Il-Kontribuzzjonijiet Tiegħi

Stefania twieldet Leopoli, li kienet fl- Imperu Awstro-Ungeriż, fil-25 ta' April, 1898, ġo familja ta' mużiċisti. In-nannu ta' Stefania (Lev Turkevich) u missierha (Ivan Turkevich) kienu qassisin. Ommha Sofia Kormoshiv (Кормошів) kienet pjanista u studjat ma' Karol Mikuli u Vilém Kurz, u kienet takkumpanja ukoll iż-żagħżugħa Solomija Krušel'nyc'ka ^[1]. Il-membri tal-familja kollha kienu jdoqqu xi strument; Stefania kienet iddoqq il-pjanu, l-arpa u l-armonju. Aktar tard il-kompożitura kitbet dwar it-tfulija tagħha u l-imħabba tagħha għall-mużika b'dawn il-kliem ^[2]:

Fiċ-ċentru ta' kollox kien hemm ommi, li kienet iddoqq pjanu bi sbuħija kbira. Bħala tifla kont inħobb nismagħha meta kienet qiegħda ddoqq. Allura aħna ffurmaw orchestra da camera fid-dar tagħna. Konna ndoqqu hekk: missieri l-kontrabaxx, ommi l-pjanu, Lyonyo (Льоньо) fuq il-vjolinċell, jien fuq l-armonju, Marika u Zenko (Марійка і Зенко) il-vjolini. Missieri waqqaf ukoll kor tal-familja. Dawn kienu l-ewwel passi tagħna fid-dinja tal-mużika. Missieri qatt ma kien iqanqaċ fil-flus jew għamel skużi meta ġie għall-ħajja mużikali tagħna.

Studji

thumb | wieqaf | 265px | Il-familja Turkevich fl-Ukrajna (madwar 1915). Fir-ringiela tan-nofs (mix-xellug għal-lemin): oħt Irena, ħu Lev (bir-rakketta) u Stefania

Stefania bdiet l-istudji mużikali tagħha ma' Vasyl Barvinsky. Mill-1914 sal-1916 studjat Vjenna bħala pjanista ma' Vilém Kurz. Wara l-Ewwel Gwerra Dinjija kompliet l-istudji tagħha fil-Università ta' Lviv ma' Adolf Chybiński, u attendiet ukoll kors fit-teorija tal-mużika fil-Konservatorju ta' Lviv ^[2].

Fl-1919 ikkomponiet l-ewwel xogħol mużikali tagħha, il-Liturġija (Літургію), li ndaqq bosta drabi fil- Katidral ta' San Ġorġ ta' Lviv ^[1].

Fl-1921 mar joqgħod Vjenna, fejn seta 'jistudja ma' Guido Adler fl-Università ta' Vjenna u ma' Joseph Marx fl-Università tal-mużika u l-arti interpretattivi ta' Vjenna fejn fl-1923 ħadet id-diploma ta' għalliema ^[1].

Fl-1925 huwa żżewġt lil Robert Lisovskyi u vvjaġġat miegħu lejn Berlin fejn għexet mill-1927 sal-1930 u studjat ma' Arnold Schönberg u Franz Schreker ^[2]. Matul dan il-perjodu, fl-1927, twieldet bintha Zoya (Зоя)^[3].

Fl-1930 marret Praga fiċ-Ċekoslovakkja, fejn studjat ma' Zdeněk Nejedlý fl-Università ta' Carolina u ma' Otakar Šín fil-Konservatorju ta' Praga. Sudjat ukoll il-kompożizzjoni ma' Vítězslav Novák fl-Akkademja tal-Mużika. Fil-ħarifa tal-1933 kienet tgħallem il-pjanu u saret akkumpanjatriċi fil-Konservatorju ta’ Praga. Fl-1934 iddefendit it-teżi tagħha dwar il-folklor tal-Ukraina fl-opri Russi ^[2] u ngħatat id-dottorat fil-mużikoloġija mill-Università Ħielsa Ukraina fi Praga. B'hekk saret l-ewwel mara minn Galicia (li dak iż-żmien kienet parti mill-Polonja) li rċeviet dottorat permezz tar-riċerka^[2].

Marret terġa' toqgħod Lviv mill-1934 sal-bidu tat-Tieni Gwerra Dinjija fejn għallmet it-teorija tal-mużika u l-pjanu fil-Konservatorju u kienet membru tal-Unjoni tal-Mużiċisti Professjonali Ukraini ^[1].

Le sue opere furono bandite in Ucraina dall'Unione Sovietica.

Biografia

Infanzia

Stefania nacque a Leopoli, allora nell'Impero austro-ungarico, il 25 aprile 1898, in una famiglia di musicisti. Il nonno di Stefania (Lev Turkevich) e suo padre (Ivan Turkevich) erano preti. Sua madre Sofia Kormoshiv (Кормошів) era una pianista e studiò con Karol Mikuli e Vilém Kurz, e ha anche accompagnato la giovane Solomija Krušel'nyc'ka^[1]. Tutti i membri della famiglia suonavano uno strumento; Stefania suonava il pianoforte, l'arpa e l'armonium. Successivamente la compositrice ha ricordato la sua infanzia e il suo amore per la musica con queste parole^[2]:

Mudell:Citazione

Studi

La famiglia Turkevich in Ucraina (1915 circa). Nella riga di mezzo (da sinistra a destra): la sorella Irena, il fratello Lev (con la racchetta) e Stefania

Stefania ha iniziato i suoi studi musicali con Vasyl Barvinsky. Dal 1914 al 1916 studiò a Vienna come pianista con Vilém Kurz. Dopo la prima guerra mondiale proseguì gli studi presso l'Università di Leopoli con Adolf Chybiński, frequentando anche le sue lezioni di teoria della musica al Conservatorio di Leopoli^[2]. Nel 1919 scrisse la sua prima opera musicale, la Liturgia (Літургію), che fu eseguita più volte nella cattedrale di San Giorgio a Leopoli^[1].

Nel 1921 si trasferì a Vienna, dove poté studiare con Guido Adler all'Università e con Joseph Marx presso l'Università per la musica e le arti interpretative, dove si laureò nel 1923 con un diploma da insegnante^[1].

Nel 1925 sposò Robert Lisovskyi e viaggiò con lui a Berlino dove visse dal 1927 al 1930 e studiò con Arnold Schönberg e Franz Schreker^[2]. Durante questo periodo, nel 1927, nacque sua figlia Zoya (Зоя)^[4].

Nel 1930 si recò a Praga in Cecoslovacchia, dove studiò con Zdeněk Nejedlý all'Università Carolina e con Otakar Šín al Conservatorio di Praga. Approfondì anche la composizione con Vítězslav Novák all'Accademia di musica. Nell'autunno del 1933 insegnò pianoforte e divenne accompagnatrice al Conservatorio di Praga. Nel 1934 ha discusso la sua tesi sul folclore ucraino nelle opere russe^[2], conseguendo il dottorato in musicologia presso la Libera Università Ucraina di Praga. Divenne così la prima donna della Galizia (che allora faceva parte della Polonia) a ricevere un dottorato di ricerca^[2].

Ritornata a Leopoli, dal 1934 fino all'inizio della seconda guerra mondiale lavorò come insegnante di teoria musicale e pianoforte al Conservatorio ed fu membro dell'Unione dei musicisti professionisti ucraini^[1].

Seconda guerra mondiale

Nell'autunno del 1939, dopo l'occupazione sovietica dell'Ucraina occidentale, Stefania fu impiegata come tutor e primo violino al Teatro dell'Opera di Leopoli e dal 1940 al 1941 fu professore associato al Conservatorio. Dopo la chiusura del Conservatorio, con l'occupazione tedesca, continuò ad insegnare alla Scuola Statale di Musica. Nella primavera del 1944 lasciò Leopoli per Vienna^[1]. Fuggita dai sovietici, nel 1946 si trasferì nell'Austria meridionale e da lì in Italia, dove il suo secondo marito, Nartsiz Lukyanovich, era un medico sotto il comando britannico^[5].

Nel Regno Unito

Nell'autunno del 1946 Stefania si trasferì nel Regno Unito dove visse a Brighton (1947–1951), Londra (1951–1952), Barrow Gurney (vicino a Bristol) (1952–1962), Belfast (Irlanda del Nord) (1962–1973) e Cambridge (dal 1973).

Alla fine degli anni Quaranta tornò a comporre. Di tanto in tanto ha suonato di nuovo in pubblico come pianista, in particolare nel 1957 in una serie di concerti nelle comunità ucraine in Inghilterra e nel 1959 in un concerto di musica per pianoforte a Bristol. Era membro della British Society of Women-Composers and Musicians (che esistette fino al 1972)^[1].

La sua opera Cuore di Oksana fu eseguita nella Centennial Concert Hall di Winnipeg (Canada) nel 1970, sotto la direzione artistica della sorella Irena Turkevycz-Martynec^[6].

Mudell:Citazione

Dopo aver continuato a comporre per tutti gli anni '70, Stefania Turkewich morì l'8 aprile 1977 a Cambridge, in Inghilterra.

Opere

Stefania Turkewich ci ha lasciato composizioni moderne, ma che ricordano i canti popolari ucraini quando non hanno un carattere marcatamente espressionistico.

Sinfonie e opere orchestrali

Симфонія - Sinfonia n. 1 - 1937
Симфонія n. 2(a) - Sinfonia n. 2(a) - 1952
Симфонія n. 2(b) (2-гий варіант) - Sinfonia n. 2(b) (2ª versione)
Симфонієта - Sinfonietta - 1956
Три Симфонічні Ескізи - Tre schizzi sinfonici - 1975
Симфонічна поема - Poema sinfonico «La Vitа»
Космічна симфонія - Sinfonia spaziale - 1972
Сюїта для подвійного струнного оркестру - Suite per doppia orchestra d'archi
Фентезі для подвійного струнного оркестру - Fantasia per doppia orchestra d'archi

Balletti

Руки - La ragazza dalle mani appassite - Bristol, 1957
Перли - La collana
Весна (Дитячий балет) - Primavera (Balletto per bambini) - 1934-35
Мавка (a) - Mavka, la ninfa della foresta - Belfast, 1964-67
Мавка (b) - Mavka, la ninfa della foresta (2ª versione) - Belfast, 1964-67
Страхопуд - Spaventapasseri - 1976

Opera lirica

Мавка - Mavka (incompiuta), basato su La canzone della foresta di Lesja Ukrainka

Opere per l'infanzia

«Цар Ох» або Серце Оксани - Zar Okh o Cuore di Oksana - 1960
«Куць» - Il giovane diavolo
«Яринний городчик» - Un orto - 1969

Corale

Літургія - Liturgia - 1919
Псалом Шептицькому - Salmo a Šeptytsky
До Бою - Prima della battaglia
Триптих - Trittico
Колискова (А-а, котика нема) - Ninna nanna (Ah, non c'è il gatto) - 1946

Musica da camera strumentale

Соната для скрипки і фортепіано - Sonata per violino e pianoforte - 1935
(a) Cтрунний квартет - Quartetto d'archi - 1960-1970
(b) Cтрунний кварітето - Quartetto d'archi (2ª versione) - 1960-1970
Тріо для скрипки, альта і віолончела - Trio per violino, viola e violoncello - 1960-1970
Квінтет для двох скрипок, альта, віолончела фортепіано - Quintetto per due violini, viola, violoncello e pianoforte - 1960-1970
Тріо для флефти - Trio per fiati (flauto, clarinetto e fagotto) - 1972

Pianoforte

Варіації на Українську тему - Variazioni su un tema ucraino - 1932
Фантазія: Суїта фортепянна на Українські теми - Fantasia: suite per pianoforte su temi ucraini - 1940
Імпромпту - Impromptu - 1962
Гротеск - Grottesco - 1964
Гірська сюїта - Suite della montagna - 1966-68
Цикл п'єс для дітей - Ciclo di pezzi per l'infanzia - 1936-1946
Українські коляди та щедрівки - Canti e ščedryk ucraini
Вістку голосить - Buone Notizie
Natale con Arlecchino - 1971

Varie

Серце - Cuore per voce solista con orchestra
Лорелеї - Lorelei per voce narrante, armonium e pianoforte, parole di Lesja Ukrainka - 1919
Май - Maggio - 1912
Тема народної пісні - Temi di canzoni popolari
На Майдані - Piazza dell'Indipendenza, pezzo per pianoforte
Не піду до леса з конечкамі - Лемківська пісня - Canzone lemca per voce e archi

Note

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j Анатолій Житкевич. MICT [http: //meest-online.com/culture/elehiya-zhyttya/ http: //meest-online.com/culture/elehiya-zhyttya/] Iċċekkja l-valur ta' |url= (għajnuna). Parametru mhux magħruf |language= injorat (għajnuna); Parametru mhux magħruf |publisher= injorat (forsi ridt tuża |pubblikatur= minflok) (għajnuna); Parametru mhux magħruf |title= injorat (għajnuna); Parametru mhux magħruf |access= injorat (forsi ridt tuża |data-aċċess= minflok) (għajnuna); Parametru mhux magħruf |author= injorat (forsi ridt tuża |awtur= minflok) (għajnuna); Ċitazzjoni għandu parametr mhux magħruf u vojt: |website= (għajnuna); |title= nieqes jew vojt (għajnuna) Żball fl-użu tar-referenzi: Invalid <ref> tag; name "MICT" defined multiple times with different content
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j Павлишин, Степанія Стефанівна. Перша українська композиторка: Стефанія Туркевич-Лісовська-Лукіянович, БаК, Lviv 2004. Żball fl-użu tar-referenzi: Invalid <ref> tag; name "Павлишин" defined multiple times with different content
^ Mudell:Cita web
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^ Marunchak, M.H. The Ukrainian Canadians: A History. Ukrainian Free Academy of Sciences, Winnipeg, Ottawa, 1970, page 677.

Bibliografia

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Карась Г. Статика і динаміка жанру дитячої опери у творчості композиторів української діаспори ХХ ст. // Вісник Державної академії керівних кадрів культури і мистецтв. – Київ, 2010. – No. 2. – С. 89–93.
Яців Р. Роберт Лісовський (1893–1982): дух лінії. – Львів, 2015. – С. 11, 13, 79–84, 91.

Altri progetti

Mudell:Interprogetto

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Collegamenti esterni

Titlu

Test

Portal Matematika

Sistema Dinamika

Klassifikazzjoni

Sistemi kontinwi

Data una varietà $S$ , sia $v:S\to S$ un campo vettoriale differenziabile, cioè che associa ad ogni punto $z\in S$ un vettore le cui coordinate sono legate alle coordinate di $z$ (definite in un suo intorno rispetto a qualche base) tramite una funzione differenziabile. Un sistema dinamico è definito dall'equazione autonoma (l'equazione del moto per sistemi meccanici):

Mogħtijin varjetà $S$ , ħa $v:S\to S$ tkun kamp vettorjali differenzjabbli, jiġifieri li jassoċja kull punt $z\in S$ vettur li l-koordinati tiegħu huma marbuta mal-koordinati ta' $z$ (definite in un suo intorno rispetto a qualche base) tramite una funzione differenziabile. Un sistema dinamico è definito dall'equazione autonoma (l'equazione del moto per sistemi meccanici):

v(z)={\frac {dz}{dt}}.

Trattandosi di un'equazione differenziale ordinaria, il relativo teorema di esistenza e unicità della soluzione stabilisce che preso un punto iniziale $z_{0}$ esiste un intervallo $-a\leq t\leq b$ , con $a,b>0$ , in cui il sistema dinamico ha una soluzione unica $z(t)=\phi _{t}(z_{0})$ .

Se la soluzione (traiettoria) esiste per tutti i tempi e per qualsiasi scelta del punto iniziale $z_{0}$ si ha che il tempo può scorrere nel verso contrario, ovvero è possibile predire il passato conoscendo uno stato del sistema nel futuro. In particolare, si verifica che $\phi _{t}^{-1}=\phi _{-t}$ e l'insieme delle $\phi _{t}$ forma un gruppo continuo ad un parametro di diffeomorfismi su $S$ .

La struttura matematica che viene assegnata allo spazio delle fasi $M$ dipende comunque dal contesto; solitamente è uno spazio topologico, in cui ha senso parlare di continuità nell'evoluzione temporale dello stato. Uno spazio topologico in cui è possibile l'utilizzo di strumenti metrici e differenziali è ad esempio la varietà differenziabile, una delle strutture più utilizzate in quanto risulta particolarmente adatta per modellare i sistemi fisici. Per i sistemi nei quali allo stato viene associata una nozione di misura, ad esempio una probabilità, si utilizza uno spazio misurabile. Si richiede inoltre che il flusso $\Phi$ sia compatibile con la struttura di $M$ : nel caso in cui $M$ sia rispettivamente uno spazio topologico, uno spazio misurabile, una varietà differenziabile o una varietà complessa, $\Phi$ è un omeomorfismo, una funzione misurabile, un diffeomorfismo o una funzione olomorfa.

Sistemi discreti

I sistemi dinamici discreti sono definiti da un'iterazione del tipo:

X_{n+1}=f(X_{n})\qquad n\geq 0,

di una funzione $f:S\to S$ , con $S\subset \mathbb {R} ^{n}$ . Può essere vista come un'equazione alle differenze:

X_{n+1}-X_{n}=f(X_{n})-X_{n}\qquad n\geq 0,

che definendo $F(X_{n})=f(X_{n})-X_{n}$ assume la stessa forma dell'equazione differenziale ordinaria del caso continuo.

Le orbite di un sistema discreto sono una successione di stati $\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ . Il gruppo di trasformazioni è quindi dato dall'insieme:

G=\{Id,f,f^{2},f^{3},\dots f^{n},\dots \}.

dove l'espressione $f^{k}$ indica la composizione di funzioni $f\circ \dots \circ f$ di $f$ con sé stessa iterata $k$ volte.

Classificazione in base a ingressi e uscite

In ambito ingegneristico i sistemi dinamici vengono classificati in base al numero di variabili d'ingresso e d'uscita, si hanno infatti:

sistemi a singolo ingresso e singola uscita (SISO, dall'inglese single input-single output);
sistemi a ingresso multiplo e uscita multipla (MIMO, dall'inglese multiple input-multiple output);

e meno frequentemente:

sistemi a singolo ingresso e uscita multipla (SIMO, dall'inglese single input-multiple output);
sistemi a ingresso multiplo e singola uscita (MISO, dall'inglese multiple input-single output).

Sistemi lineari

Mudell:Vedi anche

Una tecnica utilizzata per studiare un problema non lineare

{\dot {x}}=f(x(t))

nelle vicinanze di un punto di equilibrio è quella di approssimarlo ad un sistema lineare

{\dot {z}}=J_{f}(x_{0})\cdot z(t)

in un intorno del punto di equilibrio tramite la matrice jacobiana

J_{f}

di

f

. A seconda del comportamento del sistema (a seconda del determinante di

J_{f}

) l'equilibrio è classificato come stabile, asintoticamente stabile

Una classe molto importante di sistemi dinamici è quella dei sistemi lineari, in cui il legame tra variabili di ingresso e l'uscita è lineare. Sono utilizzati ad esempio nella teoria dei segnali o nella teoria dei circuiti, e spesso sono analizzati in frequenza tramite l'utilizzo di trasformate integrali, come la trasformata di Fourier o la trasformata di Laplace.

Un sistema lineare di $n$ stati $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ , $m$ input $\mathbf {u} \in \mathbb {R} ^{m}$ e $q$ uscite $\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{q}$ viene descritto da un'equazione del tipo:^[1]

{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t),

\mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t),

dove $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ , $B\in \mathbb {R} ^{n\times m}$ , $C\in \mathbb {R} ^{q\times n}$ e $D\in \mathbb {R} ^{q\times m}$ sono matrici (che nel caso stazionario non dipendono dal tempo).

Sistemi lineari e stazionari

Mudell:Vedi anche Un sistema dinamico lineare e stazionario è anche detto lineare tempo-invariante, abbreviato spesso con la sigla LTI (dall'inglese Linear Time-Invariant). Nel caso di un sistema continuo, è caratterizzato dal fatto che l'uscita $y(t)$ per un segnale in ingresso $x(t)$ è descritta dalla convoluzione:

y(t)=x(t)*h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\operatorname {d} \tau =\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\operatorname {d} \tau

dove $h(t)$ è la risposta impulsiva, ovvero la risposta del sistema quando l'ingresso $x(t)$ è una funzione a delta di Dirac. Se la funzione $h(\tau )$ è nulla quando $\tau <0$ allora $y(t)$ dipende soltanto dai valori assunti da $x$ precedentemente al tempo $t$ , ed il sistema è detto causale.

Un sistema a tempo discreto trasforma la successione in ingresso $\{x\}$ in un'altra successione $\{y\}$ , data dalla convoluzione discreta con la risposta $h$ alla delta di Kronecker:

y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k].

Gli elementi di $\{y\}$ possono dipendere da ogni elemento di $\{x\}$ . Solitamente $y[n]$ dipende maggiormente dagli elementi in prossimità del tempo $n$ .

I sistemi lineari stazionari sono spesso descritti nel dominio della frequenza (risposta in frequenza) attraverso la funzione di trasferimento, definita come la trasformata di Laplace della risposta all'impulso a Delta.

Sistemi strettamente propri

Un ulteriore classificazione per i sistemi lineari li divide in strettamente propri (o puramente dinamici) quando l'uscita dipende esclusivamente dagli stati del sistema, e in tal caso nella rappresentazione matriciale ciò corrisponde a una matrice $D(t)$ nulla, mentre si parla di sistema improprio in tutti gli altri casi. Un caso particolare di sistema proprio si ha quando è la matrice $C(t)$ ad azzerarsi, in tal caso il sistema è detto non dinamico e non è necessario ricorrere a variabili di stato per rappresentarlo, poiché il legame fra ingresso e uscita è istantaneo.^[2] È possibile dimostrare che un sistema puramente dinamico ha funzione di trasferimento con grado del numeratore minore a quello del denominatore mentre un sistema non dinamico ha, ovviamente, funzione di trasferimento con grado zero.

Sistemi non lineari

Mudell:Vedi anche

Din is-sezzjoni għadha vojta. Għinna biex niktbuha!

Sistemi complessi

Mudell:Vedi anche In fisica moderna un sistema complesso è un sistema dinamico a multicomponenti ovvero composto da diversi sottosistemi che tipicamente interagiscono tra loro. Tali sistemi vengono studiati tipicamente attraverso apposite metodologie di indagine di tipo "olistico" ovvero come computazione "in toto" ("il tutto è maggiore della somma delle singole parti") dei comportamenti dei singoli sottosistemi assieme alle loro reciproche interazioni (eventualmente non-lineari), descrivibili analiticamente tramite modelli matematici, anziché in maniera "riduzionistica" (cioè scomponendo e analizzando il sistema nei suoi componenti).

Analisi

Mudell:Vedi anche L'analisi dei sistemi dinamici o è lo studio del comportamento dei sistemi medesimi. Dal momento che la definizione di sistema dinamico è molto generale, sono diverse le discipline che propongono un modello matematico di sistema dinamico in riferimento a contesti particolari.

Ad esempio, in meccanica classica le equazioni del moto di Newton sono state riformulate dalla meccanica lagrangiana e dalla meccanica hamiltoniana, mentre in ingegneria i sistemi dinamici - che possono essere ad esempio circuiti - hanno una uscita (output) e un ingresso (input). Nel caso gli ingressi siano sottoposti ad un segnale aggiuntivo di controllo, si entra nell'ambito dell'analisi dei sistemi di controllo.

In tutti i casi, l'analisi dei sistemi dinamici viene effettuata impostando un sistema di una o più equazioni differenziali per le quali si specificano dei dati iniziali.

Rappresentazione nel dominio del tempo e della frequenza

Mudell:Vedi anche

Descrizione di un sistema LTI nel dominio del tempo (in blu) e nel dominio delle frequenze (la trasformata di Laplace è mostrata in rosso).

In matematica, ingegneria, fisica, statistica, e altri ambiti delle scienze, l'analisi nel dominio della frequenza di una funzione del tempo (o segnale) ne indica la descrizione in termini dell'insieme (spettro) delle sue frequenze. Ad esempio, è una pratica diffusa nell'ambito delle tecnologie audiovisive e nelle telecomunicazioni valutare quanto un segnale elettrico o elettromagnetico sia compreso in bande di frequenze di particolare interesse.

Rappresentazione nello spazio di stato

Mudell:Vedi anche In fisica matematica, in particolare in meccanica razionale e nella teoria dei sistemi dinamici, una 'rappresentazione in spazio di stato, nota anche come rappresentazione in spazio di fase, è una descrizione di un sistema dinamico in cui si fa particolare riferimento alle variabili di stato del sistema, le quali formano uno spazio vettoriale in cui esso viene rappresentato. La dimensione del suddetto spazio vettoriale è pari al doppio del numero di gradi di libertà del sistema; viceversa, uno spazio vettoriale che abbia dimensione pari al numero di gradi di libertà riuscirà a tener conto soltanto dello stato del sistema in un singolo istante.

Rappresentazione grafica

Traiettorie di stato

Supponendo di perturbare un sistema ed osservando la traiettoria di una grandezza di interesse, si verificano casi di particolare interesse quando l'evoluzione tenderà a stabilizzarsi in una posizione di equilibrio, ovvero un punto fisso dell'evoluzione del sistema.

Gli equilibri di un sistema cambiano al variare di ingressi e disturbi (supposti costanti), ad esempio modificando la tensione ai capi di un motore varia la velocità raggiunta a regime. Lo studio degli equilibri di un sistema dinamico è di estremo interesse, tipicamente i problemi di controllo possono essere interpretati come una modifica del punto di equilibrio di un dato sistema. Un esempio semplice è dato dall'equilibrio termico di un appartamento, la cui temperatura interna è l'equilibrio imposto dalle condizioni ambientali ed interne. L'utilizzo di un condizionatore d'aria (sistema di controllo) modificando la temperatura interna alla stanza non fa altro che modificare il punto di equilibrio del sistema.

Modello a scatole

Mudell:Vedi anche

Modello black box

Nell'ingegneria dei sistemi un sistema può essere modellizzato graficamente tramite una scomposizione in un insieme di sottosistemi collegati tra loro in vario modo (serie, parallelo, retroazione ecc...), ciascuno dei quali è identificato da uno scatolotto il cui funzionamento o comportamento è descritto da una funzione di sottoprocesso che esso svolge all'interno del sistema generale. Lo schema risultante si darà schema a blocchi del sistema (si veda Modello black-box, Modello white-box e Modello grey-box).

L'analisi di tali sistemi può essere fatta tramite l'ottenimento della cosiddetta funzione di trasferimento ovvero il rapporto tra la trasformata di laplace dell'ingresso e la trasformata dell'uscita ovvero tramite la cosiddetta risposta impulsiva, antitrasformata della funzione di trasferimento ovvero risposta da un impulso semplice dove l'uscita viene computata nel dominio del tempo dalla convoluzione di tale risposta impulsiva con l'ingresso desiderato ovvero con il prodotto della funzione di trasferimento per l'ingresso trasformato e poi il tutto antitrasformatato. Altro modo di rappresentazione analogo è il modello autoregressivo ingresso-stato-uscita a media mobile (ARMA).

Stabilità e punti di equilibrio

Mudell:Vedi anche

Stabilità in un sistema dinamico in prossimità del punto di equilibrio

x_{0}

: le soluzioni che partono dentro

V

rimangono in

U

per tutta l'evoluzione del sistema.

Si possono definire diversi tipi di stabilità per un sistema dinamico, ad esempio la stabilità esterna, anche detta stabilità BIBO (da Bounded Input, Bounded Output), ovvero la proprietà di avere un'uscita limitata se l'ingresso è limitato, oppure la stabilità interna, che si riferisce alla capacità di tornare in una configurazione di equilibrio dopo una perturbazione dello stato di equilibrio stesso. La stabilità esterna viene generalmente utilizzata per analizzare il comportamento di sistemi lineari stazionari (per i quali si valutano i poli della funzione di trasferimento), mentre la stabilità interna sfrutta la rappresentazione in spazio di stato del sistema ed è stata studiata in particolare da Aleksandr Michajlovič Ljapunov.

L'analisi della stabilità di un sistema meccanico è collegata con il fatto che il sistema, se lasciato libero di evolvere, tende spontaneamente a portarsi in una configurazione dove la sua energia potenziale è minima: tale configurazione che corrisponde ad uno stato di equilibrio stabile (si veda il teorema di Lagrange-Dirichlet).

Stabilità interna

Mudell:Vedi anche In matematica, la stabilità interna o stabilità di Ljapunov di un sistema dinamico è un modo per caratterizzare la stabilità delle traiettorie compiute dal sistema nello spazio delle fasi in seguito ad una sua perturbazione in prossimità di un punto di equilibrio. Un punto di equilibrio è detto stabile (secondo Ljapunov) se ogni orbita del sistema che parte sufficientemente vicina al punto di equilibrio rimane nelle vicinanze del punto di equilibrio, ed è detto asintoticamente stabile se l'orbita converge al punto al crescere infinito del tempo.

Stabilità esterna

Mudell:Vedi anche Un sistema è stabile esternamente (BIBO stabile) se ad un ingresso limitato corrisponde una uscita limitata. La limitatezza di una funzione scalare $f$ è generalmente definita in tale contesto dal fatto che esiste un $M<\infty$ tale che:

\sup _{t\geq 0}|f(t)|<M.

Nel caso di sistemi dinamici lineari, un sistema lineare è BIBO stabile se e solo se la risposta impulsiva $h(t)$ è assolutamente integrabile, cioè esiste un $M'<\infty$ tale che:^[3]

\int _{-\infty }^{\infty }|h(\tau )|d\tau <M'.

Stabilità strutturale

Mudell:Vedi anche In matematica, la stabilità strutturale è una proprietà fondamentale dei sistemi dinamici descrivibile qualitativamente come l'inalterabilità delle traiettorie a seguito di piccole perturbazioni di classe C 1 {\displaystyle C^{1}} C^1. Esempi di queste proprietà qualitative sono il numero di punti fissi e di orbite periodiche (ma non i loro periodi). A differenza della stabilità secondo Lyapunov, che considera perturbazioni nelle condizioni iniziali di un certo sistema, la stabilità strutturale riguarda le perturbazioni del sistema stesso. Le varianti di questa nozione si applicano ai sistemi di equazioni differenziali ordinarie, ai campi vettoriali su varietà regolari, i flussi da essi generati, e i diffeomorfismi.

Controllabilità e osservabilità

Mudell:Vedi anche

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Esempio di controllo ad anello

I concetti di controllabilità e osservabilità di un sistema dinamico sono stati introdotti da Kalman nel 1960 e sono alla base della teoria del controllo. Informalmente, un sistema è controllabile se è possibile portarlo in qualsiasi configurazione finale agendo opportunamente sull'ingresso in un tempo finito; viceversa, è osservabile se dall'uscita è possibile risalire allo stato del sistema. Nei sistemi lineari controllabilità e osservabilità sono due proprietà duali.

Sistemi lineari

Dato un sistema dinamico lineare:

{\dot {x}}=Ax+bu

y=c^{T}x

dove $c^{T}$ è un vettore costante, si consideri la matrice:

T=[c^{T}\quad c^{T}A\quad c^{T}A^{2}\quad \dots \quad c^{T}A^{n-1}]^{T}.

Il sistema è completamente osservabile se il rango di $T$ è massimo.

Considerando invece la matrice:

R={\begin{bmatrix}b&Ab&A^{2}b&\ldots &A^{n-1}b\end{bmatrix}},

il sistema è completamente controllabile se la matrice ha rango massimo.

Definendo il sistema duale:^[4]

{\dot {x}}=A^{T}x+cu

y=b^{T}x

si dimostra che il sistema di partenza è completamente osservabile se e solo se il sistema duale è completamente controllabile, ed è completamente controllabile se e solo se il sistema duale è completamente osservabile.

Sistemi non lineari

Dato un sistema dinamico definito su una varietà $M\in C^{\infty }$ di dimensione $m$ :

{\dot {x}}=f(x,u)\qquad x\in M

y=g(x)

con $u\in \Omega \subset \mathbb {R} ^{l}$ l'ingresso, $y\in \mathbb {R} ^{n}$ l'uscita e $f,g\in C^{\infty }$ , i problemi di controllabilità si traducono nel verificare se lo spazio delle fasi $M$ è sufficientemente grande da contenere tutti gli stati possibili (altrimenti il sistema non è osservabile) o se, al contrario, contiene stati che il sistema non può raggiungere (il sistema non è controllabile).

Una descrizione matematica comunemente utilizzata considera l'algebra di Lie $F$ di campi vettoriali sullo spazio delle fasi $M$ generata dal campo vettoriale $f(\cdot ,u)$ , con $u\in \Omega$ un controllo costante: se la dimensione dell'algebra è costante esiste un'unica sotto-varietà $M'\subset M$ tangente lo stato iniziale $x_{0}$ contenente tutte le orbite raggiungibili dal sistema (andando avanti o all'indietro nel tempo) passanti per $x_{0}$ . Se la dimensione di $F(x_{0})$ è $m$ allora $M=M'$ e il sistema è in qualche modo controllabile; in caso contrario, se la dimensione è minore di $m$ si considera solo l'insieme $M'$ in cui il sistema è controllabile.^[5]

Sistemi ergodici

Mudell:Vedi anche La teoria ergodica (dal greco ἔργον érgon, lavoro, energia e ὁδός hodós «via, percorso»[1]) si occupa principalmente dello studio matematico del comportamento medio, a lungo termine, di sistemi dinamici.

Teoria delle biforcazioni

Mudell:Vedi anche

Biforcazioni nella mappa logistica

La teoria delle biforcazioni si occupa delle variazioni nella struttura delle orbite di un sistema dinamico al variare di un parametro del sistema, nel caso in cui tali variazioni non siano topologicamente equivalenti.

Caos e attrattori

Mudell:Vedi anche In matematica la teoria del caos è lo studio, attraverso modelli propri della fisica matematica, dei sistemi dinamici che esibiscono una sensibilità esponenziale rispetto alle condizioni iniziali.[1] I sistemi di questo tipo, pur governati da leggi deterministiche, sono in grado di esibire un'empirica casualità nell'evoluzione delle variabili dinamiche.[2] Questo comportamento casuale è solo apparente, dato che si manifesta nel momento in cui si confronta l'andamento temporale asintotico di due sistemi con configurazioni iniziali arbitrariamente simili tra loro.[1]

Esempio

Per introdurre l'analisi di un sistema dinamico possiamo fare riferimento al modello costituito da un serbatoio d'acqua forato. In tale modello fissiamo le variabili e le costanti del sistema che si è creato. Abbiamo:

la sezione del serbatoio $S$ che rimane costante nel tempo;
una costante generale $K$ del liquido considerato che comprende diversi fattori costanti rispetto al tempo come la densità del liquido e la dimensione del foro;
il livello di acqua nel serbatoio $x(t)$ che definiamo come variabile di stato del sistema;
la portata d'acqua entrante che definiamo ingresso del sistema $u(t);$
la portata uscente dell'acqua che definiamo uscita del sistema $y(t)$ che è proporzionale alla quantità di liquido sovrastante (ossia livello d'acqua per la sezione del serbatoio) e alla costante del sistema, infatti $y(t)=Kx(t).$

Sappiamo che, essendo un serbatoio un sistema dinamico, il suo stato al tempo $t$ è definito sia dalla variabile di ingresso, sia dalla variabile di uscita, sia dallo stato precedente del sistema $x(t-\Delta t).$ Possiamo quindi definire la formula generale dei sistemi dinamici (del primo ordine: ossia quelli definiti da una sola variabile di uscita) per i quali:

{\frac {\Delta x}{\Delta t}}=Ax(t)+Bu(t).

Se voglio sapere il livello di acqua nel serbatoio all'istante $t$ posso ragionare sulle variabili del sistema:

so che $u(t)-Kx(t)$ corrisponde alla quantità di liquido del serbatoio (quantità entrante meno quantità uscente)
so che tale valore è uguale a $S{\frac {\Delta x}{\Delta t}}$ (in quanto tale valore corrisponde anch'esso alla variazione di livello di liquido all'interno del serbatoio nell'unità di tempo), quindi
$u(t)-Kx(t)=S{\frac {\Delta x}{\Delta t}},$
ricavo il rapporto ${\frac {\Delta x}{\Delta t}}$ e ottengo
${\frac {\Delta x}{\Delta t}}=k{\frac {x(t)}{S}}+{\frac {u(t)}{S}}$ che si ritrova perfettamente con la formula generale dei sistemi di primo ordine.

Se volessimo analizzare graficamente l'andamento dello stato del sistema potremmo, tramite foglio di calcolo, determinare l'avanzare del sistema in funzione di un intervallo di tempo $\Delta t$ che viene scelto "empiricamente" tramite la formula $\Delta t={\frac {0,1}{|A|}}$ ossia $0,1$ diviso il valore assoluto del coefficiente moltiplicante lo stato del sistema nella formula generale dei sistemi.

Graficamente otterrei un iniziale andamento esponenziale del sistema seguito da un equilibrio dello stato del sistema. Tendenza dei sistemi dinamici è infatti il raggiungimento di uno stato di equilibrio che si conservi nel tempo.

Note

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[MICT-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j Анатолій Житкевич. MICT [http: //meest-online.com/culture/elehiya-zhyttya/ http: //meest-online.com/culture/elehiya-zhyttya/] Iċċekkja l-valur ta' |url= (għajnuna). Parametru mhux magħruf |language= injorat (għajnuna); Parametru mhux magħruf |publisher= injorat (forsi ridt tuża |pubblikatur= minflok) (għajnuna); Parametru mhux magħruf |title= injorat (għajnuna); Parametru mhux magħruf |access= injorat (forsi ridt tuża |data-aċċess= minflok) (għajnuna); Parametru mhux magħruf |author= injorat (forsi ridt tuża |awtur= minflok) (għajnuna); Ċitazzjoni għandu parametr mhux magħruf u vojt: |website= (għajnuna); |title= nieqes jew vojt (għajnuna) Żball fl-użu tar-referenzi: Invalid <ref> tag; name "MICT" defined multiple times with different content

[Павлишин-2] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j Павлишин, Степанія Стефанівна. Перша українська композиторка: Стефанія Туркевич-Лісовська-Лукіянович, БаК, Lviv 2004. Żball fl-użu tar-referenzi: Invalid <ref> tag; name "Павлишин" defined multiple times with different content

[3] Mudell:Cita web

[4] Mudell:Cita web

[5] Mudell:Cita web

[Marunchak,_M.H.-6] Marunchak, M.H. The Ukrainian Canadians: A History. Ukrainian Free Academy of Sciences, Winnipeg, Ottawa, 1970, page 677.

[7] Giovanna Finzi - Classificazione dei sistemi dinamici Mudell:Webarchive

[8] Classificazione dei sistemi dinamici Mudell:Webarchive su unibs.it

[9] (EN) Mauricio de Oliveira - Stability

[10] (EN) William J. Terrel - Controllability, Observability, and Duality

[11] (EN) Robert Hermann, Arthur J. Krener - Nonlinear Controllability and Observability

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