklopedija l-ħielsa
Aqbeż lejn: navigazzjoni, fittex

Fl-analisi matematika, l-integral ta' funzjoni hu operatur matematiku li fil-każ ta' funzjoni ta' varjabbli waħda jassoċja mal-funzjoni l-arja taħt il-funzjoni sal-axissa.

Ħjiel storiku[immodifika | immodifika s-sors]

L-idea bażika tal-kunċett tal-integral kienet digà dehret fix-xogħol ta' Arkimedi ta' Siracusa, li għex bejn il-287 u il-212 Q.K, l-ewwel parzjalment, fil-metodu li uża biex jikkalkula l-arja ta' ċirku jew ta' segment ta' parabola magħruf bħala l-metodu ta' l-eżawriment u wara iżjed preċiżament fil-kalkulazzjoni tal-arja tas-superfiċi magħluqa mill-ewwel dawra tal-ispiral (li Arkimedi stima minn fuq sa isfel bl-użu ta' każ partikulari ta' dawk li sirna nsejħulhom "sommom ta' Riemann").

Fis-seklu XVII, bosta matematiċi sabu metodi oħra inġenjużi biex jikkalkulaw l-arja taħt il-grafiku ta' funzjonijiet sempliċi, pereżempju:

(Fermat 1636),
(Nikolaus Merkator, 1668).

Imma dan kien qabel li Newton u Leibniz skoprew indipendentement it-teorema fundamentali tal-kalkulu integrali li tefgħet id-direzzjoni tal-problema fuq it-tfittix ta' primittiva jew antiderivata tal-funzjoni.

Il-kalkulu kiseb sisien iżjed sodi b'iżvilupp tal-limiti u x-xogħol ta' Cauchy fl-ewwel nofs tas-seklu 19. L-integral kien formalizzat rigorużament għall-ewwel darba, bl-użu tal-limiti minn Riemann f'dak li ngħidulu l-integral ta' Cauchy-Riemann. Għalkemm il-funzjonijiet kollha li huma kontinwi f'biċċiet u limitati fuq intervall limitat huma integrabbli fis-sens ta' Riemann, wara bdew jiġu ikkonsidrati funzjonijiet iżjed ġenerali li għalihom id-definizzjoni ta' Riemann ma tapplikax, u Lebesgue ifformala definizzjoni differenti tal-integral ibbażata fuq it-teorija tal-miżura. Oħrajn ipproponew definizzjonijiet oħra li jestendu l-approċċ ta' Riemann u Lebesgue.

Introduzzjoni ewristika[immodifika | immodifika s-sors]

Il-problema oriġinali tal-kalkulu integrali hu dik tad-definizzjoni u l-kalkulazzjoni tal-arja (bis-sinjal) tal-figura li għandha bħala truf, intervall fuq l-assi tal-axissi, limitat u magħluq (l-intervall tal-integrazzjoni), il-funzjoni mogħtija (il-funzjoni integrata) definita fuq u limitata, u s-segmenti vertikali mit-truf tal-intervall għall-grafiku tal-funzjoni . In-numru reali li jagħti dik l-arja nsejħulu l-integral tal-funzjoni fuq l-intervall .

Jekk il-grafiku tal-funzjoni hu magħmul minn segmenti, il-problema nistgħu nirriżolvuh faċilment, sakemm il-figura tista' tinqasam f'rettangli jew trapeżi li nafu niddefinixxu u nikkalkulaw l-arji tagħhom: is-somma alġebrija ta' dawk l-arji hi – għad-definizzjoni – l-integral imfittex.

Fil-każ ġenerali, l-idea bażika tikkonsisti f'li naqsmu l-figura fi strixxi vertikali dojoq, li jistgħu jitqiesu bħala rettangli, nikkalkulaw l-arja ta' kull rettanglu ċkejken u ngħoddu flimkien ir-riżultati miksuba, u hekk ikollna approssimazzjoni għan-numru li qegħdin infittxu. Billi nibqgħu nissuddividu fi strixxi dejjem idjaq u idjaq, nistgħu niksbu approssimazioni dejjem aħjar għall-integral imfittex: jekk jiġri hekk, ngħidu li l-funzjoni hi integrabbli fuq l-intervall . Fil-każ tal-kuntrarju, ngħidu li l-funzjoni m'hijiex integrabbli fuq l-intervall .

F'termini iżjed formali, naqsmu l-intervall f' sottointervalli tat-tip fejn u . Għal kull sottointervall nagħżlu punt , li l-immaġni tiegħu hi , u nħażżu r-rettanglu ċkejken li għandu bażi l-intervall u għoli ; l-arja tal-figura magħmula mir-rettangli ċkejkna kollha mibnija hekk tagħtina s-somma (msejħa ta' Cauchy-Riemann)

.

Jekk meta nċekknu l-wisa' tal-intervalli , il-valuri miksuba jinġemgħu fi nħawija dejjem iċken ta' numru , il-funzjoni hi integrabbli fuq l-intervall , u hu l-integral tagħha.

L-analisi sħieħa tiddependi mill-fatt li kemm il-mod ta' taqsim f'intervalli, u kemm l-għażla tal-punti ġewwa dawk l-intervalli iridu jispiċċaw irrilevanti, inkella jiġri li l-arja taħt il-kurva fuq l-intervall ikollha valur li jvarja mal-għażla ta' taqsim f'intervalli u kif il-punti jintgħażlu fl-intervalli.

Il-quddiem nagħtu kundizzjonijiet suffiċjenti biex jiġri dan.

Integral ta' Riemann[immodifika | immodifika s-sors]

Rappresentazzjoni grafika tal-integral ta' Riemann

Ejjew naqsmu l-intervall kompatt permezz ta' partizzjoni f' sottointervalli :

,

Ħalli jkunu

Niddefinixxu s-somma integrali inferjuri (relattiva għall-partizzjoni ):

Jekk nammettu li tieħu valuri pożittivi fl-intervall, hija s-somma tar-rettangli inskritti fir-reġjun tal-pjan , taħt il-grafiku ta' .

Niddefinixxu s-somma integrali superjuri (relattiva għall-partizzjoni ):

Analogament, hi s-somma tal-arji tar-rettangli ċirkoskritti fir-regjun .

Jidher ċar li jekk imbagħad għal kull partizzjoni ta' :

.

Dawn iż-żewġ lemmata wieħed jista' jipprovahom faċilment:

Lemma 1.:

Jekk u huma partizzjonijiet ta' u hija rfinament ta' :

.



Lemma 2.:

Għal kull żewġ partizzjonijiet ta' :

.


Ħalli jkunu

partizzjoni ta' ,
partizzjoni ta' .

ngħidulu l-integral inferjuri u l-integral superjuri. Mill-lemma preċidenti nistgħu niddeduċu li dawn jissodisfaw

Definizzjoni[immodifika | immodifika s-sors]

Definizzjoni: Integral skont Riemann

Jekk ngħidu li l-funzjoni hi integrabbli skont Riemann fuq l-intervall magħluq limitat u l-valur kommuni ngħidulu l-integral ta' fuq u nuruh bis-simbolu:


In-numri , ngħidulhom it-truf tal-integrazzjoni u l-integrand ( l-ewwel tarf, it-tieni tarf). Il-varjabbli ta' integrazzjoni hi varjabbli muta jiġifieri tfisser l-istess bħal . Id- insibuha bħala d-differenzjali tal-varjabbli tal-integrazzjoni.

Jekk il-funzjoni integrabbli hi posittiva l-integral hu daqs l-arja tar-reġjun:

Jekk il-funzjoni tibdel is-sinjal fuq l-integral jirrappreżenta is-somma tal-arji bis-sinjal differenti, posittiv jekk l-arja tkun fuq l-assi tal-axissa, negattiv jekk tkun taħt.


Ħalli tkun il-partizzjoni li taqsam l-intervall f'sottointervalli ugwali ta' tul . Jekk il-limiti ta' u ta' meta tersaq lejn l-infinit huma l-istess, imbagħad ikollna

u allura, la , ikollna wkoll

Eżempju 1.

Ħalli u l-intervall ikun . Imbagħad

u

Mela

fejn użajna l-formula .

Bl-istess mod

Allura

Eżempju 2.

B'kuntrast mal-eżempju ta' qabel, ejjew nikkunsidraw il-funzjoni definita hekk

Għal kull partizzjoni tal-intervall , f'kull sottointervall hemm numri razzjonali u irrazzjonali u mela u . Għalhekk

Mela u . La dawn mhux imdaqs nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni mhux integrabbli.

La mhux kull funzjoni hi integrabbli, hemm bżonn li niddeċiedu meta l-integral ta' funzjoni jeżisti jew le. Il-quddiem nagħtu żewġ klassijiet wiesa' ta' funzjonijiet li huma integrabbli. It-teorema li ġejja hi utli ħafna għal din id-deċizzjoni.

Teorema 1: Kundizzjoni meħtieġa u biżżejjed għall-integrabbiltà

Halli tkun funzjoni limitata fuq . Imbagħad hi integrabbli jekkk (jekk u biss jekk), għal kull , teżisti partizzjoni ta' li għaliha


Prova : Nissoponu li hi integrabbli u hekk . Għall kull mogħtija, teżisti partizzjoni ta' li tissodisfa

(Din issegwi mid-definizzjoni tas-supremum). Bl-istess mod teżisti partizzjoni ta' li tissodisfa

Ħalli . Imbagħad minn Lemma 1, għandna


Min naħa l-oħra, nissoponu li għall kull mogħtija, teżisti partizzjoni ta' li tissodisfa . Allura

La hi arbitrarja, bilfors li u allura u hi integrabbli.

Proprjetajiet tal-integral skont Riemann[immodifika | immodifika s-sors]

Integrabbiltà[immodifika | immodifika s-sors]

Proprijetà 1: Il-monotonija hi biżżejjed għall-integrabbiltà

Jekk il-funzjoni hi monotona, allura hi integrabbli.

Prova: Nissoponu li l-funzjoni tiżdied fuq . Il-każ fejn tonqos hu simili. Jekk ningħataw , nistgħu nagħzlu li tissodisfa

Ħalli tkun partizzjoni tal-intervall f'sottointervalli ta' wisa' inqas minn . Mill-monontonija għandna li u . Mela

Allura mit-Teorema 1 nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni hi integrabbli.

Proprijetà 2: Il-kontinwità hi suffiċjenti għall-integrabbiltà

Jekk il-funzjoni hi kontinwa, allura hi integrabbli.

Prova: La l-funzjoni hi kontinwa allura hi kontinwa uniformement. Jekk ningħataw , teżisti li għaliha

kull meta . Jekk hi partizzjoni tal-intervall f'sottointervalli ta' wisa' inqas minn , imbagħad ikollna

u mela

Allura mit-Teorema 1 nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni hi integrabbli.

Linjarità[immodifika | immodifika s-sors]

Proprijetà 3: Il-proprijetà tal-linjarità
Ħalli u jkunu żewġ funzjonijiet kontinwi definiti f'intervall u ħalli jkunu . Imbagħad:

Prova: Jekk jidher ċar li u . Mela la

għandna

B'mod simili jekk għandna u u allura

Mela issa biżżejjed li nipprovaw li

Niftakru li

u għalhekk għal kull partizzjoni ta'

Mit-Teorema 1 nafu li għall kull mogħtija, jeżistu partizzjonijiet u ta' li jissodisfaw

Ħalli . Imbagħad minn Lemma 1, għandna

Jekk nikkumbinaw id-diżugwaljanzi niksbu

u allura l-funzjoni hi integrabbli.

Nin-naħa l-oħra, la

u

nikkonkludu li

Additività[immodifika | immodifika s-sors]

Proprijetà 4: Il-proprijetà tal-additività
Jekk tkun integrabbli fuq l-intervalli u , imbagħad tkun integrabbli fuq l-intervall u


Prova:

Mit-Teorema 1 nafu li għall kull mogħtija, jeżistu partizzjonijiet ta' u ta' li jissodisfaw

Ħalli . Din partizzjoni ta' u għandna

Mela hi integrabbli fuq .

Nin-naħa l-oħra, la

u

nikkonkludu li

kif nixiequ.

Monotonija[immodifika | immodifika s-sors]

Proprijetà 5: Il-propijetà tal-monotonija
Jekk u ikunu żewġ funzjonijiet integrabbli fuq l-intervall u għal kull , imbagħad


Prova : Jekk għal kull , għal kull partizzjoni ta' ikollna

Minn dawn id-diżugwaljanzi nikkonkludu l-monotonija tal-integral.

Valur assolut[immodifika | immodifika s-sors]

Teorema: Teorema tal-valur assolut
Jekk tkun integrabbli fl-intervall , imbagħad hi wkoll integrabbli u


Prova: Ħalli tkun partizzjoni ta' f' sottointervalli

,

u

Mid-diżugwaljanza

għal kull , nikkonkludu li

u allura

Mela la hi integrabbli, hi integrabbli wkoll.

Id-diżugwaljanza bejn l-integrali, niksbuha mir-relazzjoni valida għal kull .

Teorema tal-medja[immodifika | immodifika s-sors]

Teorema: Teorema integrali tal-medja

Jekk tkun kontinwa imbagħad teżisti li għaliha


Prova: La hi kontinwa f', bit-teorema ta' Weierstrass għandha massimu u minimu f':

Mela

Mill-proprijetà tal-monotonija tal-integral jirriżulta li

u allura

Issa mill-proprijetajiet tal-funzjonijiet kontinwi nafu li f' trid tieħu il-valuri kollha f'. Allura, in partikulari teżisti li tissodisfa .

Kalkulu differenzjali u kalkulu integrali[immodifika | immodifika s-sors]

F'din is-sezzjoni nagħtu ż-żewġ teoremi fundamentali tal-kalkulu integrali li jistabillixxu il-konnessjoni intima li teżisti bejn il-kalkulu differenzjali u l-kalkulu integrali. Dawn it-teoremi huma s-sissien tal-analisi integrali fis-sens li huma l-ħolqa li tgħaqqad il-kalkulu differenzjali mal-kalkulu integrali.

Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali I[immodifika | immodifika s-sors]

Teorema: Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali I

Jekk tkun kontinwa, imbagħad il-funzjoni integrali definita bħala

tkun derivabbli f' u jkollha derivata għal kull .


Prova: Nieħdu . Imbagħad għal kull mogħtija, teżisti li għaliha

jekk Jidher ċar li

u li

Allura għandna

u għalhekk

Mela tikkonverġi lejn meta tersaq lejn 0, u allura


Nota: Fil-kalkulu differenzjali hemm dan il-kunċett tal-primittiva:

Funzjoni derivabbli f'intervall ngħidulha l-primittiva ta' f' jekk:

għal kull .

Mela dan it-teorema jiggarantixxi l-eżistenza ta' primittiva.

Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali II[immodifika | immodifika s-sors]

Teorema: Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali II

Jekk tkun derivabbli, u d-derivata tkun integrabbli, imbagħad


Prova: Ħalli tkun partizzjoni ta' f' sottointervalli

u

Billi napplikaw it-teorema tal-valur medju għall kull intervall , niksbu punti , li għalihom

Mela għandna

La għal kull , isegwi li

La din hi valida għal kull partizzjoni , għandna wkoll

Imma qegħdin nassumu li hi integrabbli fuq , u għalhekk

Allura

Integrali impropri[immodifika | immodifika s-sors]

Ngħidu li l-funzjoni hi assolutament integrabbli fuq intervall tat-tip jekk u biss jekk fuq dan l-intervall, il-funzjoni || hija wkoll integrabbli.

Hemm ukoll teorema li tiggarantixxi li funzjoni li hi assolutament integrabbli hi integrabbli, fuq l-intervall tat-tip :

Teorema: Teorema tal-integrabbiltà assoluta

Jekk tkun assolutament integrabbli, imbagħad tkun ukoll integrabbli.


Prova: Bit-teorema fuq l-eżistenza ta'l-integrali nafu li l-kondizzjoni neċessarja u suffiċjenti biex jeżisti u hu finit hi li


Mill-integrabbiltà ta' nafu li l-espressjoni tal-aħħar hi valida jekk inpoġġu minflok :


Imma mill-proprietà tal-valur assolut għall-integrali għandna


U mela nistgħu niktbu

Mill-liema niksbu li hi integrabbli.

Hemm bżonn noqgħodu attenti li ma nħalltux dan it-teorema mal-kuntrarju tiegħu, li hu falz għax mhux il-funzjonijiet integrabbli kollha huma assolutament integrabbli. Eżempju ta' dan hi funzjoni ta' dan it-tip


L-integral skont Lebesgue[immodifika | immodifika s-sors]

L-integral skont Riemann li tħaditna fuqu hawn fuq, għandu motivazzjoni tajba, hu sempliċi biex tiddeskrivih u hu biżżejjed għal ħtieġijiet tal-kalulu elmentari. Però, dan l-integral ma jissodisfax il-ħtieġijiet kollha tal-analisi avvanzata. L-integral skont Lebesgue jippermetti l-integrazzjoni ta' funzjonijiet iżjed ġenerali, jittratta l-funzjonijiet limitati u mhux limitati fl-istess ħin, u jħallina nbidlu lintervall f'settijiet iżjed ġenerali.

Integrali oħra[immodifika | immodifika s-sors]

Bibljografija[immodifika | immodifika s-sors]

Ħoloq esterni[immodifika | immodifika s-sors]