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Pitagora

Pitagora

Bust ta' Pitagora. Kopja Rumana ta' oriġinal Grieg. Musei Capitolini, Ruma.
Twelid	Samos, madwar 580 QK
Mewt	madwar 495 QK
Skola/tradizzjoni	Skola Pitagorika
Interessi prinċipali	Etika, Loġika,Matematika, Mużika, Filosofija, Politika
Ideat	Skala Pitagorika, Armonija tal-Isferi, Numru tad-deheb, Teorema ta' Pitagora
Influwenzat minn	Skola ta' Miletu
Influwenza lil	Platon, Archytas de Tarente, Cicéron, Porphyre, Jamblique, Pic de la Mirandole

Pitagora (bil-Grieg antik Πυθαγόρας, Pythagóras) kien matematiku, tawmaturgo, astronomu, xjenzjat, politiku u fundatur f'Crotone ta' waħda mill-iskejjel tal-ħsieb l-aktar importanti tal-umanità, li ħadet ismu: l-Iskola Pitagorika.

II-ħsieb tiegħu kellu importanza enormi fl-iżvilupp tas-xjenza oċċidentali għax kien l-ewwel wieħed li induna bil qawwa tal-matematika biex niddeskrivu d-dinja. Id-duttrini tiegħu immarkaw it-twelid ta' riflessjoni kkaratterizzata bl-imħabba tal-kuxjenza. L-iskola msemmija għalih kienet il-benniena li fl-ambitu tagħha żviluppaw ħafna oqsma tal-għarfien, b'mod partikulari dawk matematiċi u l-applikazzjonijiet tagħhom bħall-famuża teorema ta' Pitagora.

Pitagora awtur tat-terminu "filosofija"

Pitagora è stato indicato in passato come l'autore del termine "filosofia" inteso come "amore per la sapienza". La storia della filosofia fa risalire questo nuovo termine a fonti come Eraclide Pontico, Cicerone (nelle Tuscolane) e Diogene Laerzio (nelle Vite e dottrine dei più celebri filosofi).

Autori moderni tra cui Walter Burkert e Christoph Riedweg hanno messo in dubbio questa tradizione antica. Riedweg ha rilevato come intendere modestamente il filosofo come colui che ama (Mudell:Polytonic) la sapienza (Mudell:Polytonic) ma non la possiede perché solo gli dei sono veramente sapienti, voglia significare che con un'apparente «umile definizione della filosofia», il filosofo pretenderebbe di «raggiungere qualcosa di irraggiungibile»: la sapienza divina.

Questa interpretazione del termine "filosofia", non corrisponde al senso delle dottrine dei presocratici dove l'interesse fondamentale era la conoscenza della natura escludendo ogni altra considerazione trascendente per cui quel significato piuttosto sembra essere più adeguato alla dottrina platonica.

In un frammento che si fa risalire ad Eraclito, poi, sarebbe già indicato, prima ancora che in Pitagora, il termine "filosofia" e così anche in un'opera precedente di Erodoto il quale, però, per l'uso normale, cioè non nel suo significato specifico, che egli ne fa nelle sue Storie rende difficile pensare che questa parola sia nata negli anni venti del V secolo quando probabilmente fu pubblicata la sua opera.

Infine questa attribuzione di modestia che si troverebbe nel significato del filosofo che "ama la sofia che però non gli appartiene" non si confarebbe al carattere di Pitagora che orgogliosamente si poneva come un capo religioso dalla personalità carismatica.

Storia e leggenda

La figura di Pitagora, detto "il "saggio di Samo", è una delle più controverse della storia della Grecia antica. La ragione di questa problematicità risiede sostanzialmente nella scarsa decifrabilità – quando non attendibilità – delle testimonianze che lo riguardano.

La figura storica di Pitagora viene malgrado tutto menzionata da scrittori suoi contemporanei o di poco posteriori come Senofane, Eraclito, Erodoto, e sembra essere accertata ma la sua fisionomia di filosofo risulta confusa poiché si mescola alla leggenda narrata nelle numerose Vite di Pitagora, composte nel periodo del tardo neoplatonismo e del neopitagorismo, nelle quali il filosofo viene presentato come figlio del dio Apollo. Secondo la leggenda, il nome risalirebbe etimologicamente ad una parola che significherebbe "annunciatore del Pizio", cioè del dio Apollo (Mudell:Polytonic – Pythagòras), composto da Mudell:Polytonic (Pýthios, un epiteto di Apollo) e agorà (Mudell:Polytonic – "piazza"); altre fonti identificano il primo elemento con pèithō (Mudell:Polytonic – "persuadere"), quindi "colui che persuade la piazza", "colui che parla in piazza", "oratore della piazza".

Si giunse a considerarlo profeta, guaritore, mago e ad attribuirgli veri e propri miracoli. Soprattutto in Giamblico e nei Neoplatonici viene costruita questa immagine soprannaturale del filosofo quale mito della religiosità pagana forse in opposizione al dilagante Cristianesimo e alla figura del Cristo.

È quasi impossibile distinguere, nell'insieme di dottrine e frammenti a noi pervenuti, non solo ciò che appartiene al pensiero di Pitagora ma neppure, nonostante i tentativi di John Burnet di separare il pensiero del primo pitagorismo da quello successivo. Anche Aristotele, che si può considerare il primo storico della filosofia, nella difficoltà evidente di identificare la dottrina del maestro, parla genericamente de «i cosiddetti pitagorici».

Biografia

Stampa:Pitagora bis.JPG

Busto di Pitagora. Copia romana, della fine del I secolo a.C., di un originale greco della prima età ellenistica o tardo ellenistica

La vita di Pitagora è poco nota e la maggior parte delle testimonianze che lo riguardano sono di epoca più tarda. Alcuni autori antichi o suoi contemporanei come Senofane, Eraclito ed Erodoto hanno dato testimonianze tali da far pensare alla esistenza storica di Pitagora, pur se inserita nella tradizione leggendaria. La più antica testimonianza su Pitagora risale a un detto canzonatorio di Senofane (VI secolo a.C.), dove Pitagora si sarebbe lamentato con un tale perché picchiava un cane in cui egli aveva riconosciuto l'anima di un suo amico. Nel IV secolo, lo scettico Timone di Fliunte accusa Pitagora di essere stato un ciarlatano; altrettanto Cratino, poeta comico ateniese, accusa i pitagorici di usare la retorica per ingannare i loro uditori. Anche Eraclito ha sostenuto che Pitagora, figlio di Menarco, fosse un erudito, ma di "artificiosa astuzia" e incapace di comprendere cosa caratterizzasse la sua erudizione.

Secondo queste fonti, Pitagora nacque nella prima metà del VI secolo a.C. nell'isola di Samo, dove fu scolaro di Ferecide e Anassimandro subendone l'influenza nel suo pensiero. Secondo alcune ricostruzioni, il padre potrebbe essere stato un cittadino facoltoso di nome Mnesarco, questi trovandosi a Delfi volle chiedere alla Pizia delucidazioni sul suo futuro e la sacerdotessa predisse la nascita di un figlio utile al genere umano e saggio. Secondo altre fonti, Pitagora non nacque in Grecia, ma nell'omonima città di Samo in Calabria, dopo essersi trasferito insieme alla famiglia di facoltosi mercanti.

Attribuibile alle leggende sulla vita di Pitagora è il suo matrimonio con Teano, dalla quale avrebbe avuto tre figli: due maschi, Arimnesto e Telauge, e una femmina, Damo.

Da Samo, Pitagora si trasferì nella Magna Grecia. Dei suoi viaggi in Egitto e a Babilonia, narrati dalla tradizione dossografica, non vi sono fonti certe; essi sono ritenuti, almeno in parte, leggendari. Viste le testimonianze, è probabile che l'erudito Pitagora, giunto a Crotone da Samo intorno al 530 a.C., abbia impressionato le élite locali e, guadagnando presto la loro fiducia, le abbia infine spinte ad adottare costumi più sobri e a cercare l'armonia all'interno della propria comunità. A Crotone fondò la Scuola pitagorica. Secondo Russell, il trasferimento di Pitagora si dovette a cause politiche in quanto il filosofo non approvava la tirannide di Policrate.

Sulla sua morte i resoconti dei biografi non coincidono: essendo scoppiata una rivolta dei democratici contro il partito aristocratico pitagorico, la casa dove si erano riuniti gli esponenti più importanti della setta fu incendiata. Si salvarono Archippo e Liside che si rifugiò a Tebe. Secondo una versione, Pitagora prima della sommossa si era ritirato a Metaponto, dove morì. Secondo altri invece casualmente era assente alla riunione nella casa incendiata e quindi riuscì a salvarsi fuggendo prima a Locri, quindi a Taranto e da lì a Metaponto dove morì. A questo riguardo Porfirio (232-305 d.C.) scrisse:

“ Si dice che Pitagora abbia trovato la morte nella comunità di Metaponto, dopo essersi rifugiato nel piccolo tempio dedicato alle Muse, dove rimase quaranta giorni privo del necessario per vivere. Altri autori affermano che i suoi amici, nell'incendio della casa dove si trovavano riuniti, gettatisi nelle fiamme aprirono una via di uscita al maestro, formando con i loro corpi una sorta di ponte sul fuoco. Scampato dall'incendio Pitagora, raccontano ancora, si diede la morte, per il dolore di essere stato privato dei suoi amici. ”

Quasi sicuramente Pitagora non lasciò nulla di scritto e le opere Tre libri e Versi aurei vanno ascritte ad autori sconosciuti, che li redassero in epoca cristiana o di poco antecedente.

Giamblico, fondatore di una scuola neoplatonica ad Apamea in Siria, attesta invece che i primi libri a contenuto pitagorico pubblicati erano opera di Filolao.

Le dottrine proprie di Pitagora e il bíos pythagorikós

L'importanza fondamentale della figura di Pitagora per la storia religiosa e filosofica dell'umanità è legata a regole proprie della vita, del bíos pythagorikós. La condotta di vita pitagorica contiene numerose regole, per lo più centrate sulla condizione di "purezza", molte delle quali risultano nelle loro motivazioni a noi incomprensibili, già in antichità si era tentato di fornirne una spiegazione. A queste regole verranno affiancate, in epoca tarda, spiegazioni simboliche. Oltre alle regole di "purezza", fondamentali per il bíos pythagorikós, risultano le regole alimentari: la più nota consiste nella proibizione di cibarsi di essere animati, nel contempo tuttavia vi sono delle prescrizioni che consentono sia i sacrifici sia la consumazione di carne (solo alcuni tagli e solo di alcuni animali) il che fa sostenere a Riedweg che «il vegetarismo più rigoroso rimase probabilmente limitato alla cerchia più interna della comunità pitagorica, in cui non erano più in vigore i "criteri di socialità" normale, tra l'altro anche a motivo della comunione dei beni.» Altra regola fondamentale per i pitagorici riguardava l'astensione del consumo delle fave.

Nel bíos pythagorikós compare per la prima volta anche il divieto di avere relazioni extraconiugali.

Euclide e Pitagora, ovvero la Geometria e l'Aritmetica, formella del Campanile di Giotto, Luca della Robbia, 1437-1439, Firenze

Sebbene sembri che Pitagora non abbia lasciato scritti, tuttavia i suoi discepoli gli attribuirono un'estesa dottrina, arrivando anche a scrivere opere a suo nome.

Limitazioni alimentari

L'astensione dalle fave

Pitagora sostiene il vegetarianismo, Peter Paul Rubens (1618-1620)

Una versione della morte di Pitagora è collegata all'idiosincrasia del filosofo e della sua Scuola per le fave, che i pitagorici si guardavano bene dal mangiare, evitando anche il semplice contatto. Secondo la leggenda, Pitagora stesso, in fuga dagli scherani di Cilone di Crotone, preferì farsi raggiungere e uccidere piuttosto che mettersi in salvo in un campo di fave.

Esistono due interpretazioni riguardo al divieto di mangiare fave. Quella di Gerald Hart, secondo cui il favismo era una malattia diffusa nella zona del crotonese e ciò conferirebbe al divieto una motivazione profilattica-sanitaria. Dunque Pitagora viveva in zone di favismo diffuso, e da questo nasceva la sua proibizione igienica; ma perché i medici greci non avevano identificato questa patologia? Nell'esperienza quotidiana le fave erano un cardine dell'alimentazione che tutt'al più causava flatulenze e insonnia e se qualcuno che aveva mangiato fave contemporaneamente si ammalava i due fatti non venivano collegati. Se dunque Pitagora dell'astenersi dal mangiare fave ne fa addirittura un precetto morale è perché i greci del VI secolo a.C. avevano un modo diverso dal nostro di considerare le malattie nel senso che le riferivano alla religione per cui, come ha messo in luce Claude Lévi-Strauss, le fave erano considerate connesse al mondo dei morti, della decomposizione e dell'impurità, dalle quali il filosofo si deve tenere lontano.

Il vegetarianismo

Pitagora è tradizionalmente considerato l'iniziatore del vegetarianismo in Occidente grazie ad alcuni versi delle Metamorfosi di Ovidio, che lo descrivono come il primo degli antichi a scagliarsi contro l'abitudine di cibarsi di animali, reputata dal filosofo un'inutile causa di stragi, dato che la terra offre piante e frutti sufficienti a nutrirsi senza spargimenti di sangue; Ovidio lega il vegetarianismo di Pitagora alla credenza nella metempsicosi, secondo cui negli animali vi è un'anima non diversa da quella degli esseri umani.

Diogene Laerzio sostiene inoltre che Pitagora fosse solito mangiare pane e miele al mattino e verdure crude la sera; in più implorava i pescatori affinché ributtassero in mare quello che avevano appena pescato.

Insegnamenti

Mudell:Vedi anche Intorno alla figura di Pitagora si è presto costituita una scuola che seguiva le indicazioni di vita proprie del maestro. A tal proposito si possono ricostruire alcuni insegnamenti.

La metempsicosi

Pochi sono gli elementi certi della dottrina pitagorica, tra questi la metempsicosi, ossia la dottrina della sopravvivenza della psyché alla morte e il suo trasferimento in altro corpo fisico. Oltre a Dicearco – posteriore di due secoli dopo Pitagora – ne parla Aristotele come di un "mito" pitagorico. Ione di Chio parla di metempsicosi, citando Ferecide, dove tratta degli insegnamenti di Pitagora su un al di là felice se si conduce una vita moralmente adeguata. Platone si riferisce più volte alla dottrina della trasmigrazione delle anime, ma non si richiama mai a Pitagora; piuttosto cita pitagorici come Filolao. Diogene Laerzio riporta (attribuendolo a Senofane) un episodio in cui Pitagora difese un cane dal suo padrone poiché aveva riconosciuto nell'animale l'anima di un suo amico scomparso.

Derivato dall'orfismo, nella dottrina pitagorica vi è un aspetto religioso, relativo alla trasmigrazione delle anime che, per una colpa originaria, erano costrette ad incarnarsi in corpi umani o bestiali sino alla finale purificazione.

La novità del pensiero di Pitagora rispetto all'orfismo è rappresentato dalla considerazione della conoscenza come strumento di purificazione nel senso che l'ignoranza è ritenuta una colpa da cui ci si libera con il sapere. Questa particolarità della dottrina è ritenuta dagli studiosi sicuramente proveniente da Pitagora che viene tradizionalmente definito, a partire da Eraclito, come polymathés (erudito) che «…praticò la ricerca più di tutti gli altri uomini», anche se la sua fu una sapienza fraudolenta (kakotechnie). Eraclito non specifica quale fosse il contenuto di questa sapienza. Porfirio, riferendosi al già citato Dicearco (allievo di Aristotele) , parla di Pitagora e menziona, seppur due secoli dopo la morte del filosofo, gli aspetti principali della sua filosofia: l'immortalità dell'anima, la sua trasmigrazione fra varie specie animali in un ciclo di rinascite, per cui tutti gli esseri viventi vanno riconosciuti come appartenenti ad una sola specie. Porfirio non accenna ad alcun interesse di Pitagora per la matematica, mentre insiste sul problema dell'anima. Questo ha fatto pensare che Porfirio e Giamblico (un altro tardo autore fonte del pitagorismo) appartenessero entrambi alla scuola platonica, determinando una sorta di sincretismo tra la dottrina pitagorica e quella platonica, una «platonizzazione del pitagorismo».

Matematici e Acusmatici

Nella dottrina pitagorica, la base della realtà e di ogni cosa in essa contenuta è composta dai numeri. Così, non solo gli elementi corporei sono composti da numeri, ma anche il cosmo e i suoi astri, gli dèi, i concetti, la musica con la sua harmonia.

Secondo le tarde testimonianze di Giamblico e Porfirio nella scuola pitagorica si sarebbe verificata una distinzione tra i discepoli, a seconda del loro interesse per i contenuti "scientifici" o mistico-religiosi, in "Matematici" (da mathema, scienza) e "Acusmatici" (da akousma, detto orale). Dopo la morte di Pitagora sarebbe nata una contesa tra le due fazioni che si attribuivano l'eredità filosofica del maestro. I primi cercavano di rinnovare il Pitagorismo rifacendosi a una presunta dottrina segreta di Pitagora della quale essi si consideravano i depositari privilegiati. I "Matematici" sostenevano infatti che Pitagora avesse insegnato in pubblico ai più anziani, incaricati della guida politica della polis, senza curare troppo l'aspetto rigoroso del suo insegnamento. Di contro, avrebbe riservato il suo insegnamento basato sui mathémata ai discepoli più giovani. Questa tradizione della divisione tra i due gruppi di discepoli è stata considerata poco attendibile e storiograficamente poco fondata, anche se utile per evidenziare gli aspetti mistici della dottrina di Pitagora: l'insegnamento praticato dietro a una tenda dava un aspetto oracolare alla sua parola per gli allievi, semplici acusmatici, ascoltatori obbligati a seguire le lezioni in silenzio.

È quasi certo che l'insegnamento pitagorico avesse un aspetto mistico-religioso consistente in un addottrinamento dogmatico, secondo il noto motto della scuola “αὐτὸς ἔφα” o “ipse dixit” (lo ha detto lui) e un contenuto che riguardava gli opposti e i numeri (in quanto principi cosmologici), da intendersi però, come hanno osservato vari autori (tra cui Édouard Schuré e René Guénon(CN) in un senso non solo quantitativo, ma anche qualitativo e simbolico.

Cosmografia

Il modello pitagorico dell'universo

La concezione pitagorica dell'universo mette al centro di questo non la Terra, come in altre cosmografie antiche, come ad esempio Anassimandro, ma il Fuoco: il nostro pianeta è solo uno dei corpi celesti che girano intorno al Fuoco. Gli altri astri erranti sono: l'Antiterra, che precede la Terra nella sua vicinanza al Fuoco in posizione all'esatto opposto della Terra e, dopo il nostro pianeta, seguono la Luna, il Sole e i cinque pianeti (Mercurio, Venere, Marte, Giove e Saturno), tutti astri che unitamente al Fuoco sono contenuti all'interno dell'universo sferico delle Stelle fisse. Secondo Aristotele, questa concezione pitagorica, decisamente non geocentrica, non è frutto di osservazioni empiriche quanto piuttosto si basa sulla loro valutazione della rilevanza degli enti: il Fuoco è il più importante anche rispetto alla Terra quindi il luogo che gli spetta è al centro del cosmo per questa ragione lo indicano anche come la "custodia di Zeus". Secondo Filolao il Sole è di natura vitrea e quindi questo astro si limita a riflettere luce e calore che sono propri del Fuoco.

"Scienza" e musica

Xilografia medievale che raffigura Pitagora con campane e altri strumenti che suonano in armonia

Riguardo alle elaborazioni scientifiche attribuite a Pitagora, gli storici della filosofia non sono in grado di averne certezza.

Le dottrine astronomiche sono sicuramente state elaborate dai suoi discepoli nella seconda metà del V secolo a.C.

Il teorema per cui il filosofo è famoso era già noto agli antichi Babilonesi, ma alcune testimonianze, tra cui Proclo, riferiscono che Pitagora ne avrebbe intuito la validità. Tale "teorema" è inserito alla proposizione 47 del I libro degli Elementi di Euclide. L'attribuzione a Pitagora di detto "teorema" la si deve tuttavia esclusivamente al commento di Proclo che, a sua volta, si rifaceva alla testimonianza di un oscuro Apollodoro il quale avrebbe sostenuto che Pitagora, dopo la scoperta del teorema avrebbe sacrificato un bue. Anche se è probabile che il "saggio" di Samo si sia interessato ad argomenti matematici e di filosofia della natura occorre ricordare che «fino a Platone e Aristotele inclusi, non esiste ombra di prova diretta che permetta di qualificare Pitagora come filosofo della natura o come matematico».

Di contro, si deve a Pitagora l'aver indicato come sostanza primigenia (archè) l'armonia, determinata dal rapporto tra i numeri e le note musicali, da cui deriva l'invenzione della scala musicale. Pitagora avrebbe tradotto sperimentalmente la sua intuizione costruendo un monocordo: tese una corda fra due ponticelli e ricavò l'ottava ponendo una stanghetta esattamente al centro della corda (1:2). Poi ne pose un'altra a 2/3 della lunghezza della corda, stabilendo così l'intervallo di 5ª. Sistemando a 3/4 un'altra stanghetta trovò l'intervallo di 4ª. La distanza, in termini di altezza, fra la 4ª e la 5ª la chiamò tono. La scala musicale basata su questi intervalli, che nel Medioevo era attribuita allo stesso Pitagora, ebbe una particolare importanza teorica, al di là della pratica musicale: Platone, nel dialogo Timeo, la descrisse come fondamento numerico dell'anima del mondo.

Eredità

Pitagora, dettaglio della Scuola d'Atene (1511) di Raffaello Sanzio.

Mudell:CitazioneLa figura di Pitagora ha esercitato una forte influenza polarizzatrice: da una parte i suoi estimatori (ad esempio Empedocle) dall'altra i suoi critici (ad esempio Senofane o Eraclito).

Per Platone, Pitagora è un esempio di maestro che insegna uno stile di vita; mentre Isocrate nella sua orazione su Busiride (XI) sostiene anche che «Pitagora di Samo, andato in Egitto e fattosi loro discepolo, portò in Grecia per primo lo studio di ogni genere di filosofia», ottenendo così l'ammirazione dei suoi contemporanei. Platone eredita da Pitagora l'idea dell'importanza della matematica come linguaggio per descrivere il mondo, pur mantenendola nell'ambito metafisico ma ripulendola dal pesante bagaglio misticheggiante in cui era immersa. L'astronomia della scuola pitagorica, che continua nella visione del cosmo di Platone, sarà destinata a diventare un modello di scienza, che, attraverso Copernico, sarà alla base della scienza moderna. L'influenza del progetto pitagorico-platonico è esplicita sugli scienziati della rivoluzione scientifica moderna, come Galileo e Keplero.

Plutarco riporta che Platone da vecchio si sia ricreduto sul geocentrismo riportato nel Timeo, il tutto a dimostrare come la teoria del Fuoco al centro dell'universo poteva aver avuto accoglimento nell'Accademia platonica.

Con Democrito, che titola una delle sue opere Pitagora, e che un contemporaneo, Glauco di Reggio, indica come discepolo di un pitagorico, terminano le testimonianze antiche sulla figura del "saggio" di Samo. Agli inizi IV secolo le testimonianze su Pitagora si fanno viepiù positive (cfr. ad esempio Antistene, Aristippo e Androne di Efeso) fino alla progressiva "monopolizzazione" della figura all'interno dell'Accademia platonica.

Bibliografia

Testi

• Maria Timpanaro Cardini (a cura di), Pitagorici antichi. Testimonianze e frammenti. Testo greco a fronte, Bompiani, Milano 2010 (prima edizione: Pitagorici, Testimonianze e frammenti, 3 volumi, La Nuova Italia, Firenze 1969.).
• Giovanni Reale (a cura di), I presocratici. Prima traduzione integrale con testi originali a fronte delle testimonianze e dei frammenti di Hermann Diels e Walther Kranz, Milano: Bompiani, 2006.

Studi

• Mario Alcaro, Roberto Bondi (a cura di), Storia del pensiero filosofico in Calabria, da Pitagora ai giorni nostri, Soveria Mannelli (CZ), Rubbettino Editore, 2012. ISBN 978-88-498-3305-8
• Graziano Biondi, La favola di Euforbo e Pitagora, manifestolibri, Roma 2009.
• Bruno Centrone, "L’VIII libro delle “Vite” di Diogene Laerzio", in Aufstieg und Nieder-gang der römischen Welt, Vol. II.36.6, edito day Wolfgang Haase, Berlino, De Gruyter, 1992, pp. 4183–4217.
• Bruno Centrone, Introduzione a I pitagorici, Roma-Bari, Laterza, 1996.
• Kitty Gail Ferguson, La musica di Pitagora. La nascita del pensiero scientifico, Longanesi 2009.
• Carmelo Fucarino, Pitagora e il vegetarianesimo, Editore: Giannone A. 1982.
• Mudell:Cita libro
• Leonida Lazzari, Pitagora, Editrice Pitagora, Bologna 2007.
• Lucio Lombardo Radice, La matematica da Pitagora a Newton, Muzzio, Roma, 2003.
• Mudell:Cita libro
• Alfonso Mele, Pitagora: filosofo e maestro di verità, Roma, Scienze e lettere, 2013.
• Piergiorgio Odifreddi, Pitagora, Euclide e la nascita del pensiero scientifico Gruppo Editoriale L'Espresso, Roma 2012.
• Christoph Riedweg, Pitagora. Vita, dottrina e influenza, Vita e Pensiero, Milano 2007.
• Augusto Rostagni, Il verbo di Pitagora, Il Basilisco 1982.
• Mudell:Cita libro
• Mudell:Cita libro

Voci correlate

• Apollonio di Tiana
• Geometria sacra
• Neopitagorismo
• Scuola pitagorica
• Teano (filosofa)
• Terna pitagorica
• Teorema di Pitagora
• Tavola pitagorica
• Albero di Pitagora

Collegamenti esterni

• Mudell:Collegamenti esterni
• Mudell:Cita web
• Mudell:Cita web

Sistema Dinamika

Attrattur ċikliku simmetriku ta' Thomas

Fil-fiżika, matematika u l-inġinerija, in partikolari fit-teorija tas-sistemi, sistema dinamika hi mudell matematiku li jirrappreżenta oġġett (sistema) b'numru finit ta' gradi ta' libetà li jevolvi fiż-żmien skont liġi deterministika; tipikament sistema dinamika tiġi rappreżentata b'ekwazzjoni differenzjali u hi identifikata ma' vettur fl-ispazju tal-fażi, l-ispazju tal-istati tas-sistema, fejn "stat" hu terminu li jindika is-sett tal-grandezzi fiżiċi, imsejħin varjabbli tal-istat li valuri effettivi tiegħu "jiddeskrivu" is-sistem f'ċertu mument.

Deskrizzjoni

Illustrazione schematica di una rappresentazione geometrica di un sistema dinamico

L-istudju tas-sistemi dinamiċi jirrappreżenta wieħed mill-eqdem u l-iktar oqsma importanti tal-matematika u l-fiżika; huwa mudell matematiku użat biex jiddeskrivi sistemi mekkaniċi fil-kuntest tal-mekkanika klassika u fir-riformulazzjoni tagħha żviluppata fill-mekkanika Lagrangejana u fil-mekkanika Hamiltonjana, u li hija preżenti f'ħafna oqsma tal-inġinerija, bħall-awtomazzjoni u l-inġinerija tas-sistemi. L-applikazzjonijiet huma ħafna, u jvarjaw minn ċirkwiti elettriċi għal sistemi termodinamiċi.

Fl-aħħar tas-seklu dsatax, Henri Poincaré osserva l-possibbiltà ta’mġiba irregolari ħafna f'xi sistemi dinamiċi meta studja l-problema ta' tliet korpi. Fis-snin 50 tas-seklu ta' wara, wara l-esperimenti numeriċi tal-meteorologu Edward Lorenz, li waqt li kien qiegħed jistudja l-atmosfera tad-dinja sab dipendenza sensittiva fuq il-kundizzjonijiet inizjali, ir-riżultati ta' Poincaré ġew ikkunsidrati b'ħafna serjetà mill-komunità xjentifika u stabbilew il-pedamenti għat-teorija tal-kaos. L-imġiba kaotika tas-sistemi dinamiċi, li l-formolazzjoni matematiċi tagħhom tistgħa tkun ta' kumplessità kbira u teħtieġ l-użu tal-kompjuters, instabet f’ħafna u oqsma differenti, fosthom il-bijoloġija u l-ekonomija. Sistema dinamika tista' tiġi definita bħala sistema li l-immudellar matematiku tagħha jista' jiġi espress permezz ta' ekwazzjoni differenzjali (ordinarja jew parzjali). Hemm diversi formaliżmi matematiċi utli għad-deskrizzjoni u l-istudju tagħha kemm fl-oqsma fiżiċi

Jistgħu jiġu identifikati żewġ tipi ta' sistema dinamika:

• jekk l-evoluzzjoni sseħħ f'intervalli ta' ħin diskreti, is-sistema tissejjaħ sistema dinamika diskreta u hija definita bl-iterazzjoni ta' funzjoni;

• jekk l-evoluzzjoni hija kontinwa u definita b'ekwazzjoni differenzjali, is-sistema tissejjaħ sistema dinamika kontinwa.

Fost is-sistemi dinamiċi dawk linjari huma ta' importanza partikolari billi huma l-aktar sempliċi biex jiġu analizzati waqt li l-ekwazzjonijiet mhux lineari ġeneralment ma jistgħux jiġu solvuti eżattament. Fost is-sistemi linjari, is-sistemi linjari invarjanti mal-ħin jintużaw ħafna fit-teorija tas-sinjali u fit-teorija tal-kontroll. Waħda mill-karatteristiċi tas-sistemi dinamiċi li hija studjata ħafna hija l-istabbiltà, Pereżempju, sikwit tiġi studjata l-istabbiltà f'termini ta' kemm l-informazzjoni tal-ħruġ tinfirex imqabbla ma' tad-dħul (stabbiltà esterna), jew f'termini ta' kemm l-stat ta' sistema jitbigħed minn stat ta' ekwilibriju (stabbiltà interna). Sabiex tiġi analizzata matematikament l-imġiba ta' sistema dinamika, jintużaw prinċipalment żewġ tipi ta' deskrizzjoni, ir-rappreżentazzjoni fl-ispazju tal-istat u l-formaliżmu tad-dominju tal-frekwenzi (ara l-funzjoni tat-trasferiment fil-każ ta' sistemi stazzjonarji).

Definizzjoni

Speċifikament, għal kull $t$ nistgħu niddefinixxu $\Phi$ li tobdi:

$\Phi (0,x)=x,$

$\Phi (t_{1},x)\circ \Phi (t_{2},x)=\Phi (t_{1},\Phi (t_{2},x))=\Phi (t_{1}+t_{2},x)\qquad t_{1},t_{2},t_{1}+t_{2}\in I(x),$

fejn:

$I(x)=\{t\in T:(t,x)\in U\}.$

Dan juri l-fatt li l-liġi tal-evoluzzjoni $\Phi$ tas-sistema ma tinbidlx hi stess mal-ħin. Il-funzjonijiet $\Phi (t,x)$ ipparametrizzati minn $t$, bil-liġi ta' kompożizzjoni $\Phi (t_{1},x)\circ \Phi (t_{2},x)$,jiffurmaw grupp kommutattiv b'parmetru wieħed. Sikwit fil-każ diskret $T$ tikkoinċida ma' $\mathbb {Z}$, waqt li fil-każ kontinwu $T$ tikkoinċida ma' $\mathbb {R}$.

Il-grafiku ta' $\Phi$ hu t-trajettorja tas-sistema fil-ħin u s-sett:

$\gamma _{x_{0}}:=\{\Phi (t,x_{0}):t\in I(x_{0})\},$

hu l-orbita li tgħaddi minn $x_{0}$.

Sottosett $S\subset M$ jissejjaħ $\Phi$-invarjant jekk:

$\Phi (t,x)\in S\qquad \forall x\in S\quad \forall t\in T.$

B'mod partikolari, biex $S$ ikun invarjanti irridu nivverifikaw li $I(x)=T$ għal kull $x\in S$.

Allura għandna id-definizzjoni li ġejja: Jekk $U$ jkun varjetà differenzjali $n$-dimensjonali, b'$n$ finit, u $\Phi =\{\Phi ^{t},\;t\in T\}$ grupp ta' diffeomorfiżmi ta' mapep regolari $\Phi ^{t}:U\to U$, imbagħad il-koppja $(U,\Phi )$ tissejjaħ sistema dinamika regolari invertibbli (kontinwa jekk $T=\mathbb {R}$ jew diskreta jekk $T=\mathbb {Z}$ inkella $T=\mathbb {N}$).

Sistemi fiżiċi

Id-dinamika tas-sistemi fiżiċi tista' tiġi karatterizzata mill-fatt li l-mozzjoni tagħhom bejn żewġ punti ta' koordinati ġeneralizzati $\mathbf {q} (t_{1})$ e $\mathbf {q} (t_{2})$ timxi ma triq li tagħmel stazzjonarja, jiġifieri mingħajr varjazzjoni, il funzjoni tal-azzjoni:

$\delta {\mathcal {A}}=0,$

skont il-Prinċipju ta' Azzjoni Minima (il-Prinċipju varjazzjonali ta' Hamilton). L-azzjoni hi l-integral fil-ħin tal-Lagrangejana${\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)$:

${\mathcal {A}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} t,$

fejn ${\mathcal {L}}\in {\mathcal {C}}^{2}[t_{1},t_{2}]$. Nistgħu nuru li ${\mathcal {L}}$ definita hekk tissosisfa l-Equazzjoni ta' Euler-Lagrange:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}=0$

fejn ${\dot {\mathbf {q} }}={\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)$. Meta nagħmlu l-azzjoni stazzjonarja nkunu qegħdin nimminimizzaw l-enerġija tas-sistema kkunsidrata. L-enerġija totali tas-sistema hi funzjoni ${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$, imsejħa l-Hamiltonjana u introdotta fl-1835 minn William Rowan Hamilton, li tiddipendi mill-koordinati ġeneralizzati $\mathbf {q}$ u mill-momenti konjugati rispettivi:

$p_{j}={\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}_{j}}}{\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)\implies \mathbf {p} ={\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)$

Il-Hamiltonjana hi s-somma ${\mathcal {H}}=T+V$ tal-enerġija kinetika $T$ u l-enerġija potenzjali $V$ tas-sistema, u hi t-Trasformata ta' Legendre tal-Lagrangejana ${\mathcal {L}}$:

${\mathcal {H}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)$

fejn ${\dot {\mathbf {q} }}={\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)$. Il-formalizzazzjoni ta' problema dinamika permezz tal-Prinċipju ta' Azzjoni Minima (validu għal sistemi olonomi u monogeniċi) hi l-bażi tar-riformulazzjoni tal-Mekkanika Klassika żviluppata mill Mekkanika Hamiltonjana u Lagrangejana.

Fil-każ partikulari tal-Ekwazzjonijiet ta' Hamilton:

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}\qquad {\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathrm {d} t}}=+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }},$

huma ekwivalenti għall-ekwazzjonijiet tal-mozzjoni ta' di Eulero-Lagrange, li mbagħad dawn huma ekwivalenti għall-Liġi ta' Newton.

Il-Prinċipju tal-Konservazzjoni tal-Enerġija jiġi espress, f'dal-kuntest, billi ngħidu li ${\mathcal {H}}$ hu integral tal-ewwel tal-ekwazzjonijiet ta' Hamilton, jew bil-fatt li l-Lagrangejana ma tiddependix espliċitament mill-ħin::

${\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}=0.$

Eżempju

Fil-Mekkanika Klassika insibu eżempju elementari ta' sistema dinamika, punt li jimxi fl-ispazju. Il-punt jiġi karatterizzatt kompletament mil-pożizzjoni tiegħu $r(t)$ (vettur dipendenti minn $t\in \mathbb {R}$) u tal-veloċità tiegħu $v(t)={\dot {r}}(t)=dr/dt$. L-istat ta' din is-sistema hu il-vettur $(r(t),v(t))\in \mathbb {R} ^{n}$, fejn $\mathbb {R} ^{n}$ hu l-ispazju tal-istati użat u l-elementi tiegħu jirrappresentaw l-istati kollha possibbli li s-sistema jista' jkollha. L-ispazju tal-istati jissejjaħ ukoll l-ispazju tal-fażi. L-evoluzzjoni temporali tal-punt allura jingħata miż-żewġ derivati:

${\dot {r}}(t)=v(t),\quad {\ddot {r}}(t)={\dot {v}}(t)=a,$

fejn $a$ hi l-aċċlerazzjoni tal-punt (li tiddependi mis-somma totali tal-forzi li hi suġġetta għalihom). Jekk niddefinixxu:

$x(t)=(r(t),v(t)),$

il-mozzjoni tal-punt tista' tinkiteb bħala l-ekwazzjoni ordinarja awtonoma:

${\dot {x}}(t)=f(x(t))$

Jekk nagħżlu punt u veloċità tal-bidu $x_{0}=(r_{0},v_{0})$, jiġifieri nieħdu $x(t=0)\equiv x_{0}$, niksbu l-evoluzzjoni tas-sistema li tibda minn $x_{0}$ (Problema ta' Cauchy għall-ekwazzjoni differenzjali).

Is-sistemi dinamiċi ta' ħin kontinwu kollha jistgħu jinkitbu b'mod analogu, b'$f$ li tista' tiddependi mill-ħin:${\dot {x}}(t)=f(x(t),t)\qquad x\in \mathbb {R} ^{n},$

fejn$f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ hi funzjoni li mill-inqas hi differenzjabbli.

Is-soluzzjoni $(x_{0},t)$ meta tvarja $t$ hi t-traettorja (orbita) li timxi magħha s-sisitema fl-ispazju tal-fażi jekk titlaq minn $x_{0}$. Meta nkunu nlestu biex nistudjaw formalment sistema dinamika, nagħmlu hekk b'mod li l-funzjoni $f$ tkun regolari biżżejjed biex tagħtina soluzzjoni unika, bi qbil mal-fattt li l-evoluzzjoni ta' sistema li titlaq minn punt mogħti hi unika. In ġenerali sistema dinamika $(T,M,\Phi )$ hi definita minn grupp (jew semigrupp) $T$, li hu s-sett tal-valuri tal-parametru tal-ħin, u sett $M$, imsejjaħ l-ispazju tal-fażi jew l-ispazju tal-istati. Il-funzjoni tal-evoluzzjoni temporali (il-fluss) $\Phi \colon U\subset T\times M\to M$ tidddetermina l-azzjoni ta' $T$ fuq $M$. Fit-teorija ergodika $M$ hu spazju miżurabbli b'miżura ta' probabbiltà $\mu$ u $\Phi$ hi funzjoni miżurabbli li tippreżerva 'l $\mu$, waqt li f'dik li tissejjaħ topoloġija dinamika $M$ hi spazju topoloġiku komplet u $\Phi$ hi funzjoni kontinwa (spiss anke invertibbli).

Eżempji tipiċi ta' sistemi dinamiċi kontinwi:

• is-sistema preda-predatur ta' Volterra-Lotka għad-dinamika tal-ppopolazzjonijiet;
• is- sistema ta' Lorenz għall-evoluzzjoni tal-kundizzjonijiet meteoroloġiċi.

Eżempji ta' sistemi dinamiċi diskreti:

• il-mappa loġistika;
• il-mappa ta' Hénon;
• il-mappa standard.

Klassifikazzjoni

Sistemi kontinwi

Data una varietà $S$, sia $v:S\to S$ un campo vettoriale differenziabile, cioè che associa ad ogni punto $z\in S$ un vettore le cui coordinate sono legate alle coordinate di $z$ (definite in un suo intorno rispetto a qualche base) tramite una funzione differenziabile. Un sistema dinamico è definito dall'equazione autonoma (l'equazione del moto per sistemi meccanici):

$v(z)={\frac {dz}{dt}}.$

Trattandosi di un'equazione differenziale ordinaria, il relativo teorema di esistenza e unicità della soluzione stabilisce che preso un punto iniziale $z_{0}$ esiste un intervallo $-a\leq t\leq b$, con $a,b>0$, in cui il sistema dinamico ha una soluzione unica $z(t)=\phi _{t}(z_{0})$.

Se la soluzione (traiettoria) esiste per tutti i tempi e per qualsiasi scelta del punto iniziale $z_{0}$ si ha che il tempo può scorrere nel verso contrario, ovvero è possibile predire il passato conoscendo uno stato del sistema nel futuro. In particolare, si verifica che $\phi _{t}^{-1}=\phi _{-t}$ e l'insieme delle $\phi _{t}$ forma un gruppo continuo ad un parametro di diffeomorfismi su $S$.

La struttura matematica che viene assegnata allo spazio delle fasi $M$ dipende comunque dal contesto; solitamente è uno spazio topologico, in cui ha senso parlare di continuità nell'evoluzione temporale dello stato. Uno spazio topologico in cui è possibile l'utilizzo di strumenti metrici e differenziali è ad esempio la varietà differenziabile, una delle strutture più utilizzate in quanto risulta particolarmente adatta per modellare i sistemi fisici. Per i sistemi nei quali allo stato viene associata una nozione di misura, ad esempio una probabilità, si utilizza uno spazio misurabile. Si richiede inoltre che il flusso $\Phi$ sia compatibile con la struttura di $M$: nel caso in cui $M$ sia rispettivamente uno spazio topologico, uno spazio misurabile, una varietà differenziabile o una varietà complessa, $\Phi$ è un omeomorfismo, una funzione misurabile, un diffeomorfismo o una funzione olomorfa.

Sistemi discreti

I sistemi dinamici discreti sono definiti da un'iterazione del tipo:

$X_{n+1}=f(X_{n})\qquad n\geq 0,$

di una funzione $f:S\to S$, con $S\subset \mathbb {R} ^{n}$. Può essere vista come un'equazione alle differenze:

$X_{n+1}-X_{n}=f(X_{n})-X_{n}\qquad n\geq 0,$

che definendo $F(X_{n})=f(X_{n})-X_{n}$ assume la stessa forma dell'equazione differenziale ordinaria del caso continuo.

Le orbite di un sistema discreto sono una successione di stati $\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }$. Il gruppo di trasformazioni è quindi dato dall'insieme:

$G=\{Id,f,f^{2},f^{3},\dots f^{n},\dots \}.$

dove l'espressione $f^{k}$ indica la composizione di funzioni $f\circ \dots \circ f$ di $f$ con sé stessa iterata $k$ volte.

Classificazione in base a ingressi e uscite

In ambito ingegneristico i sistemi dinamici vengono classificati in base al numero di variabili d'ingresso e d'uscita, si hanno infatti:

• sistemi a singolo ingresso e singola uscita (SISO, dall'inglese single input-single output);
• sistemi a ingresso multiplo e uscita multipla (MIMO, dall'inglese multiple input-multiple output);

e meno frequentemente:

• sistemi a singolo ingresso e uscita multipla (SIMO, dall'inglese single input-multiple output);
• sistemi a ingresso multiplo e singola uscita (MISO, dall'inglese multiple input-single output).

Sistemi lineari

Una tecnica utilizzata per studiare un problema non lineare ${\dot {x}}=f(x(t))$ nelle vicinanze di un punto di equilibrio è quella di approssimarlo ad un sistema lineare ${\dot {z}}=J_{f}(x_{0})\cdot z(t)$ in un intorno del punto di equilibrio tramite la matrice jacobiana $J_{f}$ di $f$. A seconda del comportamento del sistema (a seconda del determinante di $J_{f}$) l'equilibrio è classificato come stabile, asintoticamente stabile

Una classe molto importante di sistemi dinamici è quella dei sistemi lineari, in cui il legame tra variabili di ingresso e l'uscita è lineare. Sono utilizzati ad esempio nella teoria dei segnali o nella teoria dei circuiti, e spesso sono analizzati in frequenza tramite l'utilizzo di trasformate integrali, come la trasformata di Fourier o la trasformata di Laplace.

Un sistema lineare di $n$ stati $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$, $m$ input $\mathbf {u} \in \mathbb {R} ^{m}$ e $q$ uscite $\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{q}$ viene descritto da un'equazione del tipo:

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t),$

$\mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t),$

dove $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, $B\in \mathbb {R} ^{n\times m}$, $C\in \mathbb {R} ^{q\times n}$ e $D\in \mathbb {R} ^{q\times m}$ sono matrici (che nel caso stazionario non dipendono dal tempo).

Sistemi lineari e stazionari

Mudell:Vedi anche Un sistema dinamico lineare e stazionario è anche detto lineare tempo-invariante, abbreviato spesso con la sigla LTI (dall'inglese Linear Time-Invariant). Nel caso di un sistema continuo, è caratterizzato dal fatto che l'uscita $y(t)$ per un segnale in ingresso $x(t)$ è descritta dalla convoluzione:

$y(t)=x(t)*h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\operatorname {d} \tau =\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\operatorname {d} \tau$

dove $h(t)$ è la risposta impulsiva, ovvero la risposta del sistema quando l'ingresso $x(t)$ è una funzione a delta di Dirac. Se la funzione $h(\tau )$ è nulla quando $\tau <0$ allora $y(t)$ dipende soltanto dai valori assunti da $x$ precedentemente al tempo $t$, ed il sistema è detto causale.

Un sistema a tempo discreto trasforma la successione in ingresso $\{x\}$ in un'altra successione $\{y\}$, data dalla convoluzione discreta con la risposta $h$ alla delta di Kronecker:

$y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k].$

Gli elementi di $\{y\}$ possono dipendere da ogni elemento di $\{x\}$. Solitamente $y[n]$ dipende maggiormente dagli elementi in prossimità del tempo $n$.

I sistemi lineari stazionari sono spesso descritti nel dominio della frequenza (risposta in frequenza) attraverso la funzione di trasferimento, definita come la trasformata di Laplace della risposta all'impulso a Delta.

Sistemi strettamente propri

Un ulteriore classificazione per i sistemi lineari li divide in strettamente propri (o puramente dinamici) quando l'uscita dipende esclusivamente dagli stati del sistema, e in tal caso nella rappresentazione matriciale ciò corrisponde a una matrice $D(t)$ nulla, mentre si parla di sistema improprio in tutti gli altri casi. Un caso particolare di sistema proprio si ha quando è la matrice $C(t)$ ad azzerarsi, in tal caso il sistema è detto non dinamico e non è necessario ricorrere a variabili di stato per rappresentarlo, poiché il legame fra ingresso e uscita è istantaneo. È possibile dimostrare che un sistema puramente dinamico ha funzione di trasferimento con grado del numeratore minore a quello del denominatore mentre un sistema non dinamico ha, ovviamente, funzione di trasferimento con grado zero.

Sistemi non lineari

Din is-sezzjoni għadha vojta. Għinna biex niktbuha!

Sistemi complessi

Mudell:Vedi anche In fisica moderna un sistema complesso è un sistema dinamico a multicomponenti ovvero composto da diversi sottosistemi che tipicamente interagiscono tra loro. Tali sistemi vengono studiati tipicamente attraverso apposite metodologie di indagine di tipo "olistico" ovvero come computazione "in toto" ("il tutto è maggiore della somma delle singole parti") dei comportamenti dei singoli sottosistemi assieme alle loro reciproche interazioni (eventualmente non-lineari), descrivibili analiticamente tramite modelli matematici, anziché in maniera "riduzionistica" (cioè scomponendo e analizzando il sistema nei suoi componenti).

Analisi

Mudell:Vedi anche L'analisi dei sistemi dinamici o è lo studio del comportamento dei sistemi medesimi. Dal momento che la definizione di sistema dinamico è molto generale, sono diverse le discipline che propongono un modello matematico di sistema dinamico in riferimento a contesti particolari.

Ad esempio, in meccanica classica le equazioni del moto di Newton sono state riformulate dalla meccanica lagrangiana e dalla meccanica hamiltoniana, mentre in ingegneria i sistemi dinamici - che possono essere ad esempio circuiti - hanno una uscita (output) e un ingresso (input). Nel caso gli ingressi siano sottoposti ad un segnale aggiuntivo di controllo, si entra nell'ambito dell'analisi dei sistemi di controllo.

In tutti i casi, l'analisi dei sistemi dinamici viene effettuata impostando un sistema di una o più equazioni differenziali per le quali si specificano dei dati iniziali.

Rappresentazione nel dominio del tempo e della frequenza

Descrizione di un sistema LTI nel dominio del tempo (in blu) e nel dominio delle frequenze (la trasformata di Laplace è mostrata in rosso).

In matematica, ingegneria, fisica, statistica, e altri ambiti delle scienze, l'analisi nel dominio della frequenza di una funzione del tempo (o segnale) ne indica la descrizione in termini dell'insieme (spettro) delle sue frequenze. Ad esempio, è una pratica diffusa nell'ambito delle tecnologie audiovisive e nelle telecomunicazioni valutare quanto un segnale elettrico o elettromagnetico sia compreso in bande di frequenze di particolare interesse.

Rappresentazione nello spazio di stato

Mudell:Vedi anche In fisica matematica, in particolare in meccanica razionale e nella teoria dei sistemi dinamici, una 'rappresentazione in spazio di stato, nota anche come rappresentazione in spazio di fase, è una descrizione di un sistema dinamico in cui si fa particolare riferimento alle variabili di stato del sistema, le quali formano uno spazio vettoriale in cui esso viene rappresentato. La dimensione del suddetto spazio vettoriale è pari al doppio del numero di gradi di libertà del sistema; viceversa, uno spazio vettoriale che abbia dimensione pari al numero di gradi di libertà riuscirà a tener conto soltanto dello stato del sistema in un singolo istante.

Rappresentazione grafica

Traiettorie di stato

Supponendo di perturbare un sistema ed osservando la traiettoria di una grandezza di interesse, si verificano casi di particolare interesse quando l'evoluzione tenderà a stabilizzarsi in una posizione di equilibrio, ovvero un punto fisso dell'evoluzione del sistema.

Gli equilibri di un sistema cambiano al variare di ingressi e disturbi (supposti costanti), ad esempio modificando la tensione ai capi di un motore varia la velocità raggiunta a regime. Lo studio degli equilibri di un sistema dinamico è di estremo interesse, tipicamente i problemi di controllo possono essere interpretati come una modifica del punto di equilibrio di un dato sistema. Un esempio semplice è dato dall'equilibrio termico di un appartamento, la cui temperatura interna è l'equilibrio imposto dalle condizioni ambientali ed interne. L'utilizzo di un condizionatore d'aria (sistema di controllo) modificando la temperatura interna alla stanza non fa altro che modificare il punto di equilibrio del sistema.

Modello a scatole

Modello black box

Nell'ingegneria dei sistemi un sistema può essere modellizzato graficamente tramite una scomposizione in un insieme di sottosistemi collegati tra loro in vario modo (serie, parallelo, retroazione ecc...), ciascuno dei quali è identificato da uno scatolotto il cui funzionamento o comportamento è descritto da una funzione di sottoprocesso che esso svolge all'interno del sistema generale. Lo schema risultante si darà schema a blocchi del sistema (si veda Modello black-box, Modello white-box e Modello grey-box).

L'analisi di tali sistemi può essere fatta tramite l'ottenimento della cosiddetta funzione di trasferimento ovvero il rapporto tra la trasformata di laplace dell'ingresso e la trasformata dell'uscita ovvero tramite la cosiddetta risposta impulsiva, antitrasformata della funzione di trasferimento ovvero risposta da un impulso semplice dove l'uscita viene computata nel dominio del tempo dalla convoluzione di tale risposta impulsiva con l'ingresso desiderato ovvero con il prodotto della funzione di trasferimento per l'ingresso trasformato e poi il tutto antitrasformatato. Altro modo di rappresentazione analogo è il modello autoregressivo ingresso-stato-uscita a media mobile (ARMA).

Stabilità e punti di equilibrio

Stabilità in un sistema dinamico in prossimità del punto di equilibrio $x_{0}$: le soluzioni che partono dentro $V$ rimangono in $U$ per tutta l'evoluzione del sistema.

Si possono definire diversi tipi di stabilità per un sistema dinamico, ad esempio la stabilità esterna, anche detta stabilità BIBO (da Bounded Input, Bounded Output), ovvero la proprietà di avere un'uscita limitata se l'ingresso è limitato, oppure la stabilità interna, che si riferisce alla capacità di tornare in una configurazione di equilibrio dopo una perturbazione dello stato di equilibrio stesso. La stabilità esterna viene generalmente utilizzata per analizzare il comportamento di sistemi lineari stazionari (per i quali si valutano i poli della funzione di trasferimento), mentre la stabilità interna sfrutta la rappresentazione in spazio di stato del sistema ed è stata studiata in particolare da Aleksandr Michajlovič Ljapunov.

L'analisi della stabilità di un sistema meccanico è collegata con il fatto che il sistema, se lasciato libero di evolvere, tende spontaneamente a portarsi in una configurazione dove la sua energia potenziale è minima: tale configurazione che corrisponde ad uno stato di equilibrio stabile (si veda il teorema di Lagrange-Dirichlet).

Stabilità interna

Mudell:Vedi anche In matematica, la stabilità interna o stabilità di Ljapunov di un sistema dinamico è un modo per caratterizzare la stabilità delle traiettorie compiute dal sistema nello spazio delle fasi in seguito ad una sua perturbazione in prossimità di un punto di equilibrio. Un punto di equilibrio è detto stabile (secondo Ljapunov) se ogni orbita del sistema che parte sufficientemente vicina al punto di equilibrio rimane nelle vicinanze del punto di equilibrio, ed è detto asintoticamente stabile se l'orbita converge al punto al crescere infinito del tempo.

Stabilità esterna

Mudell:Vedi anche Un sistema è stabile esternamente (BIBO stabile) se ad un ingresso limitato corrisponde una uscita limitata. La limitatezza di una funzione scalare $f$ è generalmente definita in tale contesto dal fatto che esiste un $M<\infty$ tale che:

$\sup _{t\geq 0}|f(t)|<M.$

Nel caso di sistemi dinamici lineari, un sistema lineare è BIBO stabile se e solo se la risposta impulsiva $h(t)$ è assolutamente integrabile, cioè esiste un $M'<\infty$ tale che:

$\int _{-\infty }^{\infty }|h(\tau )|d\tau <M'.$

Stabilità strutturale

Mudell:Vedi anche In matematica, la stabilità strutturale è una proprietà fondamentale dei sistemi dinamici descrivibile qualitativamente come l'inalterabilità delle traiettorie a seguito di piccole perturbazioni di classe C 1 {\displaystyle C^{1}} C^1. Esempi di queste proprietà qualitative sono il numero di punti fissi e di orbite periodiche (ma non i loro periodi). A differenza della stabilità secondo Lyapunov, che considera perturbazioni nelle condizioni iniziali di un certo sistema, la stabilità strutturale riguarda le perturbazioni del sistema stesso. Le varianti di questa nozione si applicano ai sistemi di equazioni differenziali ordinarie, ai campi vettoriali su varietà regolari, i flussi da essi generati, e i diffeomorfismi.

Controllabilità e osservabilità

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Esempio di controllo ad anello

I concetti di controllabilità e osservabilità di un sistema dinamico sono stati introdotti da Kalman nel 1960 e sono alla base della teoria del controllo. Informalmente, un sistema è controllabile se è possibile portarlo in qualsiasi configurazione finale agendo opportunamente sull'ingresso in un tempo finito; viceversa, è osservabile se dall'uscita è possibile risalire allo stato del sistema. Nei sistemi lineari controllabilità e osservabilità sono due proprietà duali.

Sistemi lineari

Dato un sistema dinamico lineare:

${\dot {x}}=Ax+bu$

$y=c^{T}x$

dove $c^{T}$ è un vettore costante, si consideri la matrice:

$T=[c^{T}\quad c^{T}A\quad c^{T}A^{2}\quad \dots \quad c^{T}A^{n-1}]^{T}.$

Il sistema è completamente osservabile se il rango di $T$ è massimo.

Considerando invece la matrice:

$R={\begin{bmatrix}b&Ab&A^{2}b&\ldots &A^{n-1}b\end{bmatrix}},$

il sistema è completamente controllabile se la matrice ha rango massimo.

Definendo il sistema duale:

${\dot {x}}=A^{T}x+cu$

$y=b^{T}x$

si dimostra che il sistema di partenza è completamente osservabile se e solo se il sistema duale è completamente controllabile, ed è completamente controllabile se e solo se il sistema duale è completamente osservabile.

Sistemi non lineari

Dato un sistema dinamico definito su una varietà $M\in C^{\infty }$ di dimensione $m$:

${\dot {x}}=f(x,u)\qquad x\in M$

$y=g(x)$

con $u\in \Omega \subset \mathbb {R} ^{l}$ l'ingresso, $y\in \mathbb {R} ^{n}$ l'uscita e $f,g\in C^{\infty }$, i problemi di controllabilità si traducono nel verificare se lo spazio delle fasi $M$ è sufficientemente grande da contenere tutti gli stati possibili (altrimenti il sistema non è osservabile) o se, al contrario, contiene stati che il sistema non può raggiungere (il sistema non è controllabile).

Una descrizione matematica comunemente utilizzata considera l'algebra di Lie $F$ di campi vettoriali sullo spazio delle fasi $M$ generata dal campo vettoriale $f(\cdot ,u)$, con $u\in \Omega$ un controllo costante: se la dimensione dell'algebra è costante esiste un'unica sotto-varietà $M'\subset M$ tangente lo stato iniziale $x_{0}$ contenente tutte le orbite raggiungibili dal sistema (andando avanti o all'indietro nel tempo) passanti per $x_{0}$. Se la dimensione di $F(x_{0})$ è $m$ allora $M=M'$ e il sistema è in qualche modo controllabile; in caso contrario, se la dimensione è minore di $m$ si considera solo l'insieme $M'$ in cui il sistema è controllabile.

Sistemi ergodici

Mudell:Vedi anche La teoria ergodica (dal greco ἔργον érgon, lavoro, energia e ὁδός hodós «via, percorso»[1]) si occupa principalmente dello studio matematico del comportamento medio, a lungo termine, di sistemi dinamici.

Teoria delle biforcazioni

Biforcazioni nella mappa logistica

La teoria delle biforcazioni si occupa delle variazioni nella struttura delle orbite di un sistema dinamico al variare di un parametro del sistema, nel caso in cui tali variazioni non siano topologicamente equivalenti.

Caos e attrattori

Mudell:Vedi anche In matematica la teoria del caos è lo studio, attraverso modelli propri della fisica matematica, dei sistemi dinamici che esibiscono una sensibilità esponenziale rispetto alle condizioni iniziali.[1] I sistemi di questo tipo, pur governati da leggi deterministiche, sono in grado di esibire un'empirica casualità nell'evoluzione delle variabili dinamiche.[2] Questo comportamento casuale è solo apparente, dato che si manifesta nel momento in cui si confronta l'andamento temporale asintotico di due sistemi con configurazioni iniziali arbitrariamente simili tra loro.[1]

Esempio

Per introdurre l'analisi di un sistema dinamico possiamo fare riferimento al modello costituito da un serbatoio d'acqua forato. In tale modello fissiamo le variabili e le costanti del sistema che si è creato. Abbiamo:

• la sezione del serbatoio $S$ che rimane costante nel tempo;
• una costante generale $K$ del liquido considerato che comprende diversi fattori costanti rispetto al tempo come la densità del liquido e la dimensione del foro;
• il livello di acqua nel serbatoio $x(t)$ che definiamo come variabile di stato del sistema;
• la portata d'acqua entrante che definiamo ingresso del sistema $u(t);$
• la portata uscente dell'acqua che definiamo uscita del sistema $y(t)$ che è proporzionale alla quantità di liquido sovrastante (ossia livello d'acqua per la sezione del serbatoio) e alla costante del sistema, infatti $y(t)=Kx(t).$

Sappiamo che, essendo un serbatoio un sistema dinamico, il suo stato al tempo $t$ è definito sia dalla variabile di ingresso, sia dalla variabile di uscita, sia dallo stato precedente del sistema $x(t-\Delta t).$ Possiamo quindi definire la formula generale dei sistemi dinamici (del primo ordine: ossia quelli definiti da una sola variabile di uscita) per i quali:

${\frac {\Delta x}{\Delta t}}=Ax(t)+Bu(t).$

Se voglio sapere il livello di acqua nel serbatoio all'istante $t$ posso ragionare sulle variabili del sistema:

1. so che $u(t)-Kx(t)$ corrisponde alla quantità di liquido del serbatoio (quantità entrante meno quantità uscente)
2. so che tale valore è uguale a $S{\frac {\Delta x}{\Delta t}}$ (in quanto tale valore corrisponde anch'esso alla variazione di livello di liquido all'interno del serbatoio nell'unità di tempo), quindi
3. $u(t)-Kx(t)=S{\frac {\Delta x}{\Delta t}},$
4. ricavo il rapporto ${\frac {\Delta x}{\Delta t}}$ e ottengo
5. ${\frac {\Delta x}{\Delta t}}=k{\frac {x(t)}{S}}+{\frac {u(t)}{S}}$ che si ritrova perfettamente con la formula generale dei sistemi di primo ordine.

Se volessimo analizzare graficamente l'andamento dello stato del sistema potremmo, tramite foglio di calcolo, determinare l'avanzare del sistema in funzione di un intervallo di tempo $\Delta t$ che viene scelto "empiricamente" tramite la formula $\Delta t={\frac {0,1}{|A|}}$ ossia $0,1$ diviso il valore assoluto del coefficiente moltiplicante lo stato del sistema nella formula generale dei sistemi.

Graficamente otterrei un iniziale andamento esponenziale del sistema seguito da un equilibrio dello stato del sistema. Tendenza dei sistemi dinamici è infatti il raggiungimento di uno stato di equilibrio che si conservi nel tempo.

Bibliografia

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Voci correlate

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