Funzjonijiet (matematika)

Minn Wikipedija, l-enċiklopedija l-ħielsa
Aqbeż lejn: navigazzjoni, fittex
Funzjoni.jpg

Fil-matematika, funzjoni minn għal hi magħmula minn:

1) sett imsejjaħ id-dominju ta'

2) sett imsejjaħ il-kodominju ta’

3) liġi li ma' kull element f' tassoċja element wieħed u wieħed biss f' .

jissejjaħ l-argument tal-funzjoni, jew inkella il-varjabbli indipendenti, waqt li huwa l-valur tal-funzjoni, jew inkella l-varjabbli dipendenti.

Dawn li ġejjin huma kliem sinonimi ma' "funzjoni":
"applikazzjoni", "operatur", "mappa", "relazzjoni binarja univoka", "trasformazzjoni".

Dan il-kunċett hu fundamentali fil-friegħi kollha tal-matematika.

Eżempji[immodifika | immodifika s-sors]

L-iżjed eżempji sempliċi ta’ funzjonijiet huma dawk li bħala d-dominju u l-kodominju għandhom settijiet numeriċi. Pereżempju, jekk ma’ kull numru nassoċjaw id-doppju ta’ dak in-numru, ikollna funzjoni. Ma dan kollu nitkellmu fuq funzjoni anki meta d-dominju u l-kodominju jew it-tnejn ma jkunux settijiet ta’ numri. Pereżempju, jekk ma’ kull trianglu nassoċjaw iċ-ċirku inskritt fih, ikollna funzjoni għaliex għal kull trianglu jeżisti ċirku wieħed u wieħed biss li hu inskritt fih.

Sikwit nitkellmu fuq funzjonijet b’iżjed argumenti, jew b’iżjed valuri, pereżempju, funzjoni li l-koordinati ta’ punt fl-ispazju torbothom mat-temperatura u l-pressjoni ta’ l-arja. F’dan il-każ , il-funzjoni fir-realtà xorta għandha argument wieħed biss, li hu t-terna , u xorta għandha valur wieħed biss, li hu l-koppja .

Definizzjoni[immodifika | immodifika s-sors]

Mogħtija s-settijiet u , sottosett tal-prodott Carteżjan insejħulu funzjoni minn għal , jekk għal kull , jeżisti element wieħed u wieħed biss tali . Dan l-element tradizzjonalment niddenotawh b’ : fi kliem ieħor, minflok niktbu nistgħu nużaw il-kitba tradizzjonali .

Il-fatt li hija funzjoni minn għal li tassoċja ma’ l-element nistgħu nuruh billi niktbu:

Is-sett (li minnu l-funzjoni "tieħu" il-valuri) hu id-dominju tal-funzjoni , waqt li s-sett (li fih insibu l-valuri "mogħtijin" mill-funzjoni ) hu l-kodomiju tal-funzjoni .

Nosservaw li t-termini metaforiċi "tieħu valur" u "tagħti valur" jirreferu għal mudell mekkaniku tal-funzjonijiet li jirrapreżenthom bħala magna li meta ttiha element tad-dominju, tittrasformah fl-element imqabbel tal-kodominju. Minn din ix-xbieha jiġi s-sinonimu trasformazzjoni.

Is-sett

mogħti mill-elementi tal-kodominju li għalihom jeżisti fid-dominju li tittrasfoma f’ ngħidulu l-immaġini ta’ u niddenotawh b’ Im jew b’abbuż żgħir tal-lingwa b' .

Anki din it-termini ġejja minn mudell li jħares lejn funzjoni bħala sistema tad-dawl, pereżempju lenti; f’dal-mudell l-elementi tad-dominju jikkorrespondu ma’ ġħejun ta’ raġġi tad-dawl u l-elementi tal-kodominju ma’ fejn jolqtu r-raġġi jew l-immaġini.

Definizzjoni alternattiva[immodifika | immodifika s-sors]

Xi matematiċi jippreferixxu d-definizzjoni alternattiva ta’ funzjoni li ġejja, li għalkemm hi iżjed rigoruża, rari tintuża:

Funzjoni hija terna ordnata , fejn hu sett, hu sett ieħor, u hu tali

Operazzjonijiet fuq il-funzjonijiet[immodifika | immodifika s-sors]

Jekk ikollna żewġ funzjonijiet  :  →  u  :  →  nistgħu niddefinixxu l-kompożizzjoni tagħhom: din hi definita bħala l-applikazzjoni l-ewwel ta’ fuq u mbagħad l-applikazzjoni ta’ fuq ir-riżultat .

Din il-funzjoni ġdida niddenotawha b’ . Jekk nużaw in-notazzjoni tradizzjonali nistgħu niktbu hekk:

Notazzjonijiet għall-funzjonijiet[immodifika | immodifika s-sors]

Jistgħu jintużaw notazzjonijiet oħra għall-valur ta’ funzjoni li jikkorrispondi ma’ element , iddenotat fin-notazzjoni tradizzjonali b’:

F'dik li nsejħulha notazzjoni b’funzjoni prefissa niktbu:

.

F'dik li nsejħulha notazzjoni b’funzjoni suffissa niktbu:

.

B’dawn in-notazzjonijiet il-kompożizzjoni ta’ żewġ funzjonijiet u jistgħu jinkitbu f’4 modi:

,
,
,
.

Xi drabi minflok parentesi tondi jintużaw parentesi kwadri:

.

B’dan il-mod nevitaw il-konfużjoni mal-parentesi li juru l-ordni ta’ l-operazzjonijiet. Fost oħrajn din in-notazzjoni tintuża f’xi programmi ta’ kalkulu simboliku.

Funzjonijiet ta’ żewġ varjabbli jew iżjed[immodifika | immodifika s-sors]

Meta d-dominju ta' funzjoni ikun il-prodott karteżjan ta' żewġ settijiet u hekk il-funzjoni taġixxi fuq koppji ta’ elementi ta’ settijiet l-immaġini tal-koppja nuruha bin-notazzjoni

allavolja bin-notazzjoni introdotta fuq, suppost niktbu . F'dal-kaz il-funzjoni tissejjaħ funzjoni ta’ żewġ varjabbli.

Pereżempju, il-funzjoni ta’ multiplikazzjoni tassoċja żewġ numri naturali mal-prodott tagħhom: . Din il-funzjoni nistgħu niddefinuha formalment bid-dominju , is-sett tal-koppji tan-numri naturali kollha.

L-istess japplika jekk minflok żewġ settijiet nieħdu tlieta jew iżjed.

Funzjonijiet ta’ iżjed valuri[immodifika | immodifika s-sors]

Jekk il-kodominju ta’ funzjoni hu l-prodott Carteżjan ta' żewġ settijiet jew iżjed, dawk il-varjabbli spiss jinġabru f’vettur u nistgħu ngħidulha funzjoni vettorjali.

Eżempju tipiku hu t-trasformazzjoni linjari tal-pjan, pereżempju:

.

Funzjoni ngħidulha polidroma fil-każ li r-riżultat ta’ l-operazzjoni hu definit univokament: pereżempju, ir-radiċi kwadrata ta’ numru reali posittiv jinkiteb bħala l-funzjoni

li tassoċja ma kull numru reali posittiv is-sett taż-żewġ radiċi kwadrati. Eżempju ieħor analogu hu l-logaritmu definit fuq is-sett tan-numri komplessi.

Operazzjonijiet binarji[immodifika | immodifika s-sors]

Ħafna operazzjonijiet binarji ta’ l-aritmetika, bħal l-addizzjoni u l-multiplikazzjoni, huma funzjonijiet mill-prodott karteżjan għal , u niddeskrivuhomu bin-notazzjoni infissa: jiġifieri niktbu (u mhux ) biex niddeskrivu l-immagini tal-koppja bl-operazzjoni .

Din in-notazzjoni ġiet ġeneralizzata fl-alġebra moderna, biex ikunu jistgħu jiġu definiti strutturi alġebrin bħal pereżempju dik ta’ grupp, bħala sett mogħti xi operazzjonijiet binarji li għandhom propjetajiet determinati.

Klassifikazzjoni[immodifika | immodifika s-sors]

Fil-matematika u sostanzjalment fl-applikazzjonijiet tagħha kollha niltaqgħu ma’ ħafna tipi ta’ funzjonijiet b’karatteristiċi diversi ħafna. L-għadd kbir tal-funzjonijiet għalhekk nikklassifikawha skond bosta kriteri.

Klassifikazzjoni bbażata purament fuq is-settijiet[immodifika | immodifika s-sors]

Klassifikazzjoni bbażata fuq it-tip ta’ dominju u kodominju[immodifika | immodifika s-sors]

Klassifikazzjoni tal-funzjonijiet mill-ambitu tal-kalkulabbilià[immodifika | immodifika s-sors]

Klassifikazzjoni tal-funzjonijiet ta’ l-analisi infiniteżmali[immodifika | immodifika s-sors]

Xi funzjonijiet magħrufa[immodifika | immodifika s-sors]

Funzjonijiet ta’ interess probabilistiku u statistiku[immodifika | immodifika s-sors]