Fl-analisi matematika, l-integral ta' funzjoni hu operatur matematiku li fil-każ ta' funzjoni ta' varjabbli waħda jassoċja mal-funzjoni l-arja taħt il-funzjoni sal-axissa.
L-idea bażika tal-kunċett tal-integral kienet digà dehret fix-xogħol ta' Arkimedi ta' Siracusa, li għex bejn il-287 u il-212 Q.K, l-ewwel parzjalment, fil-metodu li uża biex jikkalkula l-arja ta' ċirku jew ta' segment ta' parabola magħruf bħala l-metodu ta' l-eżawriment u wara iżjed preċiżament fil-kalkulazzjoni tal-arja tas-superfiċi magħluqa mill-ewwel dawra tal-ispiral (li Arkimedi stima minn fuq sa isfel bl-użu ta' każ partikulari ta' dawk li sirna nsejħulhom "sommom ta' Riemann").
Fis-seklu XVII, bosta matematiċi sabu metodi oħra inġenjużi biex jikkalkulaw l-arja taħt il-grafiku ta' funzjonijiet sempliċi, pereżempju:
(Fermat 1636),
(Nikolaus Merkator, 1668).
Imma dan kien qabel li Newton u Leibniz skoprew indipendentement it-teorema fundamentali tal-kalkulu integrali li tefgħet id-direzzjoni tal-problema fuq it-tfittix ta' primittiva jew antiderivata tal-funzjoni.
Il-kalkulu kiseb sisien iżjed sodi b'iżvilupp tal-limiti u x-xogħol ta' Cauchy fl-ewwel nofs tas-seklu 19. L-integral kien formalizzat rigorużament għall-ewwel darba, bl-użu tal-limiti minn Riemann f'dak li ngħidulu l-integral ta' Cauchy-Riemann. Għalkemm il-funzjonijiet kollha li huma kontinwi f'biċċiet u limitati fuq intervall limitat huma integrabbli fis-sens ta' Riemann, wara bdew jiġu ikkonsidrati funzjonijiet iżjed ġenerali li għalihom id-definizzjoni ta' Riemann ma tapplikax, u Lebesgue ifformala definizzjoni differenti tal-integral ibbażata fuq it-teorija tal-miżura. Oħrajn ipproponew definizzjonijiet oħra li jestendu l-approċċ ta' Riemann u Lebesgue.
Il-problema oriġinali tal-kalkulu integrali hu dik tad-definizzjoni u l-kalkulazzjoni tal-arja (bis-sinjal) tal-figura li għandha bħala truf, intervall
fuq l-assi tal-axissi, limitat u magħluq (l-intervall tal-integrazzjoni), il-funzjoni mogħtija
(il-funzjoni integrata) definita fuq
u limitata, u s-segmenti vertikali mit-truf tal-intervall
għall-grafiku tal-funzjoni
. In-numru reali li jagħti dik l-arja nsejħulu l-integral tal-funzjoni
fuq l-intervall
.
Jekk il-grafiku tal-funzjoni
hu magħmul minn segmenti, il-problema nistgħu nirriżolvuh faċilment, sakemm il-figura tista' tinqasam f'rettangli jew trapeżi li nafu niddefinixxu u nikkalkulaw l-arji tagħhom: is-somma alġebrija ta' dawk l-arji hi – għad-definizzjoni – l-integral imfittex.
Fil-każ ġenerali, l-idea bażika tikkonsisti f'li naqsmu l-figura fi strixxi vertikali dojoq, li jistgħu jitqiesu bħala rettangli, nikkalkulaw l-arja ta' kull rettanglu ċkejken u ngħoddu flimkien ir-riżultati miksuba, u hekk ikollna approssimazzjoni għan-numru li qegħdin infittxu. Billi nibqgħu nissuddividu fi strixxi dejjem idjaq u idjaq, nistgħu niksbu approssimazioni dejjem aħjar għall-integral imfittex: jekk jiġri hekk, ngħidu li l-funzjoni
hi integrabbli fuq l-intervall
. Fil-każ tal-kuntrarju, ngħidu li l-funzjoni
m'hijiex integrabbli fuq l-intervall
.
F'termini iżjed formali, naqsmu l-intervall
f'
sottointervalli tat-tip
fejn
u
. Għal kull sottointervall nagħżlu punt
, li l-immaġni tiegħu hi
, u nħażżu r-rettanglu ċkejken li għandu bażi l-intervall
u għoli
; l-arja tal-figura magħmula mir-rettangli ċkejkna kollha mibnija hekk tagħtina s-somma (msejħa ta' Cauchy-Riemann)
.
Jekk meta nċekknu l-wisa' tal-intervalli
, il-valuri miksuba jinġemgħu fi nħawija dejjem iċken ta' numru
, il-funzjoni
hi integrabbli fuq l-intervall
, u
hu l-integral tagħha.
L-analisi sħieħa tiddependi mill-fatt li kemm il-mod ta' taqsim f'intervalli, u kemm l-għażla tal-punti ġewwa dawk l-intervalli iridu jispiċċaw irrilevanti, inkella jiġri li l-arja taħt il-kurva fuq l-intervall ikollha valur li jvarja mal-għażla ta' taqsim f'intervalli u kif il-punti jintgħażlu fl-intervalli.
Il-quddiem nagħtu kundizzjonijiet suffiċjenti biex jiġri dan.
Rappresentazzjoni grafika tal-integral ta' Riemann
Ejjew naqsmu l-intervall kompatt
permezz ta' partizzjoni
f'
sottointervalli :
,
Ħalli jkunu
-
![{\displaystyle m_{k}=\inf\{f(x):x\in [x_{k-1},x_{k}]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/742fad88161c03d77ad57fd3864680a2e15b3278)
-
![{\displaystyle M_{k}=\sup\{f(x):x\in [x_{k-1},x_{k}]\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c89e7526eaa202832960a4acb1117c6a3f12be12)
Niddefinixxu s-somma integrali inferjuri (relattiva għall-partizzjoni
):
Jekk nammettu li
tieħu valuri pożittivi fl-intervall,
hija s-somma tar-rettangli inskritti fir-reġjun tal-pjan
, taħt il-grafiku ta'
.
Niddefinixxu s-somma integrali superjuri (relattiva għall-partizzjoni
):
Analogament,
hi s-somma tal-arji tar-rettangli ċirkoskritti fir-regjun
.
Jidher ċar li jekk
imbagħad għal kull partizzjoni
ta'
:
.
Dawn iż-żewġ lemmata wieħed jista' jipprovahom faċilment:
Lemma 1.:
Jekk
u
huma partizzjonijiet ta'
u
hija rfinament ta'
:
.
Lemma 2.:
Għal kull żewġ partizzjonijiet
ta'
:
.
Ħalli jkunu
partizzjoni ta'
,
partizzjoni ta'
.
ngħidulu l-integral inferjuri u
l-integral superjuri. Mill-lemma preċidenti nistgħu niddeduċu li dawn jissodisfaw
Definizzjoni: Integral skont Riemann
In-numri
,
ngħidulhom it-truf tal-integrazzjoni u
l-integrand (
l-ewwel tarf,
it-tieni tarf). Il-varjabbli ta' integrazzjoni hi varjabbli muta jiġifieri
tfisser l-istess bħal
. Id-
insibuha bħala d-differenzjali tal-varjabbli tal-integrazzjoni.
Jekk il-funzjoni integrabbli
hi posittiva l-integral hu daqs l-arja tar-reġjun:
Jekk il-funzjoni
tibdel is-sinjal fuq
l-integral jirrappreżenta is-somma tal-arji bis-sinjal differenti, posittiv jekk l-arja tkun fuq l-assi tal-axissa, negattiv jekk tkun taħt.
Ħalli tkun il-partizzjoni li taqsam l-intervall
f'sottointervalli ugwali ta' tul
. Jekk il-limiti ta'
u ta'
meta
tersaq lejn l-infinit
huma l-istess, imbagħad ikollna
u allura, la
, ikollna wkoll
Eżempju 1.
Ħalli
u l-intervall ikun
.
Imbagħad
u
Mela
fejn użajna l-formula
.
Bl-istess mod
Allura
Eżempju 2.
B'kuntrast mal-eżempju ta' qabel, ejjew nikkunsidraw il-funzjoni
definita hekk
Għal kull partizzjoni tal-intervall
, f'kull sottointervall
hemm numri razzjonali u irrazzjonali u mela
u
. Għalhekk
Mela
u
. La dawn mhux imdaqs nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni
mhux integrabbli.
La mhux kull funzjoni hi integrabbli, hemm bżonn li niddeċiedu meta l-integral ta' funzjoni
jeżisti jew le. Il-quddiem nagħtu żewġ klassijiet wiesa' ta' funzjonijiet li huma integrabbli. It-teorema li ġejja hi utli ħafna għal din id-deċizzjoni.
Teorema 1: Kundizzjoni meħtieġa u biżżejjed għall-integrabbiltà
Halli
tkun funzjoni limitata fuq
. Imbagħad
hi integrabbli jekkk (jekk u biss jekk), għal kull
, teżisti partizzjoni
ta'
li għaliha
Prova :
Nissoponu li
hi integrabbli u hekk
. Għall kull
mogħtija, teżisti partizzjoni
ta'
li tissodisfa
(Din issegwi mid-definizzjoni tas-supremum). Bl-istess mod teżisti partizzjoni
ta'
li tissodisfa
Ħalli
. Imbagħad minn Lemma 1, għandna
Min naħa l-oħra, nissoponu li għall kull
mogħtija, teżisti partizzjoni
ta'
li tissodisfa
. Allura
La
hi arbitrarja, bilfors li
u allura
u
hi integrabbli.
Proprijetà 1: Il-monotonija hi biżżejjed għall-integrabbiltà
Jekk il-funzjoni
hi monotona, allura hi integrabbli.
Prova:
Nissoponu li l-funzjoni
tiżdied fuq
. Il-każ fejn tonqos hu simili. Jekk ningħataw
, nistgħu nagħzlu
li tissodisfa
Ħalli
tkun partizzjoni tal-intervall
f'sottointervalli
ta' wisa' inqas minn
. Mill-monontonija għandna
li
u
.
Mela
Allura mit-Teorema 1 nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni hi integrabbli.
Proprijetà 2: Il-kontinwità hi suffiċjenti għall-integrabbiltà
Jekk il-funzjoni
hi kontinwa, allura hi integrabbli.
Prova:
La l-funzjoni
hi kontinwa allura hi kontinwa uniformement. Jekk ningħataw
, teżisti
li għaliha
kull meta
. Jekk
hi partizzjoni tal-intervall
f'sottointervalli
ta' wisa' inqas minn
, imbagħad ikollna
u mela
Allura mit-Teorema 1 nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni hi integrabbli.
Proprijetà 3: Il-proprijetà tal-linjarità
Ħalli

u

jkunu żewġ funzjonijiet kontinwi definiti f'intervall
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
u ħalli jkunu

. Imbagħad:
Prova:
Jekk
jidher ċar li
u
. Mela la
għandna
B'mod simili jekk
għandna
u
u allura
Mela issa biżżejjed li nipprovaw li

Niftakru li
u għalhekk għal kull partizzjoni
ta'
Mit-Teorema 1 nafu li għall kull
mogħtija, jeżistu partizzjonijiet
u
ta'
li jissodisfaw
Ħalli
. Imbagħad minn Lemma 1, għandna
Jekk nikkumbinaw id-diżugwaljanzi niksbu
u allura l-funzjoni
hi integrabbli.
Nin-naħa l-oħra, la
u
nikkonkludu li
Proprijetà 4: Il-proprijetà tal-additività
Jekk

tkun integrabbli fuq l-intervalli
![{\displaystyle \displaystyle {[a,c]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72775f56956c2471585ce0489dc81c10cb223410)
u
![{\displaystyle \displaystyle {[c,b]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22bbc681078d068cb5e7be60cb1878ae1e918513)
, imbagħad tkun integrabbli fuq l-intervall
![{\displaystyle \displaystyle {[a,b]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/174b2f0a217f666d656eaf32e3c612c773bac788)
u
Prova:
Mit-Teorema 1 nafu li għall kull
mogħtija, jeżistu partizzjonijiet
ta'
u
ta'
li jissodisfaw
Ħalli
. Din partizzjoni ta'
u għandna
Mela
hi integrabbli fuq
.
Nin-naħa l-oħra, la
u
nikkonkludu li
kif nixiequ.
Proprijetà 5: Il-propijetà tal-monotonija
Jekk

u

ikunu żewġ funzjonijiet integrabbli fuq l-intervall
![{\displaystyle \ [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f4c40bbeaa2f59e60b6259cebe2479bc24396f0)
u

għal kull
![{\displaystyle \ x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c2ee6252d24b5f0a958ad066e393f803d7b427)
, imbagħad
Prova :
Jekk
għal kull
, għal kull partizzjoni
ta'
ikollna
Minn dawn id-diżugwaljanzi nikkonkludu l-monotonija tal-integral.
Teorema: Teorema tal-valur assolut
Jekk

tkun integrabbli fl-intervall
![{\displaystyle \ [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f4c40bbeaa2f59e60b6259cebe2479bc24396f0)
, imbagħad

hi wkoll integrabbli u
Prova:
Ħalli
tkun partizzjoni ta'
f'
sottointervalli
,
u
Mid-diżugwaljanza
għal kull
,
nikkonkludu li
u allura
Mela la
hi integrabbli,
hi integrabbli wkoll.
Id-diżugwaljanza bejn l-integrali, niksbuha mir-relazzjoni
valida għal kull
.
Teorema: Teorema integrali tal-medja
Jekk
tkun kontinwa imbagħad teżisti
li għaliha
Prova:
La
hi kontinwa f'
, bit-teorema ta' Weierstrass għandha massimu
u minimu
f'
:
Mela
Mill-proprijetà tal-monotonija tal-integral jirriżulta li
u allura
Issa mill-proprijetajiet tal-funzjonijiet kontinwi nafu li
f'
trid tieħu il-valuri kollha f'
.
Allura, in partikulari teżisti
li tissodisfa
.
F'din is-sezzjoni nagħtu ż-żewġ teoremi fundamentali tal-kalkulu integrali li jistabillixxu il-konnessjoni intima li teżisti bejn il-kalkulu differenzjali u l-kalkulu integrali. Dawn it-teoremi huma s-sissien tal-analisi integrali fis-sens li huma l-ħolqa li tgħaqqad il-kalkulu differenzjali mal-kalkulu integrali.
Teorema: Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali I
Prova: Nieħdu
. Imbagħad għal kull
mogħtija, teżisti
li għaliha
jekk
Jidher ċar li
u li
Allura għandna
u għalhekk
Mela
tikkonverġi lejn
meta
tersaq lejn 0, u allura
Nota:
Fil-kalkulu differenzjali hemm dan il-kunċett tal-primittiva:
Funzjoni
derivabbli f'intervall
ngħidulha l-primittiva ta'
f'
jekk:
għal kull
.
Mela dan it-teorema jiggarantixxi l-eżistenza ta' primittiva.
Teorema: Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali II
Jekk
tkun derivabbli, u d-derivata
tkun integrabbli, imbagħad
Prova: Ħalli
tkun partizzjoni ta'
f'
sottointervalli
u
Billi napplikaw it-teorema tal-valur medju għall kull intervall
, niksbu punti
, li għalihom
Mela għandna
La
għal kull
, isegwi li
La din hi valida għal kull partizzjoni
, għandna wkoll
Imma qegħdin nassumu li
hi integrabbli fuq
, u għalhekk
Allura
Ngħidu li l-funzjoni
hi assolutament integrabbli fuq intervall tat-tip
jekk u biss jekk fuq dan l-intervall, il-funzjoni |
| hija wkoll integrabbli.
Hemm ukoll teorema li tiggarantixxi li funzjoni li hi assolutament integrabbli hi integrabbli, fuq l-intervall tat-tip
:
Teorema: Teorema tal-integrabbiltà assoluta
Jekk
tkun assolutament integrabbli, imbagħad tkun ukoll integrabbli.
Prova:
Bit-teorema fuq l-eżistenza ta'l-integrali nafu li l-kondizzjoni neċessarja u suffiċjenti biex
jeżisti u hu finit hi li
Mill-integrabbiltà ta'
nafu li l-espressjoni tal-aħħar hi valida jekk inpoġġu
minflok
:
Imma mill-proprietà tal-valur assolut għall-integrali għandna
U mela nistgħu niktbu
Mill-liema niksbu li
hi integrabbli.
Hemm bżonn noqgħodu attenti li ma nħalltux dan it-teorema mal-kuntrarju tiegħu, li hu falz għax mhux il-funzjonijiet integrabbli kollha huma assolutament integrabbli. Eżempju ta' dan hi funzjoni ta' dan it-tip

L-integral skont Riemann li tħaditna fuqu hawn fuq, għandu motivazzjoni tajba, hu sempliċi biex tiddeskrivih u hu biżżejjed għal ħtieġijiet tal-kalulu elmentari. Però, dan l-integral ma jissodisfax il-ħtieġijiet kollha tal-analisi avvanzata. L-integral skont Lebesgue jippermetti l-integrazzjoni ta' funzjonijiet iżjed ġenerali, jittratta l-funzjonijiet limitati u mhux limitati fl-istess ħin, u jħallina nbidlu lintervall
f'settijiet iżjed ġenerali.