Moviment Brownjan

Minn Wikipedija, l-enċiklopedija l-ħielsa
Aqbeż lejn: navigazzjoni, fittex
Il-moviment Brownjan ta' partiċella

Il- moviment Brownjan hu deskrizzjoni matematika ta' moviment każwali ta' partiċella "tqila" mgħaddsa fi fluwidu u li m'għandhiex fuqha interazzjonijiet oħra ħlief il-ħbit fuqha tal-molekuli "ħfief" tal-fluwidu ta' madwarha. Minn dan jirriżulta li l-partiċella t-tqila timxi b'moviment irregolari ħafna, li ġie deskritt għall-ewwel darba fl-1827 mill-botanista Robert Brown waqt li kien qiegħed josserva ċ-ċaqlieq ta' partiċelli fil-fluwidu fil-ġewwieni ta' trab tal-pollin[1].

Id-deskrizzjoni fiżika l-iżjed elementari ta' dan il-fenomenu hi din:

  • bejn żewġ ħabtiet, il-partiċella l-kbira timxi f'linja dritta b'veloċità kostanti;
  • il-partiċella l-kbira taċċelera meta taħbat ma' molekula tal-fluwidu jew xi ħajt.

Permezz ta' dan il-moviment nistgħu niddeskrivu l-imġiba termodinamika tal-gasijiet (teorija ċinetika tal-gasijiet), kif ukoll il-fenomenu tad-diffużjoni. Huwa użat ħafna wkoll fil-mudelli tal-matematika finanzjarja.

Ħjiel storiku[immodifika | immodifika s-sors]

Brown ra fil-fluwidu li kien fil-ġewwieni tat-trab tal-pollin (il-moviment Brownjan ma ġiex osservat fuq it-trab tal-pollin stess kif jingħad sikwit), xi partiċelli żgħar ħafna jiċċaqilqu b'movimenti li kienu jidhru kaotiċi. Dan ma setax jiġi spjegat permezz ta' kurrenti u lanqas permezz ta' xi fenomenu fiżiku ieħor magħruf. Għall-ewwel Brown għalhekk attribwieh għal xi attività ħajja. L-ispjegazzjoni korretta tal-fenomenu ġiet wara.

Brown ma kienx eżattament l-ewwel wieħed li għamel din l-osservazzjoni. Qal hu stess li bosta oħrajn kienu ssuġġerew l-eżistenza ta' dan il-moviment (f'konnessjoni mat-teoriji vitalisti ta' żmienu). Nistgħu insemmu lill-qasis kattoliku John Turberville Needham (1713-1781), famus f'ħajtu għas-sengħa li kellu fuq il-mikroskopju, u lill-Olandiż Jan Ingenhousz (1730 -1799) li fl-1785 iddeskriva l-moviment irregolari tat-trab tal-faħam fuq wiċċ l-alkoħol.

Matul is-seklu 20 kien hemm ħafna diskussjonijiet dwar x'kien osserva sewwa Brown. Minħabba l-kwalità medjokra tal-apparat li seta' jinqeda bih, xi wħud iddubitaw jekk kienx veru li ra l-moviment Brownjan, li kien jinvolvi partiċelli ta' xi mikrometri mill-iżjed. L-Ingliż Brian Ford reġa' għamel l-esperiment fil-bidu tas-snin 1990, bil-materjal użat minn Brown u f'kondizzjonijietet li kienu l-istess kemm jista' jkun[2]. Il-moviment kien veru osservat f'dawn il-kondizzjonijiet u hekk ġew ikkonfermati l-osservazzjonijiet ta' Brown.

Rudimenti matematiċi[immodifika | immodifika s-sors]

Il-kunċett ta' proċess każwali[immodifika | immodifika s-sors]

Insibuh diffiċli li nimmudellaw il-moviment Brownjan minnħabba l-fatt li dan il-moviment hu każwali u li statistikament kull partiċella ma timxix: mhuwiex moviment tal-partiċelli kollha f'daqqa bħar-riħ jew kurrent. Iżjed preċiż:

  • f'waqt mogħti, is-somma vettorjali tal-veloċitajiet tal-partiċelli hi żero (m'hemmx moviment tal-ġabra tal-partiċelli);
  • jekk insegwu partiċella mogħtija, matul iż-żmien, il-bariċentru tal-mogħdija tagħha hu l-punt minn fejn tkun telqet, tagħmel "dawra durella" madwar l-istess punt.

Hu diffiċli f'dawn il-kondizzjonijiet li nikkaratterizzaw il-moviment. Is-soluzzjoni sabha Louis Bachelier, u ppreżentaha fit-teżi tiegħu li ddefenda fid-29 ta' Marzu 1900. Wera li dak li jikkaratterizza l-moviment, m'hijiex il-medja aritmetika tal-pożizzjonijiet imma l-medja kwadrata  : jekk hi d-distanza tal-partiċella fil-ħin wara li telqet minn fejn telqet, allura :

Nistgħu nuru li hawn l-ispostament kwadrat medju hu proporzjonali għall-ħin[3] :

fejn hi d-dimensjoni tal-moviment (linjari, pjan, spazjali), il-koeffiċjent tad-diffużjoni u il-ħin li jkun għadda.

Definizzjoni matematika[immodifika | immodifika s-sors]

Nistgħu nagħtu din id-definizzjoni formali: Il-moviment Brownjan hu proċess stokastiku fejn l-inkrementi disġunti huma indipendenti u l-inkrement jobdi l-liġi normali b'medja żero u varjanza .

Permezz ta' din id-definizzjoni nistgħu nippruvaw xi proprjetajiet tal-moviment Brownjan, bħal pereżempju il-kontinwità tiegħu (kważi żgura[4]), il-fatt li kważi żgurament, il-mogħdija tiegħu m'hi mkien differenzjabbli, u bosta proprjetajiet oħra.

Nistgħu ukoll niddefinixxu l-moviment Brownjan permezz tal-varjanza. Din id-definizzjoni, imsejħa t-teorema ta' Lévy, tagħti din il-karatterizzazzjoni: Proċess stokastiku li hu martingala lokali u għandu varjanza hu moviment Brownjan.

Il-formola ta' Einstein[immodifika | immodifika s-sors]

Permezz tal-formola li tajna hawn fuq nistgħu nikkalkulaw il-koeffiċjent tad-diffużjoni ta' par partiċella-fluwidu. Ġaladarba nkunu nafu l-karatteristiċi tal-partiċella li qiegħda tiddifuża, nistgħu niddeduċu l-karatteristiċi tal-ieħor. Jekk inkunu nafu l-karatteristiċi tat-tnejn, inkunu nistgħu nikkalkulaw in-numru ta' Avogadro bl-għajnuna tal-formola ta' Einstein (1905) :

fejn hi l-kostanti tal-gasijiet perfetti, it-temperatura, il- viskożità tal-fluwidu, ir-raġġ tal-partiċella u in-numru ta' Avogadro. Il-fiżiku Jean Perrin ikkalkula dan in-numru fl-1908 permezz ta' din il-formola.

Xi mudelli fl-spazju Ewklidew[immodifika | immodifika s-sors]

L-ekwazzjoni ta' Langevin (1908)[immodifika | immodifika s-sors]

Fil-metodu ta' Langevin[5], il-partiċella Brownjana l-kbira ta' massa għandha fil-waqt , veloċità u jaħkmu fuqha żewġ forzi:

  • forza ta' frizzjoni fluwida tat-tip , fejn hi kostanti pożittiva;
  • ħoss abjad Gaussjan, [6].

Meta napplikaw il-prinċipju fundamentali tad-dinamika ta' Newton b'dawn il-forzi niksbu l-ekwazzjoni stokastika ta' Langevin:

Il-proċess ta' Ornstein-Uhlenbeck[immodifika | immodifika s-sors]

Il-proċess ta' Ornstein-Uhlenbeck hu proċess stokastiku li jiddeskrivi l-veloċita ta' partiċella fi fluwidu, f'dimensjoni 1.

Niddefinuh bħala s-soluzzjoni ta' din l-ekwazzjoni differenzjali stokastika:

,

fejn hu moviment Brownjan standard, u hi varjabbli każwali mogħtija. It-terminu jirrappreżenta l-għadd kbir ta' ħabtiet stokastiċi mal-partiċella, waqt li t-terminu jirrappreżenta l-forza tal-frizzjoni fuq il-partiċella.

Il-formola ta' Itô applikata għall-proċess tagħtina:

,

li fil-forma integrali ssir:

.

Pereżempju, jekk tieħu kważi żgur il-valur , Il-liġi ta' hi liġi Gaussjana b'medja u varjanza , li tikkonverġi fil-liġi meta tersaq lejn l-infinit għal liġi Gaussjana standard.

Mixjiet każwali[immodifika | immodifika s-sors]

Nistgħu nużaw mudell ta' mixja każwali, fejn il-moviment isir b'qabziet diskreti bejn pożizzjonijiet fissi (b'movimenti f'linja dritta bejn żewġ pożizzjonijiet), bħal pereżempju fil-każ tad-diffużjoni fis-solidi. Jekk ix- huma l-pożizzjonijiet wara xulxin ta' partiċella, wara qabżiet ikollna:

Mixja każwali f'dimensjoni waħda tal-ispazju (Eżempju)[immodifika | immodifika s-sors]

Ejjew inħarsu lejn mixja ta' partiċella fuq l-assi Ox. Nissoponu li din il-partiċella tagħmel qabżiet ta' tul bejn pożizzjonijiet ġirien ta' xulxin sitwati fuq l-għoqod tax-xibka: ta' ħadma u kull qabża ddum żmien .

Irridu nagħtu wkoll numru li jissodisfa: . L-interpretazzjoni fiżika ta dan il-parametru hi din:

  • tirrapreżenta l-probabbiltà li l-partiċella taqbeż lejn il-lemin kull darba;
  • tirrapreżenta l-probabbiltà li l-partiċella taqbeż lejn ix-xellug kull darba.

Il-każ tal-moviment Brownjan jikkorrispondi ma' li nagħmlu l-ipoteżi ta' iżotropija spazjali. Id-direzzjonijiet fl-ispazju fiżiku huma a priori ekwivalenti u l-probabbiltajiet ta' qbiż lejn iż-żewġ direzzjonijiet huma l-istess:

Ix-xbieha hawn taħt turi eżempju tipiku tar-riżultat: il-partiċella titlaq minn , , u l-linja timxi mal-pożizzjonijiet suċċessivi tal-partiċella fil-ħinijiet .

Marche au hasard.jpg

Il-probabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali[immodifika | immodifika s-sors]

Il-probabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali niddefinuha hekk:

bħala l-probabbiltà li nsibu l-partiċella fuq is-sit (għoqda) fil-ħin meta nkunu nafu li kienet fuq is-sit fil-ħin tal-bidu .

L-ipoteżi ta' iżotropija twassalna biex niktbu l-liġi tal-evoluzzjoni ta' din il-pobabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali b'dan il-mod :


Minnha niddeduċu din ir-relazzjoni:

Konverġenza lejn il-moviment Brownjan. Ekwazzjoni ta' Fokker-Planck[immodifika | immodifika s-sors]

Ejjew nieħdu l-limitu kontinwu tal-aħħar ekwazzjoni, jiġifieri nieħdu l-limitu bil-parametri:

Meta nagħmlu l-kalkulu tal-limitu kontinwu naraw li l-kumbinazzjoni trid tibqa' kostanti f'dan il-limitu. Meta niżviluppaw f'poteri ta' insibu:

Meta niżviluppawha f’poteri ta' ikollna:

u jekk nagħqduhom dawn tal-aħħar flimkien inġibu:

Minn dawn nistgħu niddeduċu l-ekwazzjoni ta' Fokker-Planck :

jew

li nistgħu nerġgħu niktbuha:


meta nintroduċu l-koeffiċjent tad-diffużjoni:

Solution tal-ekwazzjoni ta' Fokker-Planck[immodifika | immodifika s-sors]

Barra mill-ekwazzjoni ta' Fokker-Planck, id-densità ta' probabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali trid tissosdisfa iż-żewġ kondizzjonijiet supplementari li ġejjin:

  • in-normalizzazzjoni tal-probabbiltà totali:
  • il-kondizzjoni inizjali:

fejn hi d-distribuzzjoi ta' Dirac.

Id-densità ta' probabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali hi mela essenzjalment funzjoni ta' Green tal-ekwazzjoni ta' Fokker-Planck. Nistgħu nuru li din tinkiteb espliċament:

Il-mumenti ta' din id-distribuzzjoni nistgħu nikkalkulawhom faċilment[7].

Il-moviment Brownjan fuq varjetà Riemannjana[immodifika | immodifika s-sors]

Insejħu moviment Brownjan fuq varjetà Riemannjana il-proċess każwali kontinwu Markovjan li s-semigrupp tiegħu tat-tranżizzjoni b'parametru wieħed hu mnissel minn , fejn hu l-operatur ta' Laplace-Beltrami fuq il-varjetà .

Noti u referenzi[immodifika | immodifika s-sors]

  1. ^ Robert Brown ; A brief account of microscopical observations made in the months of June, July and August, 1827, on the particles contained in the pollen of plants; and on the general existence of active molecules in organic and inorganic bodies., Philosophical Magazine 4 (1828), 161-173. Wieħed jista' jaraha fil-format pdf fuq dan is-sit [1]
  2. ^ Brian J. Ford ; Brownian movement in Clarkia pollen: a reprise of the first observations, The Microscope, 40 (4): 235-241, 1992 Riproduzzjoni tal-artiklu online
  3. ^ Fil-każ ta' moviment regolari f'linja, hu l-ispostament li hu proporzjonali għall-ħin.
  4. ^ Ngħidu li ġrajja hi kważi żgura jew tiġri kważi żgurament jekk il-probabbiltà li tiġri hi 1.
  5. ^ Paul Langevin, Sur la théorie du mouviment Brownien, (Dwar it-teorija tal-moviment Brownjan), Comptes-rendus de l'Académie des Sciences 146 (1908), 530-532. Wieħed jista' jikkonsulta u jniżżel it-test komplut fil-format pdf mis-sit Gallica de la BNF.
  6. ^ Ħoss abjad Gaussjan hu proċess każwali b'medja żero:

    u totalment dekorrelat fil-ħin; in fatti l-funzjoni ta' korrelazzjoni ta' żewġ ħinijiet tieħu l-valur:

    F'din il-formola, hi kostanti posittiva, u hi d-distribuzzjoni ta' Dirac.


    F'dawn iż-żewġ formoli, il-medja tittieħed fuq ir-realizzazzjoniet possibbli ta' ħoss abjad Gaussjan. Nistgħu nifformulaw dan billi nintroduċu integral funzjonali li għadu msejjaħ bl-isem li tah Feynman, Integral fuq il-Mgħodijiet definit għall-meżura Gaussjana msejħa "meżura ta' Wiener" (Cf. e.g. : Mark Kac ; Integration in Function Space and some of Its Applications, (Integrazzjoni fuq spazju ta' funzjonijiet u xi applikazzjonijiet tagħha), Lezioni Fermiane, Accademia Nazionale dei Lincei, Scuola Normale Superiore, Pisa, Italy (1980). Test fil-format jinstab fuq [2]) hekk, niktbu:

    fejn hi d-derivata ta' bil-ħin .

  7. ^ Biex nissemplifikaw inqegħdu . Il-mument ta' ordni hu

    fejn . Billi l-funzjoni hi żewġ, il-mumenti tagħha kollha ta' ordni farada huma żero. Nistgħu faċilment nikkalkulaw il-momenti kollha ta' ordni żewġija billi nqegħdu:

    u niktbu:

    Niksbu espliċitament:

    Niksbu b'mod partikulari għall-mument ta' ordni tnejn:

Bibljografija[immodifika | immodifika s-sors]

Aspetti storiċi[immodifika | immodifika s-sors]

  • Jean Perrin, Mouvement brownien et réalité moléculaire, (Il-moviment Brownjan u r-realtà molekulari) Annales de Chimie et de Physique 19 (it-8 serje), (1909), 5-104. Wieħed jista' jikkonsulta u jniżżel it-test komplut fil-format pdf minn fuq is-sit Gallica tal-BNF.
  • Albert Einstein, Investigations on the Theory of the Brownian Movement, (Starriġ dwar it-teorija tal-moviment Brownjan) Dover Publications, Inc. (1985), ISBN 0-486-60304-0. Edizzjoni mill-ġdid tal-artikli oriġinali ta' Einstein fuq it-teorija tal-moviment Brownjan.

Il-moviment Brownjan fl-ispazju Ewklidew[immodifika | immodifika s-sors]

  • Bertrand Duplantier ; Le mouvement brownien, (Il-moviment Brownjan) Séminaire Poincaré : Einstein, 1905-2005 (Pariġi, 8 ta' April 2005). Test komplut disponibbli fuq [3].
  • Bernard Derrida u Eric Brunet, Le mouvement brownien et le théorème de fluctuation-dissipation, (Il-moviment Brownjan u t-teorema ta' flutwazzjoni-dissipazzjoni) f Michèle Leduc & Michel Le Bellac (edituri) ; Einstein aujourd'hui, EDP Sciences (Jannar 2005), ISBN 2-86883-768-9.
  • Paul Lévy, Processus stochastiques et mouvement brownien, (Proċessi stokastiċi u l-moviment Brownjan) Gauthier-Villars (it-2 edizzjoni - 1965). Re-editjata minn Jacques Gabay (1992), ISBN 2-87647-091-8.
  • Mark Kac, Random Walk and the Theory of Brownian Motion, (Mixjiet każwali u t-teorija tal-moviment Brownjan) American Mathematical Monthly 54(7) (1947), 369-391. Test jista' jinstab fil-format pdf fuq [4].
  • Edward Nelson, Dynamical Theories of Brownian Motion, (Teoriji dinamiċi tal-moviment Brownjan) Princeton University Press (1967). Test jista' jinstab fil-format pdf fuq [5].

Il-moviment Brownjan fuq varjetà Riemannjana[immodifika | immodifika s-sors]

  • Elton P. Hsu ; Stochastic Analysis on Manifolds, (Analisi stokastika fuq il-varjetajiet) American Mathematical Society (Jannar 2002), ISBN 0-8218-0802-8.
  • Elton P. Hsu ; A Brief Introduction to Brownian Motion on a Riemannian Manifold, (Introduzzjoni fil-qosor għall-moviment Brownjan fuq varjetà Riemannjana) (2003). Test jista' jinstab fil-format pdf fuq [6].
  • Mark A. Pinsky ; Isotropic transport process on a Riemannian manifold, (Proċess iżotropiku tat-trasport fuq varjetà Riemannjana), Transaction of the American Mathematical Society 218 (1976), 353-360.
  • Mark A. Pinsky ; Can You Feel the Shape of a Manifold with Brownian Motion ? (Tista' tħoss il-forma ta' varjetà permezz tal-moviment Brownjan ?), Expositiones Mathematicae 2 (1984), 263-271.
  • Nicolas Th. Varopoulos ; Brownian motion and random walks on manifolds (Moviment Brownjan u mixjiet każwali fuq varjetajiet), Annales de l'Institut Fourier 34(2) (1984), 243-269. Test jista' jinstab fil-format pdf fuq [7].
  • Alexander Grigor'yan ; Analytic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds, (Sfond analitiku u ġeometriku tal-moviment Brownjan fuq varjetajiet Riemannjani), Bulletin of the American Mathematical Society 36(2) (1999), 135-249. Test jista' jinstab fuq [8].

Ħoloq esterni[immodifika | immodifika s-sors]