Derivata

Minn Wikipedija, l-enċiklopedija l-ħielsa
Aqbeż lejn: navigazzjoni, fittex

Fil-Matematika id-derivata ta' funzjoni hija, mal-integral, waħda mill-kolonni tal-analisi matematika u tal-kalkulu infiniteżmali.

Nistgħu nifhmu b'mod sempliċi x'inhi d-derivata jekk inħarsu lejn it-tifsira ġometrika tagħha: ġometrikament id-derivata ta' funzjoni f' punt hija l-kejl tal-pendil tal-linja dritta tanġenti mal-kurva rappreżentata mill-grafiku tal-funzjoni fil-punt , jiġifieri, it-tanġent trigonometriku tal-angolu bejn il-linja dritta tanġenti u l-assi orizzontali.

Fil-każ ta' funzjonijiet ta' varjabbli waħda, derivabbli fid-dominju kollu tagħhom, jew almenu f'intervall ta' dan, b'operazzjonijiet alġebrin niksbu funzjoni ġdida li tirrappreżenta d-derivata mal-varjazzjoni ta' . Din hi li nfissru s-soltu meta nitħaddtu ġenerikament fuq id-derivata ta' funzjoni, għax hi unika apparti mis-sinjal, li jiddipendi mid-direzzjoni li nkunu qed nikkonsidraw fid-derivazzjoni ('l quddiem jew lura).

Fil-każ ta' funzjonijiet ta' aktar varjabbli indipendenti din l-uniċità tintilef, għaliex in-numru ta' direzzjonijiet li fihom nistgħu nikkalkulaw ir-rapport inkrementali ma jibqgħax iżjed tnejn imma jsir infinit: ma jibqgħax possibli li niddefinixxu funzjoni waħda tal-istess varjabbli indipendenti li tagħti r-rapporti inkrementali kollha possibbli tal-funzjoni. Għalhekk neħtieġu d-derivati parzjali tal-funzjoni, li meta nikkombinawhom linjarment jagħtuna r-rapport inkrementali tal-funzjoni f'kull direzzjoni li rridu.

Definizzjoni u notazzjoni[immodifika | immodifika s-sors]

Fl-analisi matematika d-derivata ta' funzjoni reali ta' varjabbli reali fil-punt hi definita bħala l-limitu tar-rapport inkrementali meta l-inkrement jersaq lejn 0, taħt l-ipoteżi li dak il-limitu jeżisti u hu finit.

Iżjed preċiż, jekk ikollna funzjoni definita f'inħawija ta' ngħidu li hi derivabbli fil-punt jekk jeżisti u hu finit dan il-limitu:

Il-valur ta' dan il-limitu, indikat normalment b', ngħidulu d- derivata tal-funzjoni fil-punt . Jekk il-funzjoni hi derivabbli f'kull punt tal-intervall , ngħidu li hi derivabbli f', u l- funzjoni li tassoċja ma' kull punt id-derivata ta' f' , insejħulha l-funzjoni derivata ta' .

Id-derivata fil-punt nistgħu nindikawaha b'wieħed minn dawn is-simboli:

  • skont in-notazzjoni ta' Lagrange.
  • skont in-notazzjoni ta' Cauchy.
  • skont in-notazzjoni ta' Leibniz: l-ewwel li dehret storikament hi .
  • skont in-notazzjoni ta' Newton.

Derivata mill-lemin u mix-xellug[immodifika | immodifika s-sors]

Jissejjaħ derivata mill-lemin ta' f' il-limitu:

Jissejjaħ derivata mix-xellug ta' f' il-limitu:

Funzjoni hi derivabbli f' jekk u biss jekk id-derivati mill-lemin u mix-xellug jeżistu u għandhom l-istess valur.

Permezz tad-derivati mill-lemin u mix-xellug nistgħu niddefinixxu d-derivabbiltà fuq intervall mhux miftuħ: pereżempju jekk hi definita f'l-intervall magħluq , ngħidu li hi derivabbli f' jekk hi derivabbli f'kull punt intern ta' , u jekk jeżistu d-derivati mill-lemin u mix-xellug rispettivament fit-truf u .

Tifsira ġometrika tad-derivata[immodifika | immodifika s-sors]

Il-linja dritta ħamra hi t-tanġent mal-funzjoni f(x) fil-punt x0

Il-valur tad-derivata ta' ikkalkulat f' għandu sinjifikat ġometriku: dan hu l-koeffiċjent angulari tal-linja dritta tanġenti mal-kurva rappreżentata mill-grafiku ta' , fil-punt bil-koordinati .

Fi kiem ieħor, id-derivata hi l-valur tat-tanġent trigonometriku tal-angolu li l-linja dritta tanġenti mal-kurva fil-punt tifforma mal-assi tal-axissi.

L-ekwazzjoni tal-linja dritta tanġenti f' hija:

Iżjed preċiż, jekk hi derivabbli fil-punt , teżisti funzjoni definita f'inħawija ta' tali li:

fejn

Ngħidu li hu infiniteżmu ta' ordni ogħla mill-funzjoni . B'din irridu nesprimu l-idea li t-termini jagħti kontribut li nistgħu nittraskurawh jew inħalluh barra kkomparat mat-termini l-oħra meta nersqu lejn .


Niddefinixxu b'l-istess dominju ta' , bħala:

u nivverifikaw li:

Niftakru li għal : għandna : mela :

Meta nissostitwixxu din l-aħħar ugwaljanza f'(1) ikollna:

u nikkonfermaw it-teżi.

Teorema tal-kontinwità[immodifika | immodifika s-sors]

Teorema: Teorema tal-kontinwità

It-teorema jgħid li jekk tkun derivabbli f' imbagħad tkun ukoll kontinwa f'.

Inwiddbu li l-kuntrarju mhux dejjem veru: pereżempju, il-funzjoni hi kontinwa fuq id-dominju kollu, imma mhux derivabbli fil-punt , għaliex id-derivata tal-lemin mhux l-istess bħal tax-xellug.

Prova tat-Teorema:

Il-prova tiġi mill-ugwaljanza ta' qabel:

minn fejn niksbu:

Għalhekk il-funzjoni hi kontinwa f'.

Funzjonijiet mhux derivabbli[immodifika | immodifika s-sors]

Funzjoni kontinwa tista' tkun non-derivabbli. Fost il-fenomeni li jistgħu iġegħlu ‘l-funzjoni ma tkunx kontinwa, hemm dawn li ġejjin:

Jeżistu wkoll funzjonijiet kontinwi li jieħdu forom iżjed komplessi ta' non-derivabbiltà, pereżempju l-funzjoni ta' Cantor.

L--il Derivata[immodifika | immodifika s-sors]

L-" -il derivata", , ta' funzjoni hi l-funzjoni li niksbu meta nidderivaw il-funzjoni darbiet waħda wara l-oħra. Għalhekk ngħidu it-tieni derivata, it-tielet derivata, il-ħmistax-il derivata etc... u nużaw din in-notazzjoni:

,
...

Funzjoni li hi derivabbli mhux bilfors hi derivabbli -il darba: Pereżempju din il- funzjoni għandha l-ewwel derivata imma m'għandhiex it-tieni:

Infatti id-derivata ta' hi , li minn naħa tagħha mhijiex derivabbli.

Teoremi[immodifika | immodifika s-sors]

Hawn taħt nagħtu xi ftit teoremi u riżultati importanti.

Teorema ta' Fermat[immodifika | immodifika s-sors]

Teorema: Teorema ta' Fermat

Jekk il-funzjoni tkun derivabbli, u allura kontinwa, f'punt fl-intern tad-dominju ta' li jkun punt massimu jew minimu tal-funzjoni, imbagħad id-derivata tal-funzjoni f' tkun nulla, jiġifieri .

Dan it-teorema jintuża ħafna fi tfittxija ta' punti ta' massimu jew ta' minimu fejn il-funzjoni derivata hi nulla. Kull punt fejn hi żero ngħidulu punt stazzjonarju. Allura il-punti ta' massimu u ta' minimu huma stazzjonarji.

Osservazzjonijiet:

  • hu neċessarju li tkun punt ġewwieni tad-dominju
  • il-funzjoni trid tkun derivabbli fil-punt , inkella t-teorema ma jagħmilx sens.

Prova:
Biex niffissaw l-idejat, ejjew nissoponu li hu punt ta' massimu u għalhekk hu valur massimu tal-funzjoni f' ; il-prova hija l-istess fil-każ li jkun punt ta' minimu għal .
Inħarsu lejn ir-rapport inkrementali:
In-numeratur għaliex, bl-ipoteżi, hu punt ta' massimu u għalhekk .

Mela nistgħu ngħidu li :

  • jekk , għax in-numeratur hu dejjem negattiv jew null u d-denominatur hu dejjem negattiv;
  • jekk , għax in-numeratur hu dejjem negattiv jew null u d-denominatur hu dejjem pożittiv.

Isegwi, bit-teorema tal-permanenza tas-sinjal li:



Imma bl-ipoteżi, il-funzjoni hi derivabbli f' u għalhekk il-limitu tar-rapport inkrementali f' jeżisti u hu finit. Allura jrid ikun fl-istess ħin u , u mela hu null, kif ridna nuru.

Teorema ta' Rolle[immodifika | immodifika s-sors]

Teorema: Teorema ta' Rolle
Ħalli tkun funzjoni kontinwa fl-intervall magħluq u derivabbli fl-intervall miftuħ . Jekk ,imbagħad jeżisti punt ġewwa l-intervall miftuħ fejn l-ewwel derivata tkun nulla, .

Teorema ta' Lagrange[immodifika | immodifika s-sors]

Teorema: Teorema ta' Lagrange

Ħalli tkun funzjoni kontinwa f' u derivabbli f' , imbagħad jeżisti mill-inqas punt wieħed ġewwa li għalih:

Il-teorema jgħid li jeżisti mill-inqas punt wieħed tal-grafiku tal-funzjoni, , fejn il-linja dritta tanġenti għandha koeffiċjent angulari daqs dak tal-korda dritta li tgħaddi mill-punti u .

Dan it-teorema hu ġeneralizzazzjoni ta' dak ta qabel fis-sens li jħares lejn il-każ fejn hi differenti minn ; jekk hi daqs nerġgħu niksbu it-Teorema ta' Rolle.

Teorema ta' Cauchy[immodifika | immodifika s-sors]

Teorema: Teorema ta' Cauchy
Ħalli u jkunu funzjonijiet kontinwi f' u derivabili f' u differenti minn 0 għal kull punt tal-intervall, imbagħad jeżisti mill-inqas punt wieħed li qiegħed f' li għalih:

Jekk inpoġġu , niksbu mill-ġdid it-teorema ta' Lagrange.

Teorema żdieda-tinqis[immodifika | immodifika s-sors]

Teorema: Teorema żdieda-tinqis

Jekk tkun kontinwa f' u derivabbli f' , imbagħad :

  • jekk u biss jekk il-funzjoni tiżdied f' ,
  • jekk u biss jekk il-funzjoni tonqos f' .

Jista' jkun li l-funzjoni ma tiżdidx (jew ma tonqosx) strettament. It-teorema hi konsegwenza diretta tat-teorema ta' Lagrange.

Għandna wkoll:.

  • Jekk , il-funzjoni tiżdied strettament f'
  • Jekk , il-funzjoni tonqos strettament f'

Funzjoni li tiżdied strettament mhux bilfors ikollha derivata kullimkien posittiva. Pereżempju

hi tiżdied strettament, imma għandha derivata nulla fl-oriġini (fejn hemm punt ta' fless).

Teorema tal-funzjoni kostanti[immodifika | immodifika s-sors]

Teorema: Teorema tal-funzjoni kostanti

Funzjoni hi kostanti fl-intervall jekk u biss jekk hi derivabbli u d-derivata hi kullimkien nulla fl-intervall.

Derivata ta' funzjonijiet vettorjali[immodifika | immodifika s-sors]

Funzjoni vettorjali ngħidulha derivabbli fil-punt jekk jeżisti u hu finit il-limitu

Billi l-argument tal-limitu hu vettur, ir-riżultat hu wkoll vettur. Infatti d-derivata ta' hi l-vettur magħmul mid-derivati tal-komponenti tagħha:

.

Derivabbiltà f'[immodifika | immodifika s-sors]

Funzjoni ngħidulha derivabbli f' jekk jeżistu u huma finiti d-derivati parzjali tagħha kollha.

Konvessità[immodifika | immodifika s-sors]

Ħalli tkun derivabbli. Ngħidu li l-funzjoni hi:

  • konvessa f' jekk il-grafiku tal-funzjoni f' jibqa' dejjem taħt il-linja dritta tanġenti fil-punt .

Bis-simboli:

  • konkava f' jekk il-grafiku tal-funzjoni f' jibqa' dejjem 'l fuq mill-linja dritta tanġenti fil-punt .

Bis-simboli:

Derivata ta' serje ta' potenzi[immodifika | immodifika s-sors]

Funzjoni li nistgħu niktbuha bħala serje ta' potenzi b' raġġ ta' konvergenza , hi derivabbli fuq l-intervall kollu. Id-derivata nistgħu nikkalkulawha billi nidderivaw is-serje terminu terminu b'dan il-mod:

Dan it-tip ta' derivata hu importanti għall-iżvilupp ta' Taylor u McLaurin.

Derivata formali[immodifika | immodifika s-sors]

Fit-teorija taċ-ċrieki nintroduċu l-idea ta' derivata formali bħala l-operatur li jissodisfa:

  • (l-operazzjoni hi linjari)
  • (ir-regola ta' Leibniz).

Pereżempju bħala applikazzjoni hemm id-derivata formali ta' polinomju, sfruttata, fost postijiet oħra, fil-ġometrija alġebrija.