Relattività ristretta

Ir-relattività ristretta hi teorija formali li żviluppa Albert Einstein fl-1905. L-għan ta' Einstein kien li joħroġ il-konsegwenzi fiżiċi kollha tar-relattività Galilejana u tal-fatt li l-veloċità tad-dawl fil-vojt għandha l-istess valur fis-sistemi ta' riferiment inerzjali kollha. Dan il-fatt irriżulta mill-ekwazzjonijiet ta' Maxwell imma sa dak iż-żmien kien spjegat b'mod differenti bl-użu tal-"ispazju assolut" ta' Newton u tal-"eter".

Ir-relattività Galilejana tgħìd, fil-lingwaġġ modern, li kull ma jiġri f'sistema ta' riferiment inerzjali waħda jiġri b'mod perfettament identiku f'kull sistema ta' riferiment inerzjali oħra. Dan il-prinċipju, li sar jissejjaħ "il-prinċipju tar-relattività", Einstein wessgħu biex jinkludi sistemi ta' riferiment li mhumiex inerzjali: minn "ristretta" ir-relattività saret "ġenerali".

It-teorija tar-relattività ristretta stabilixxit formoli ġodda li jħalluna ngħaddu minn sistema ta' riferiment Galilejana għal oħra. L-ekwazzjonijiet korrispondenti jwasslu għal fenomeni li jidhru qishom kontra s-sens komun bħall-"paradoss taż-żewġ tewmin".

Ir-relattività ristretta għamlet ukoll impatt kbir fuq il-filosofija billi neħħiet kull possibbiltà li jeżistu ħin u spazju assolut fl-univers. Wara l-argumenti ta' Henri Poincaré, il-filosfi bilfors kellhom jibdew jaħsbu b'mod differenti fuq il-kwistjoni tal-ħin u l-ispazju.

Oriġni tat-teorija

Storja fil-qosor

Fl-aħħar tas-seklu 19, James Clerk Maxwell stabbilixxa l-ekwazzjonijiet li jiggvernaw l-imġiba tal-mewġ elettromanjetiku, fosthom il-mewġ tad-dawl. Skont din it-teorija, il-veloċità tad-dawl ma tistax tiddependi mill-proprjetajiet elettriċi u manjetiċi tal-ambjent u lanqas mill-veloċità tal-punt ta' riferiment tal-kejl. Dan qajjem problema billi fil-mekkanika Newtonjana il-veloċitajiet jingħaddu (biex ngħidu l-affarijiet fil-qosor). Jekk minn ajruplan li miexi b'veloċità ta' 7 km/s relattiva mal-Art, jisparaw bomba 'l quddiem b'veloċità ta' 1 km/s relattiva mal-ajruplan, il-veloċità tal-bomba relattiva mal-Art tkun ta' 8 km/s. Jekk il-bomba jisparawha lura, il-veloċità tagħha tkun ta' 6 km/s.

L-ekwazzjonijiet ta' Maxwell, għall-kuntrarju, jgħidu li jekk nimmiraw raġġ dawl mill-ajruplan 'l quddiem jew lura, il-veloċità tad-dawl imkejla fuq id-dinja tkun l-istess. Michelson u Morley għamlu esperiment fejn id-dinja għamlitha ta' ajruplan. Billi l-pjaneta tagħna ddur madwar ix-xemx b'veloċità ta' 30 km/s, riedu jaraw jekk hemmx xhieda ta' xi differenza bejn il-veloċitajiet tad-dawl meta jkun fid-direzzjoni tal-moviment tad-dinja jew kontra. Ma sabu l-ebda differenza u allura dan l-esperiment ikkonferma l-validità tal-ekwazzjonijiet ta' Maxwell.

Lorentz stabbilixxa formoli ta' trasformazzjoni biex ngħaddu minn osservatur għall-ieħor; dawn jirrigwardaw l-ekwazzjoniet ta' kompatibbiltà li t-tifsira tagħhom ma kinitx ċara. L-ispjegazzjoni li ħarġet biex dawn il-formoli strambi jiġu ġustifikati kienet din: l-eter, l-ambjent li qabel kien maħsub meħtieġ għall-propagazzjoni tal-mewġ tad-dawl bħalma l-arja hi meħtieġa għall-propagazzjoni tal-mewġ tal-ħoss, għandhom proprjetajiet elastiċi li jwasslu għal dawn l-ekwazzjonijiet. Poincaré ippubblika xi artikli fuq it-teorija qabel Einstein.

Fl-1905, fl-artiklu tiegħu Fuq l-elettrodinamika tal-korpi fil-moviment, Albert Einstein ippreżenta r-relattività kif ġej:

• L-eter hi kunċett arbitrarju li mhux utli għall-espressjoni tat-teorija tar-relattività.
• Il-veloċità tad-dawl relattiva mal-osservaturi ma tiddependix mill-veloċità tagħhom.
• Il-liġijiet tal-fiżika jirrispettaw il-prinċipju tar-relattività.

L-ekwazzjonijiet ta' Lorentz għandhom xi konsegwenzi li ma nistennewhomx bħall-"kontrazzjoni tat-tul" u d-"dilatazzjoni tal-ħin". Il-"kontrazzjoni tat-tul" hu l-fenomenu fejn osservatur jinnota tnaqqis fit-tul ta' oġġetti li jimxu b'veloċità relattiva mal-osservatur li mhijiex żero. Din il-kontrazzjoni (imsejħa iżjed formalment "il-kontrazzjoni ta' Lorenz" jew "il-kontrazzjoni ta' Lorenz–Fitzgerald") ninnutawha biss meta l-veloċita tkun komparabbli ma' dik tad-dawl; u l-kontrazzjoni hi biss fid-direzzjoni li l-korp osservat ikun miexi fiha. Id-"dilatazzjoni tal-ħin" hu l-fenomenu fejn osservatur isib li l-arloġġ ta' ieħor, eżatt l-istess bħal tiegħu, li jkun miexi relattivament miegħu, itektek iżjed bilmod, jekk iqqablu mal-arloġġ tiegħu.

Einstein kiteb mill-ġdid il-formoli li jiddefinixxu l-momentu u l-enerġija ċinetika b'mod li jagħmilhom invarjanti taħt trasformazzjoni ta' Lorentz.

Il-partijiet li jieħdu l-ħin u t-tliet koordinati tal-ispazju fl-ekwazzjoniet ta' Lorentz ma nistgħux nifirduhom. Minkowski interpretahom bħala spazju-ħin b'erba' dimensjonijiet. Nosservaw madankollu li l-ħin u l-ispazju xorta jibqgħu ta' natura differenti u ma nistgħux nassimilaw wieħed fl-ieħor. Pereżempju nistgħu nagħmlu dawra fl-ispazju imma dan impossibbli fil-ħin. Minn dan il-punto di vista, hemm xi kożmoloġi li jidhirlhom li mhux sewwa li nqisu l-ħin bħala koordinata immaġinarja u jissuġġerixxu li għandna nabbandunaw din id-drawwa. Naturalment jibqa' l-fatt li ma nistgħux nifirdu l-ħin mill-ispazju u l-relattività tiżviluppa fi spazju-ħin b'erba' dimensjonijiet, waħda għall-ħin u tlieta għall-ispazju.

Kien hemm ħafna kontroversji, l-iżjed wara 2000, fuq liema xjenzati ikkontribwew parti jew oħra fl-iżvilupp tat-teorija tar-relattività.

L-attitudni tal-kumitat Nobel

Fl-1912, Lorentz u Einstein ġew proposti għal premju Nobel flimkien għax-xogħol tagħhom fuq it-teorija. Ir-rakkomandazzjoni kienet minn Wien, lawrjat tal-1911, li stqar li "sewwa kif Lorentz għandu jiġi meqjus bħala l-ewwel li sab il-kontenut matematiku tal-prinċipju tar-relattività, Einstein irnexxielu jirreduċih f'prinċipju sempliċi. Għandna nqisu l-mertu taż-żewġ riċerkaturi bħala komparabbli". Einstein qatt ma rċieva il-premju Nobel għar-relattività, il-premju Nobel bi prinċipju qatt ma jingħata għal teorija pura. Il-kumitat ried jistenna konferma esperimentali u meta din waslet, Einstein kien intefa' fuq xogħlijiet oħra importanti.

Einstein fl-aħħar kien ippremjat bil-premju Nobel għall-fiżika fl-1921, għall-kontribuzzjonijiet tiegħu lill-Fiżika Teorika, u speċjalment għall-iskoperta tal-ispjegazzjoni tal-effett fotoelettriku.

It-teorija

Il-postulati ta' Einstein (1905)

Il-teorija ta' Einstein tirrigwarda s-sistemi ta' riferiment inerzjali. Niftakru li sistema ta' riferiment tissejjaħ inerzjali jekk ma tkunx suġġetta għal ebda aċċelerazzjoni: razz fl-ispazju 'l bogħod minn kull massa hu sistema inerzjali jekk il-muturi kollha jkunu mitfijin. Il-postulati tar-relattività ristretta huma dawn:

1. Il-liġijiet tal-fiżika għandhom l-istess forma fis-sistemi ta' riferiment inerzjali kollha;
2. Il-veloċità tad-dawl fil-vojt għandha l-istess valur fis-sistemi ta' riferiment inerzjali kollha.

L-ewwel postulat hu propjament il-prinċipju tar-relattivita ristrett għall-klassi ta' sistemi ta' riferiment inerzjali u jifformalizza l-iskoperta ta' Galileo li skontha l-moviment uniformi f'linja dritta hu "qisu xejn" għal osservatur f'sistema ta' riferiment miexja.

It-tieni postulat iħallina nissinkronizzaw l-arloġġi b'sinjal tad-dawl minn sistema ta' riferiment. Biex nagħmlu dan biżżejjed li l-"għassies tal-ħin" jibgħat sinjal bid-dawl f'ċertu ħin, pereżempju f'nofsinhar. Imbagħad meta osservatur li qiegħed distanza r 'il bogħod jirċievi s-sinjali, jieħu kont tal-ħin r /c (fejn c hi l-veloċità tad-dawl) li s-sinjal ħa biex jasallu u jqiegħed l-arloġġ fuq " nofsinhar +r /c ".

Mit-tieni postulat nistgħu niddeduċu l-ekwazzjoniet tat-trasformazzjonijiet ta' Lorentz jekk inżidu miegħu ipoteżi oħra: l-ispazju-ħin hu omoġenju u iżotropu. Dan il-fatt skoprewh Kunz u Comstock indipendentament fl-1910. L-ipoteżi miżjuda twassal għall-grupp ta' trasformazzjonijiet b'parametru c, fiżikament bl-istess dimensjonijiet bħall-veloċità. Dawn it-trasformazzjonijiet nistgħu niddentifikawhom mat-trasformazzjonijiet ta' Galilew jekk $c^{2}$ hi infinita u mat-trasformazzjonijiet ta' Lorentz jekk $c^{2}$ hi finita u pożittiva. L-identifikazzjoni ta' c mal-veloċità tad-dawl, li mill-osservazzjoni hi finita tiġi mit-tieni postulat.

It-trasformazzjonijiet ta' Lorentz

Figura 1: Sistemi bl-assi paralleli biex nissemplifikaw ix-xogħol

Nikkonsidraw żewġ sistemi ta' riferiment $\mathbb {R'}$ u $\mathbb {R}$, l-ewwel sistema ta' riferiment $\mathbb {R'}$ nagħtuha veloċità ${\vec {v}}$ relattiva mas-sistema ta' riferiment $\mathbb {R}$. Biex nissemplifikaw il-kalkuli għall-ewwel naħdmu biss bi trasformazzjonijiet imsejħa "speċjali", ikkaratterizzati bil-fatt li s-sistemi tal-assi x, y, z u x', y', z' huma paralleli u li l-assi Ox' u Ox huma l-istess u paralleli mal-veloċità ${\vec {v}}$. Din ir-restrizzjoni ma tnaqqasx mir-riżultati. Iżjed l-isfel nagħtu l-formoli meta veloċità tkun f'direzzjoni liema tkun.

L-ipoteżi ta' Einstein iwasslu għat-trasformazzjonijiet imsejħa " ta' Lorentz ". Il-formoli ta' Lorentz iħalluna nesprimu l-koordinati (x, y, z, t) ta' ġrajja mogħtija f'sistema "fissa" (ngħidu aħna d-dinja) bħala funzjoni tal-koordinati (x' , y' , z' , t'  ) tal-istess ġrajja f'sistema "miexja" (ngħidu aħna razz). Il-formoli huma dawn :

${\begin{cases}ct=\gamma (ct'+\beta x')\\x=\gamma (x'+\beta ct')\\y=y'\\z=z'\end{cases}}$

fejn $\beta$ u $\gamma$ huma fatturi mingħajr dimensjoni definiti hekk

$\beta =v/c\qquad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\,.$

Dawn l-espressjonijiet jissemplifikaw u jieħdu forma ta' rotazzjoni jekk indaħħlu l-funzjonijiet iperboliċi tal-angolu θ definit b'dal mod

$\tanh \theta =v/c\equiv \beta \qquad {\text{jew}}\qquad \theta ={\tanh }^{-1}(v/c)\equiv {\tanh }^{-1}\,\beta$

B'din in-notazzjoni niksbu

$\gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}=(1-\tanh ^{2}\,\theta )^{-1/2}=\cosh \,\theta$

u

${\begin{cases}ct=ct'\cosh \,\theta +x'\sinh \,\theta \\x=ct'\sinh \,\theta +x'\cosh \,\theta \end{cases}}$

Biex niksbu l-formoli li jikkorrispondu mat-trasformazzjoni bil-maqlub biżżejjed nibdlu β f' -β, u allura θ f' -θ, u jkollna :

${\begin{cases}ct'=ct\cosh \,\theta -x\sinh \,\theta \\x'=-ct\sinh \,\theta +x\cosh \,\theta \end{cases}}$

Regola utli : biex insibu s-sinjal li għandna nqiegħdu quddiem sinh θ biżżejjed inqisu punt wieqaf f'wieħed mis-sistemi (ngħidu aħna tar-razz, b' x'  = 0 pereżempju) u naraw x'għandu jkun is-sinjal tal-koordinata spazjali fis-sistema l-oħra (ngħidu aħna s-sistema fissa li fiha x tikber jekk ir-razz ikollu veloċità pożittiva).

Trasformazzjonijiet ta' Lorentz għal direzzjoni arbitrarja tal-veloċità

It-trasformazzjonijiet speċjali jissemplifikaw l-istudju analitiku imma ma jgħinuniex fil-każ ġenerali. Nistgħu faċilment ngħaddu għall-każ meta s-sistemi ta' riferiment mixjin mhumiex paralleli wieħed mal-ieħor, u jkollhom orjentazzjoni tkun kif tkun relattivament mal-veloċità relattiva tagħhom ${\vec {v}}$. Dejjem nistgħu naqsmu l-vettur ${\vec {r}}$ f'żewġ direzzjonijiet: waħda parallela mal-ispostament ${\vec {r}}_{//}$ u oħra othogonali magħha ${\vec {r}}_{\bot }$. Imbagħad ikollna : ${\vec {r}}={\vec {r}}_{//}+{\vec {r}}_{\bot }$

Meta npoġġu

${\vec {\beta }}={\vec {v}}/c$-

it-trasformazzjonijiet ta' Lorentz jagħtuna :

$\left\{{\begin{matrix}ct'=\gamma (ct-{\vec {\beta }}{\cdot }{\vec {r}})\\{\vec {r'}}_{//}=\gamma (-{\vec {\beta }}ct+{\vec {r}}_{//})\\{\vec {r'}}_{\bot }={\vec {r}}_{\bot }\\\end{matrix}}\right.\,,$

li jwasslu għal

${\vec {r'}}={\vec {r'}}_{\bot }+{\vec {r'}}_{//}=\gamma (-{\vec {\beta }}ct+{\vec {r}}_{//})+{\vec {r}}_{\bot }=\gamma (-{\vec {\beta }}ct+{\vec {r}})-(\gamma -1){\vec {r}}_{\bot }\,.$

Billi

${\vec {\beta }}\times {\vec {r}}={\vec {\beta }}\times ({\vec {r}}_{\bot }+{\vec {r}}_{//})={\vec {\beta }}\times {\vec {r}}_{\bot }$

meta nimmoltiplikaw vettorjalment b' ${\vec {\beta }}$ jkollna

${\vec {\beta }}\times ({\vec {\beta }}\times {\vec {r}})=-\beta ^{2}{\vec {r}}_{\bot }$

u hekk niksbu l-espressjoni tat-trasformazzjonijiet ġenerali ta' Lorentz fil-forma :

$\left\{{\begin{matrix}ct'=\gamma (ct-{\vec {\beta }}{\cdot }{\vec {r}})\\{\vec {r'}}=\gamma (-{\vec {\beta }}ct+{\vec {r}})+[(\gamma -1)/\beta ^{2}]\,{\vec {\beta }}\times ({\vec {\beta }}\times {\vec {r}})\\\end{matrix}}\right.$

 

Dilatazzjoni tal-ħin u l-kontrazzjoni tat-tul

It-trasformazzjonijiet ta' Lorentz iwasslu għal viżjoni rivoluzzjonarja tal-fiżika u joħorġu fenomeni kontra s-sens komun.

Fl-eżempji li ġejjin ħa jkollna nqisu żewġ ġrajjiet wara xulxin. Għalhekk fil-formoli ta' qabel minflok x u t, ħa niktbu Δx u Δt li jirrappreżentaw il-bidla spazjali u temporali bejn l-ewwel grajja u t-tieni.

Dilatazzjoni tal-ħin

L-intervall ta' ħin li jissepara iż-żewġ ġrajjiet f'sistema ta' riferiment jidher differenti f'sistema ta' riferiment oħra.

Derivazzjoni mill-ekwazzjoni ta' Lorentz

Ejjew nikkunsidraw sistema ta' riferiment fid-dinja magħmula minn sett ta' osservaturi wieqfa relattivament ma xulxin u magħmra b'arloġġi sinkronizzati. Dawn l-osservaturi dinjin qegħdin f'linja bi dritt il-mogħdija ta' razz li qiegħed jimxi b'veloċità v relattivament mal-Art. Nissoponu li r-razz jitfa' xrara dawl kull $\Delta t'$ sekondi, u t-tfigh tad-dawl hu kkontrollat minn arloġġ intern fir-razz. Fir-razz il-perjodu ta' ħin bejn żewg xrariet hu ta' $\Delta t'$ sekondi. Billi dawn ix-xrariet jintefgħu mill-istess punt fuq ir-razz, l-intervall spazjali $\Delta x'$ li jisseparahom hu żero. Imma il-perjodu ta' dawn id-dwal, kif jarawh l-osservaturi dinjin li qegħdin fil-linja tal-mogħdija tar-razz ?

Billi $\Delta x'=0$, l-ekwazzjoni ta' Lorentz

$c\Delta t=c\Delta t'\cosh \,\theta +\Delta x'\sinh \,\theta$

turi li l-intervall Δt bejn żewġ xrariet ta' wara xulxin kif jidher lill-osservaturi marbutin mas-sistema fid-dinja (u allura l-arloġgi tagħhom, niftakru, juru l-istess ħin) hu mogħti b'

$\Delta t=\Delta t'\cosh \,\theta =\gamma \Delta t'={\frac {\Delta t'}{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}}\,.$

L-espressjoni msejħa Δt hi dejjem ikbar minn Δt '. Allura, jekk fis-sistema ta' riferiment tar-razz, l-intervall ta' ħin bejn żewġ xrariet hu ta' sekonda, fis-sistema ta' riferiment fid-dinja l-intervall hu ta' γ sekondi (γ > 1).

Mela, nistgħu ngħidu li meta l-osservaturi dinjin jaraw mit-tieqa l-arloġġ fir-razz għaddej, jaħsbu li l-arloġġ għandu lura (l-arloġġi dinjin iduru γ sekondi, jiġifieri iżjed minn sekonda qabel jaraw l-arloġġ tar-razz idur sekonda). Biex ngħidu l-affarijiet fil-qosor, arloġġ fuq vettura miexja jidher li jmur lura. Dan l-effet jissejjaħ id- dilatazzjoni relattivista tal-ħin. Ġej minnu l-paradoss tat-tewmin: tewmi li jiġi lura minn vjaġġ immaġinarju b'veloċità qrib dik tad-dawl (li fil-fatti mhux possibbli li jitwettaq) jsib ruħu iżjed żagħżugħ minn ħuh li baqa' fuq l-Art, billi l-arloġġ tiegħu jkun dar inqas minn dak ta' ħuh.

Derivazzjoni sempliċi

Fl-esperiment li ġej, li juri b'mod ħafif id-dilatazzjoni tal-ħin imbassra mir-relattività ristretta, nikkunsidraw arloġġ tal-fotoni li fih xrara dawl tivvjaġġa min mera għal oħra bil-veloċità c tad-dawl.

Figura 2

Il-ħin ta' vjaġġ f'sistema hu daqs id-distanza diviża bil-veloċita tad-dawl, li ma tiddependix mis-sistema. Jekk l-arloġġ ikun fiss telattivament mal-osservatur, id-distanza hi d-distanza fil-waqfien bejn iż-żewġ mirja u jdum il-ħin 2t '. Jekk l-arloġġ ikun miexi relattivament mal-osservatur, dan jara l-foton jimxi ma' linja mgħawġa iżjed twila mill-linja dritta ta' qabel. Il-ħin 2t tal-vjaġġ hu ikbar minn 2t ' : l-arloġġ miexi jmur lura (ikun hemm dilatazzjoni tal-ħin).

It-tul tal-ipotenuża tat-trianglu rettangulari ABH tal-figura hu ct, tal-għoli hu ct ' u tal-bażi hu vt billi v hi veloċità tal-arloġġ fis-sistema "fissa". Mit-Teorema ta' Pitagora:

$c^{2}t^{2}\,=\,c^{2}t'^{2}+v^{2}t^{2}\,,$

li minnha mill-ewwel joħroġ

$t={t' \over {\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}}\equiv \gamma t'\ .$

Hekk nerġgħu niksbu b'mod sempliċi l-formola ta' qabel li tagħtina id-dilatazzjoni tal-ħin.

Fil-ħajja ta' kuljum

Billi l-veloċita tad-dawl hi 300,000 km/s, ajruplan għaddej bi 0.3 km/s (jiġifieri 1000 km/h) għandu veloċità daqs il-miljun parti ta' dik tad-dawl u għalhekk l-iżball li nagħmlu meta nużaw l-approssimazzjoni Galilejana hi inqas mill-miljun parti tal-miljun parti, (jiġifieri 10^-12), insinjifikanti għal kollox fil-ħajja ta' kuljum. Madankollu għal kejl iżjed preċiż tal-ħin użat fl-esperimenti spazjali u għall-GPS, hu importanti ħafna li nieħdu kont tal-korrezzjonijiet relattivistiċi (xi minn daqqiet tar-relattività ristretta u xi minn daqqiet tar-relattività ġenerali).

Għal korp miexi b'veloċità daqs l-għaxar parti ta' dik tad-dawl, l-effet relattivìstiku hu tal-ordi ta' wieħed fil-mija. Għalhekk l-effetti relattivistiċi ma jsirux sinjifikattivi ħlief għal veloċitajiet qrib dik tad-dawl, li ma jistgħux jintlaħqu fil-ħajja ta' kuljum. Din waħda mir-raġunijiet li hu diffiċli li nifhmu kif taħdem ir-relattività ristretta.

Però hemm bosta verifikazzjonijiet sperimentali: It-tul tal-ħajja tal-muoni atmosferiċi, it-tul tal-ħajja tal-partiċelli fl-aċċeleraturi, id-dawrien tal-arloġġi fuq is-satelliti (il-fenomenu f'dal-każ iservi għall-iżolazzjoni tal-gravità), etċ.

Kontrazzjoni tat-tul

Ejjew nissoponu li fis-sistema ta' riferiment $\mathbb {R'}$ tar-razz hemm riga, ta' tul $L'$, matul l-assi $O'x'$. Dan it-tul imkejjel fis-sistema ta' riferiment li fiha r-riga hi wieqfa hu t-tul proprju tar-riga.

Fis-sistema ta' riferiment $\mathbb {R}$ tad-dinja, li r-riga miexja relattivament magħha, nistgħu inkejlu r-riga billi nqisu dawn iż-żewġ ġrajjiet li ġejjin: L-ewwel waħda hi meta l-ewwel tarf tar-riga jgħaddi minn quddiem osservatur dinji meta l-arloġġ tiegħu juri, ngħidu aħna, nofsinhar. It-tieni waħda hi meta fl-istess ħin (f'nofsinhar) it-tieni tarf tar-riga jgħaddi minn quddiem osservatur dinji ieħor. Id-distanza L bejn iż-żewġ osservaturi inqisuha bħala t-tul tar-riga fis-sistema "fissa" billi din tirrappreżenta d-distanza bejn il-punti ta' $\mathbb {R}$ li jikkoinċidu mat-truf tar-riga fl-istess waqt ta' $\mathbb {R}$. Billi Δt = 0 u Δx = L, l-ekwazzjoni ta' Lorentz

$\Delta x'=\Delta x\cosh \,\theta -c\Delta t\sinh \,\theta$

nistgħu niktbuha

$L'=L\cosh \,\theta =\gamma L\,.$

Mela, it-tul L imkejjel fuq l-Art hu

$L=L'/\gamma =L'{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}\,,$

u hekk L hu iqsar minn L'.

Irridu noqgħodu attenti li ma napplikawx dan il-fenomenu tal-kontrazzjoni tat-tul mingħajr ħsieb. Hemm bżonn li niddefinixxu sewwa l-ġrajjiet u niflu kif il-koordinati tagħhom jinbidlu minn sistema ta' riferiment għal oħra. Inkella nistgħu naqgħu f'xi wieħed mill-paradossi. Wieħed mill-iżjed magħrufin li għandhom x'jaqsmu mal-kontrazzjoni relattivista tat-tul hu dak tal-karozza dieħla fil-garaxx li ssir iqsar meta x-xufier isuqha ħafna.

L-intervall ta' spazju-ħin bejn żewġ ġrajjiet

It-teorija relattivistika tista' tagħti l-impressjoni (anki b'isimha biss) li tagħmel kollox totalment dipendenti mill-mod tal-kejl. L-ewwel paragrafi ta' dan l-artiklu fuq ir-relattività tat-tul u l-ħin forsi jistgħu isaħħu din l-opinjoni. Però dan il-punto di vista hu żbaljat għaliex għall-kuntrarju, ir-relattività ristretta tisħaq iżjed profondament fuq dak li hu invarjanti taħt bidla tal-koordinati. Minn dan il-lat l-invarjanza tal-intervall ta' spazju-ħin bejn żewġ ġrajjiet hu fundamentali fit-teorija t.

F'sistema ta' riferiment, ġrajja hi karatterizzata bil-koordinati spazjo-temporali : "pożizzjoni, ħin". Żewġ grajjiet li qegħdin rispettivament f' x₁,y₁,z₁,t₁ u f' x₂ y₂, z₂, t₂ huma mbegħdin b'intervall ta' spazju-ħin li l-kwadrat tiegħu hu

$(\Delta \sigma _{12})^{2}=-c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}\,.$

Niktbu b' mod iżjed sempliċi

$\Delta \sigma ^{2}\,=\,-c^{2}\Delta t^{2}+\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}\equiv -c^{2}\Delta t^{2}+\Delta s^{2}$

Dan l-intervall hu invarjanti relattivistiku: il-valur tiegħu ma jiddependix mis-sistema ta' riferiment Galilejan li fiha jitqis. Nistgħu nivverifikah bil-formoli ta' Lorentz li:

$\Delta \sigma ^{2}\,=-c^{2}\Delta t^{2}+\Delta x^{2}=-c^{2}\Delta {t'}^{2}+\Delta {x'}^{2}\,=\Delta {\sigma '}^{2}.$

Klassifikazzjoni relattiva ta' żewġ ġrajjiet

Minħabba l-preżenza tas-sinjal " - " il-kwadrat tal-intervall spazju-ħin jista' jkun pożittiv jew negattiv. Dan differenti għal kollox mill-kwadrat tad-distanza Ewklideja li hu dejjem pożittiv. Ninnutaw però li l-kwantitajiet Δt² u Δs² jibqgħu evidentament kwadrati "tajbin", jiġifieri pożittivi.

Is-sinjal tal-invarjanti spazju-ħin Δσ² iħallina nikklassifikaw żewġ ġrajjiet, waħda relattivament mal-oħra, u din il-klassifikazzjoni għandha karattru "assolut".

(i) Żewġ ġrajjiet jistgħu jkunu separati minn xulxin. Dan hu l-każ meta l-intervall spazju-ħin, Δσ², definit hawn fuq, hu strettament pożittiv. Id-distanza Δs hi għalhekk "kbira wisq" relattivament mal-ħin Δt u l-ebda sinjal tad-dawl ma jista' jikkonettja l-ġrajjiet 1 u 2; dan veru fis-sistemi kollha ta' riferiment. Żewġ ġrajjiet bħal dawn ma jistgħux ikollhom rabta ta' kawża effett. Dan jiġri meta ż-żewġ ġrajjiet ikunu simultanji f'xi sistema (allura Δt = 0 u Δσ² hi bilfors strettament pożittiva).

(ii) Bil-kuntrarju jekk żewġ ġrajjiet għandhom rabta ta' kawża effett dan ifisser li f'xi sistema ta' riferiment xi sinjal jikkonnettjahom. Mela, sinjal tad-dawl li jimxi iżjed minn kull sinjal ieħor, jista' jikkonnettjahom ukoll. Fi kliem ieħor, |Δs| hu iżgħar minn |cΔt|, li jġiegħel il-kwadrat ta' Δσ² tal-intervall ikun negattiv (jew żero jekk il-konnessjoni bejn iż-żewġ ġrajjiet saret permezz ta' foton tad-dawl).

(iii) L-aħħar każ hu meta f'sistema ta' riferiment żewġ ġrajjiet għandhom l-istess koordinati, jiġifieri huma koinċidenti (l-intervall spazju-ħin hu għalhekk żero). Mill-ekwazzjonijiet ta' Lorentz, naraw li din il-koinċidenza tibqa' meta nbiddlu s-sistema ta' riferiment. Din tagħmel assolut il-kunċett ta' ħabta bejn żewġ partiċelli.

Fl-ambitu tar-relattività ristretta, ma nistgħux nerġgħu lura fil-ħin, iġifieri l-ordni temporali ta' żewġ ġrajjiet ma tistgħax tinbidel; ħa nfissru għaliex: Biex inkunu realistiċi, fil-fiżika il-bidla fis-sistema ta' riferiment mis-sistema tal-bidu, bilfors ikollna nagħmluha b'mod kontinwu . Billi hija invarjanti, il-kwantità Δσ²=c²Δt² - Δs² tibqa' bl-istess sinjal, li hawnhekk hu pożittiv. B'konsegwenza, it-terminu pożittiv c²Δt² jibqa' strettament ikbar mit-terminu Δs² li hu pożittiv jew żero. It-terminu Δt² ma jistgħax jgħaddi minn żero f'bidla kontinwa ta' sistema ta' riferiment u minn dan il-fatt nistgħu ngħidu li l-kwantità Δt stess (li s-sinjal tagħħa jiddeċiedi l-ordni temporali taż-żewġ ġrajjiet) iżżomm l-istess sinjal. Jekk il-ġrajja 1 tippreċedi l-ġrajja 2, għal ċertu osservatur, din l-ordni ma tistgħax tinqaleb għal osservatur ieħor, jiġifieri il-kawża ma tistgħax tinqaleb. Fi kliem ieħor, il-prinċipju tal-kawżalità hu rispettat fis-sistemi ta' riferiment Galilejani.

Ninnutaw li l-ħin u l-ispazju għandhom rwoli simmetriċi u għalhekk hu loġiku li nkejluhom bl-istess mod. Billi l-veloċità tad-dawl hi fissa nagħmlu l-ekwivalenza bejn it-tul u l-ħin iżjed ċara jekk nirredefinixxu l-metru bħala d-distanza li jivvjaġġa d-dawl f'sekonda jew b'mod ekwivalenti nistgħu nirridefinixxu s-sekonda bħala l-ħin li jieħu d-dawl biex jimxi tul ta' metru.

Id-definizzjoni tal-kwadrat Δσ² tal-intervall spazjo-temporali adottata hawn fuq tikkorripondi mas-" senjatura " (– + + +) ta' dik li tissejjaħ il-metrika tal-spazju-ħin, bin-notazzjoni li hi ċara. Skont din l-għażla,

l-intervall li għalih $\Delta \sigma ^{2}>0$ jissejjaħ "intervall tat-tip spazju" (jekk nesprimuh bl-istess unità, id-distanza hi itwal mill-ħin).

l-intervall li għalih $\Delta \sigma ^{2}<0$ jissejjaħ "intervall tat-tip ħin" (il-ħin itwal mid-distanza).

Fil-prattika, id-definizzjoni tal-intervall spazjo-temporali mhijiex fissa u jista' jkollha senjatura (– + + +) jew (+ – – –). Wieħed irid jara mill-kuntest liema senjatura qiegħda tintuża.

Il-ħin proprju

Hemm definizzjoni ta' importanza kbira marbuta mal-invarjanza ta' dan l-intervall ta' spazju-ħin, u din hi dik ta' ħin proprju. Nissoponu, pereżempju li qegħdin ġewwa razz li qiegħed jimxi relattivament mal-Art b'veloċità v, jiġifieri l-axissa tar-razz hi

$x\,=\,vt$

fis-sistema dinjija. Jekk inqisu arloġġ ġewwa r-razz, il-pożizzjoni tiegħu ma tinbidilx relattivament ma dan ir-razz u l-kwadrat tal-intervall ta' spazju-ħin jirriduċi għall-komponent temporali li nuru b' $-\Delta \tau ^{2}\,$. Billi l-intervall ta' spazju-ħin hu indipenti mis-sistema li fiha jitkejjel, għandna

$c^{2}\Delta \tau ^{2}\,=\,c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}=c^{2}\Delta t'^{2}-\Delta x'^{2}=...$

fejn (t ', x ' ) huma l-koordonati f'sistema oħra.

Il-ħin $\tau \,$ definit bir-relazzjoni

$c^{2}\Delta \tau ^{2}\,=\,c^{2}\Delta t^{2}-\Delta s^{2}$

jissejjaħ il-ħin proprju tal-oġġett miexi jew tal-partiċella li nkunu qegħdin nikkunsidraw.

Dijagramma tal-ispazju-ħin

Figura 3:Trajettorji ta' partiċelli fl-ispazju biss

Figura 4:Trajettorji tal-istess partiċelli fl-ispazju-ħin

Fil-mekkanika Newtonjana, l-spazju hu separat mill-ħin u nistudjaw il-moviment ta' partiċella bħala funzjoni tal-ħin assolut. Grafikament nirrappreżentaw it-trajettorja fl-ispazju (imma mhux fil-ħin !). Pereżempju, impinġu l-ellissi li tiddeskrivi pjaneta madwar ix-Xemx skont il-liġijiet ta' Kepler. Il-figura fil-ġenb (fig. 3) turi l-mogħdija spazjali li jimxu magħha ċertu numru ta' partiċelli A, B, C, D, E, etc. li għandhom veloċità kostanti matul il-ħin, ngħidu aħna, sekonda u d-distanza li jivvjaġġaw hi proporzjonali mal-veloċità tal-partiċella. Fil-każ ġenerali nistgħu inpinġu t-trajettorja ta' punt M(x, y, z) f'sistema Karteżjana fi tliet dimensjonijiet.

Fir-relattività ristretta nsegwu l-ġrajjiet fi spazju ta' 4 dimensjonijiet, tlieta tal-ispazju u waħda tal-ħin, u għalhekk mhux possibbli fl-iżjed każ ġenerali li nivviżżwalizzaw il-linja li tirrappreżenta is-sinsiela ta' ġrajjiet u li turi l-mogħdija tal-partiċella fl-istess waqt fl-ħin u fl-spazju. Din il-linja tissejjaħ il-linja tal-univers tal-partiċella. Biex intaffu d-diffikultà tar-rappreżentazzjoni f'4 dimensjonijiet nillimitaw ruħna għal 2 dimensjonijiet, waħda tal-ispazju u waħda tal-ħin. Fi kliem ieħor nikkunsidraw biss il-moviment matul l-assi ta' x u l-koordinati y u z ma jinbidlux. Allura jibqa' biss il-varjabbli x u t, u nkunu nistgħu inpinġu f'sistema Karteżjana f'żewġ dimensjonijiet it-trajettorja ta' partiċella fl-spazju-ħin : il-linja tal-univers tagħha.

Iż-żewġ figuri kontra juru l-mogħdija mill-punto di vista Newtonjan u l-punto di vista relattivistiku. Ta' fuq (fig. 3) tagħti l-ispazju vvjaġġat f'sekonda minn diversi partiċelli b'veloċità kostanti. Waqt li A tibqa' fejn hi, B timxi ċertu tul, C tiġri iżjed u tmur iżjed 'il bogħod waqt li E tmur fid-direzzjoni l-oħra. Il-figura ta' isfel (fig. 4), tagħti f' dijagramma spazjo-temporali is-sensiela tal-ġrajjiet li jiffurmaw il-moviment tal-partiċella. Billi l-veloċità tal-partiċelli hi kostanti, l-axissa tagħhom hi ċarament x = vt u għalhekk il-linja tal-univers tagħhom hi dritta. Il-pendil ta' din hi proporzjonali għall-veloċità v. Il-ħaġa rimarkabbli hi li l-linja tal-univers tal-partiċella wieqfa m'għadhiex punt biss imma l-linja dritta OA. In fatti, jekk il-partiċella ma timxix (x = kostanti), il-ħin jibqa' għaddej matul il-perijodu li qegħdin inqisu !

Figura 5:Dijagramma ta' spazju-ħin

Waqt li f'din id-dijagramma, il-moviment b'veloċità kostanti hu rappreżentat b'linja dritta, fil-każ ġenerali il-moviment ta' partiċella hu rappreżentat b'kurva . Pereżempju, il-figura 5 turi l-linja tal-univers ta' oġġett miexi li jitlaq mill-axissa x = 0 u terġa' lura hemm f'ħin T iżjed tard, bil-ħin meħud ngħidu aħna fuq l-Art. Ħa nużaw l-eżempju ta' razz li jagħmel vjaġġ intersiderali u jerġa' lura.

Il-linja dritta bejn "tluq" u "wasla" matul l-assi temporali tirrappreżenta l-linja tal-univers tal-Art, fejn il-koordinata spazjali, ugwali għal 0, ma tvarjax. Il-linja mgħawġa tirrappreżenta s-sensiela ta' ġrajjiet li hu magħmul minnhom il-vjaġġ tar-razz. Il-koordinata kurvilinja li biha nistgħu nimmarkaw punt fuq din il-kurva hi l-ħin proprju tar-razz, dak li juri l-arloġġ fuq ir-razz.

Il-formoli relattivistiċi juru li l-ħin proprju matul il-mogħdija kurvilinja hu iqsar mill-ħin proprju matul il-mogħdija dritta (hawnhekk dan jirrappreżenta l-ħin dinji). Dan il-fenomenu hu s-sisien tal-paradoss tat-tewmin li semmejna qabel.

Waqt li fil-ġeometrija Ewklideja (x, y) l-iqsar mogħdija bejn żewġ punti A u B hi l-linja dritta, fil-ġeometrija Lorentzjana (x, t) l-intervall temporali bejn żewġ ġrajjiet A u B għall-partiċella miexja hu massimu matul il-mogħdija dritta AB. L-itwal vjaġġ hu dak li jikkorispondi mal-mogħdija dritta AB fid-dijagramma spazju-ħin. Fil-każ tagħna din it-trajettorja hi dik li jsegwi oġġett ħieles mill-forzi kollha u miexi b'veloċità kostanti. Din il-proprjetà hi hekk importanti li minnha nistgħu insibu l-ekwazzjoniet tar-relattività ġenerali billi nestendu l-prinċipju tal-massimazzjoni tal-ħin ta' mogħdijiet ta' partiċella ħielsa f'kamp ta' gravità (fl-inħawi ta' toqba sewda jew tax-Xemx pereżempju).

Liġi tal-kompożizzjoni tal-veloċitajiet

Minn razz miexi b'veloċità $v$ relattivament mal-Art jisparaw balla ta' kanun fid-direzzjoni tal-veloċità tar-razz, b'veloċità $w'$ imkejla fir-razz. X'inhi l-veloċità $w$ tal-balla mkejla fuq l-Art?

Fiċ-ċinematika Galilejana il-veloċitajiet jingħaddu flimkien u jkollna

$w=w'+v\,.$

Fiċ-ċinematika relattivistika il-liġi tal-kompożizzjoni tal-veloċitajiet hi differenti.

Fir-razz id-distanza Δx  li timxi l-balla matul il-ħin Δt hi

$\Delta x'\,=\,w'\Delta t'$

Mill-formoli ta' Lorentz

${\begin{cases}\Delta x\,=\,\gamma (\Delta x'+v\Delta t')\\\Delta t\,=\,\gamma [\Delta t'+(v/c^{2})\Delta x']\end{cases}}$

jekk nibdlu Δ' fil-valur tagħha, faċilment niksbu l-veloċità tal-balla fis-sistema dinjija fil-forma :

$w\,=\,{\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {\gamma (w'\Delta t'+v\Delta t')}{\gamma [\Delta t'+(v/c^{2})w'\Delta t']}}\,,$

jew

$w\,=\,{\frac {w'+v}{1+(w'v/c^{2})}}\,.$

Din ir-relazzjoni turi li l-liġi ta' kompożizzjoni tal-veloċitajiet fir-relattività ristretta ma tibqgħax liġi addittiva u li l-veloċità c hi l-ogħla veloċità li tista' tintlaħaq tkun liema tkun is-sistema ta' riferiment (meta ngħoddu magħha veloċità, nerġgħu naqgħu fuq c).

Sadattant hemm parametrazzjoni li biha nistgħu niksbu liġi addittiva. Biżżejjed naqilbu mill-veloċità v għal parametru angulari tal-veloċità θ li introduċejna qabel.

Ħa nuru li f'kompożizzjoni tal-veloċitajiet il-parametri tal-veloċità jingħaddu flimkien.

Jekk inpoġġu

$\theta \,=\,\mathrm {atanh} (v/c)$

$\alpha '\,=\,\mathrm {atanh} (w'/c)$

$\alpha \,=\,\mathrm {atanh} (w/c)$

u nużaw il-formoli tal-addizzjoni tal-funzjonijet iperboliċi

$\tanh(\theta +\alpha ')={\frac {\tanh \theta +\tanh \alpha '}{1+\tanh \theta \,\tanh \alpha '}}$

mill-ewwel niksbu

$\alpha \,=\,\alpha '+\theta .$

Fi kliem ieħor il-parametru angulari tal-veloċità tal-balla relattivament mal-Art hi s-somma tal-parametru angulari tal-veloċità tal-balla relattivament mar-razz u tal-parametru angulari tal-veloċità tar-razz relattivament mal-Art. Ma tistgħax tkun iżjed sempliċi !

B'dan il-formaliżmu, il-parametru angulari li jikkorrispondi mal-veloċità c hu infinit (billi atanh(x ), l-argument tanġenti iperboliku ta' x, jersaq lejn l-infinit waqt li x tersaq lejn 1) u għalhekk jibqa' infinit inżidu x'inżidu miegħu. Mela nerġgħu niksbu l-fatt li c hi l-ogħla veloċità (li hi impossibbli li tintlaħaq minn partiċella materjali) indipendament mis-sistema magħżula. Biss il-veloċitajiet tal-partiċelli bla massa, bħall-fotoni, jistgħu jimxu bil-veloċità tad-dawl.

Din il-proprjetà remarkabbli tal-additività tal-parametru angulari tal-veloċità hi espliċita fid-determinazzjoni tal-ekwazzjoniet ta' razz aċċelerat.

Ħa nagħtu applikazzjoni numerika (il-veloċitajiet użati ma jistgħux jintlaħqu fil-verità !). Nimmaġinaw li balla ġiet sparata b'veloċità w'  = 0,75c fis-sistema ta' razz li jkun miexi b'veloċità v = 0,75c relattivament mal-Art. X'inhi l-veloċità tal-balla mkejla fl- Art? Naraw mill-ewwel li valur 1.5c li tagħtina l-formola Galilejana hu falz billi l-veloċità li niksbu taqbeż dik tad-dawl. Mill-formoli relattivistiċi nirraġunaw kif ġej. L-angolu parametriku tal-veloċità tal-balla relattivament mar-razz hu $\alpha '=\mathrm {atanh} (0.75)=0.973\,.$ L-angolu parametriku tal-veloċità tal-razz relattivament mal-Art għandu l-istess valur $\theta =0.973\,.$ Il-parametru angulari tal-veloċità tal-balla relattivament mal-Art mela hu $\alpha \,=\,0.973+0.973\,=\,1.946$, li jikkorrispondi mal-veloċità $w=c\,\tanh(1.946)=0.96\,c\,.$ Fir-relattività ristretta 0.75 + 0.75 = 0.96, jekk nistgħu ngħidu hekk!

Naturalment nistgħu niksbu dan ir-riżultat direttament mill-formola li tagħti w bħala funzjni ta' w ' u v.

Il-kwadrivettur tal-veloċità

Fil-mekkanika Newtonjana nistudjaw il-moviment ta' partiċella billi nsegwu il-pożizzjoni tagħha ${\vec {r}}$ bħala funzjoni tal-ħin t, li nissoponu li għandu karattru assolut, indipendenti mill-arloġġ li nkejluh fuqu. Fir-relattività nabbadunaw dan il-mod kif inħarsu lejn l-affarijiet u nqisu l-moviment ta' partiċella bħala sensiela ta' ġrajjiet ${\mathcal {P}}$. Il-kurva li tiddeskrivi din is-sensiela fi spazju ta' erba' dimensjonijiet (tlieta għall-ispazju, waħda għall-ħin) tissejjaħ il-"linja tal-univers".

Kif fil-mekkanika klassika niddefinixxu l-veloċità ta' partiċella billi nieħdu d-derivata

$v\,=\,d{\vec {r}}/dt$

tal-pożizzjoni rispett il-ħin, bl-istess mod fil-mekkanika relattivistika niddefinixu l-vettur tal-veloċità f'erba' dimensjonijiet (jew kwadrivettur tal-veloċità)

$\mathbf {u} \,=\,d{\mathcal {P}}/d\tau$

fejn $\tau \,$ hu l-ħin proprju tal-partiċella, definit iżjed il-fuq.

Meta nagħmlu espliċiti l-komponenti ta' dan il-kwadrivettur f'sistema mogħtija nistgħu niktbu

$\mathbf {u} =\left(c{\frac {dt}{d\tau }},{\frac {dx}{d\tau }},{\frac {dy}{d\tau }},{\frac {dz}{d\tau }}\right)\,,$

espressjoni li fiha introduċejna l-fattur c biex naħdmu b'koordinati omoġenji.

Hemm relazzjoni sempliċi, u importanti, li għandha x'taqsam ma' dan il-kwadrivettur. Id-definizzjoni tal-kwadrat tal-intervall ta' spazju-ħin definit hawn fuq, nistgħu niġġeneralizzawh għall-kwadrivetturi kollha. Mela noddefinixxu l-kwadrat tan-norma ta' kwadrivettur bħala d-differenza bejn il-kwadrat tal-parti temporali u dak tal-parti spazjali tagħha u din in-norma hi invarjanti taħt it-trasfomazzjoni ta' Lorentz. Fi kliem ieħor ma tiddependix mas-sistema magħżula. Fil-każ tal-veloċità dan ir-riżultat jieħu forma partikularment sempliċi. In fatti, fis-sistema proprja tal-partiċella, jiġifieri fis-sistema li fiha l-partiċella hi wieqfa, il-parti spazjali tal-kwadrivettur tal-veloċità hi żero waqt li l-parti temporali hi sempliċiment c (dt/dτ = 1 billi l-ħin t hu preċiżament il-ħin τ meta nkejluh fis-sistema tal-partiċella). Fi kliem ieħor fis-sistema proprja ta' partiċella, il-kwadrivettur tal-veloċità għandu komponenti (c, 0, 0, 0). Mela f'kull sistema Galileja għandna r-relazzjoni

(parti temporali ta' $\mathbf {u}$)² -  (parti spazjali ta' $\mathbf {u}$)² = c² .

Hu minħabba din l-invarjanza ta' din in-norma li nistgħu nitkellmu fuq il-kwadrivettur ta' partiċella indipendament minn kull sistema ta' koordinati.

Il-kwadrivettur enerġija-momentu

Nistgħu nirraġunaw li bħal ma l-momentu klassiku ta' partiċella hu l-prodott ${\vec {p}}=m{\vec {v}}$ tal-massa bil-veloċità, hekk ukoll il-prodott m$\mathbf {u}$ tal-kwadrivettur tal-veloċità $\mathbf {u}$ bil-massa m tal-partiċella għandu jkun il-kwadrivettur tal-momentu. Dan sikwit insejħulu l-vettur tal-enerġija-momentu, biex nuru l-fatt li l-enerġija u l-momentu huma magħqudin flimkien f'kunċett fiżiku u ma jistgħux jinfirdu, bl-istess mod li l-ispazju u l-ħin jiffurmaw l-ispazju-ħin. Waqt li l-komponenti spazjali ta' dan il-kwadrivettur nistgħu nidentifikawhom b'mod ċar ma' dawk tal-momentu klassiku ta' partiċella, Einstein issuġġerixxa li għandna nidentifikaw il-komponent temporali ta' dan il- kwadrivettur mal-enerġija tal-partiċella. Minkejja li hemm ħafna raġunijiet għal din l-għażla, mhux faċli li nagħtu prova vera, imma din is-sitwazzjoni fejn ipoteżi mwielda fl-istess ħin mat-teorija tiżviluppa u l-konferma sperimentali tagħha tiġi wara, m'hijiex rari fil-fiżika. Fil-verità, l-għaxriet ta' għeluf ta' konfermi sperimentali kuljum tat-teorija, huma garanzija biżżejjed tal-ipoteżi li jagħmlu s-sisien tagħha.

F'sistema inerzjali (pereżempju s-sistema dinjija fl-ewwel approssimazzjoni, li ħa nsejħulha s-sistema laboratorju) il-koordinati tal-ġrajjiet marbutin mal-partiċella li qegħdin insegwu huma (t, x, y, z) u l-komponenti f'din is-sistema tal-kwadrivettur tal-enerġija-momentu tal-partiċella huma :

$\mathbf {p} =m\mathbf {u} \,=\,(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})$

fejn

$E/c=mc{\frac {dt}{d\tau }}\,;\qquad p_{x}=m{\frac {dx}{d\tau }}\,;\qquad p_{y}=m{\frac {dy}{d\tau }}\,;\qquad p_{z}=m{\frac {dz}{d\tau }}\,.$

Espressjoni relattivistika tal-enerġija

Meta nħarsu lejn ir-relazzjoni bejn il-ħin proprju (il-ħin t' tar-razz, jew τ tal-partiċella miexja) u l-ħin t fis-sistem li qegħdin nikkunsidraw (is-sistema laboratorju), naraw li : $dt\,=\,\gamma .d\tau$

Hekk niksbu espressjoni għall-enerġija totali tal-partiċella "fis-sistema laboratorju", dik li relattivament miegħu il-partiċella għandha veloċità ${\vec {v}}$ (billi l-enerġija tiddependi mis-sistema li fiha nkejluha !) fil-forma :

$E=\gamma .{mc^{2}}\,=\,{\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}}.$

• Fir-relattività ristretta, l-enerġija totali ta' partiċella wieqfa hi daqs is-somma tal-enerġija fil-waqfien m.c² kontenuta fil-massa tagħha u l-enerġija ċinetika K. Meta nħarsu lejn l-espressjoni relattivistika tal-enerġija, naraw li l-enerġija ċinetika tal-partiċella hi mogħtija bl-espressjoni :

Enerġija ċinetika $\mathrm {\,} =\,K\,=E-mc^{2}\,=\,mc^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}}-1\right).$

• • Għall-veloċitajiet "baxxi" (jiġifieri baxxi mqabblin ma' dik tad-dawl, fil-każ "klassiku") niksbu, (fl-ewwel approssimazzjoni) :

$E\simeq mc^{2}+(1/2)mv^{2}$

Din il-formola turi li l-enerġija totali tal-partiċella hi s-somma tal-enerġija fil-waqfien m.c² li ma nafux biha fil-mekkanika Newtonjana u tal-enerġija ċinetika klassika (1/2)m.v².

• • għall-veloċitajiet qrib ħafna ta' dik tad-dawl, hi l-kwantità 1 - β = [1 - (v/c)] li tgħodd.

Għandna :

$1-\beta ^{2}=(1+\beta )(1-\beta )\simeq 2(1-\beta )$

u allura l-enerġija totali nistgħu niktbuha, (fl-ewwel approssimazzjoni) :

$E\simeq pc={\frac {mc^{2}}{\sqrt {2(1-\beta )}}}\equiv {\frac {mc^{2}}{\sqrt {2[1-(v/c)]}}}$.

Espressjoni relattivistika tal-momentu

Min-naħa l-oħra l-komponenti tal-veloċità tal-partiċella fis-sistema laboratorju huma :

$v_{x}=dx/dt\,;\qquad v_{y}=dy/dt\,;\qquad v_{z}=dz/dt$,

u meta nħarsu lejn il-fattur ta' dilatation tal-ħin bejn dt u d$\tau$, niksbu formola importanti oħra li tagħtina l-valur tal-momentu fis-sistema laboratorju :

$p\,=\,{\frac {mv}{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}}.$

Ekwivalenza tal-enerġija u tal-massa fil-waqfien

Il-kwadrivettur enerġija-momentu għandu l-karatteristika li n-norma tiegħu, jew il-kwadrat skalari tiegħu (fis-sens tal-kwadrat tal-intervall tal-ispazju-ħin), hi invarjianti taħt bidla ta' sistema ta' riferiment. Fil-qosor, il-kwantità

$E^{2}/c^{2}\,-\,p^{2}\qquad {\text{fejn}}\qquad p^{2}\,=\,(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})$

hi indipendenti mis-sistema ta' riferiment li fiha tkun ikkalkulata. Issa fis-sistema tal-partiċella, il-veloċità hi żero, l-istess il-momentu, u allura n-norma ta' din il-kwantità invarjanti hi (m c)². F'kull sistema tkun liema tkun għandna r-relazzjoni importanti li ġejja

$E^{2}/c^{2}-p^{2}\,=\,(mc)^{2}$

jew

$E^{2}-p^{2}c^{2}\,=\,m^{2}c^{4}$

(Il-fatturi ta' c f'dawn il-formoli jiżguraw li huma omoġenji, p għandha d-dimensjoni ta' mv, E dik ta' mv².)

Nistgħu nippruvaw din il-formola direttament minn dawk ta' hawn fuq li jagħtu l-enerġija u l-momentu.

Nistgħu nagħmlu xi osservazzjonijiet :

(i) Il-valur tal-enerġija totali ta' partiċella jiddependi mis-sistema ta' riferiment tal-osservatur. Però, il-valur tal-enerġija ta' massa hu l-istess fis-sistemi ta' riferiment kollha, u b'mod partikulari fis-sistema ta' riferiment proprja tal-partiċella. Mela hi karatteristika intrinsika tal-partiċella.

(ii) Waqt li v tersaq lejn c, $\gamma$ tersaq lejn l-infinit, li jfisser li hemm bżonn ta' enerġija infinita biex naċċelleraw partiċella sakemm tilħaq il-veloċità tad-dawl. Jidher ċar li dan impossibbli. Però nistgħu naċeċelleraw il-partiċelli sakemm jilħqu veloċitajiet qrib ħafna ta' c.

(iii) Ir-relattività ristretta tidher fil-fenomeni fiżiċi kollha, anki fejn il-veloċitajiet li għandhom x'jaqsmu m'humiex relattivistiċi. Eżempju ċar hu n-nuqqas fil-massa tal-atomu l-iżjed sempliċi : il-massa tal-atomu tal-idroġenu $H_{1}^{1}$ hi inqass mill-mases tal-elettron u tal-proton flimkien b' kwantità eżattament daqs l-ekwivalenti fil-massa tal-enerġija tal-jonizzazzjoni tal-atomu.

L-ekwivalenza tal-massa u tal-enerġija tingħata bil-formola famuża E=mc². L-idea ta' din l-ekwivalenza kienet pass rivoluzzjonarju, għax il-kunċetti ta' materja u enerġija kienu distinti sa dak iż-żmien, allavolja ċerti xjenzjati bħal Poincaré u Lorentz, kien ppruvaw indipendentament jagħqduhom fil-qasam tal-elettromanjetiżmu.

Daż-żmien m'għandniex nenfatizzawha iż-żejjed din l-ekwivalenza, għaliex waqt li l-massa hi in-norma tal-kwadrivettur enerġija-momentu, l-enerġija m'hijiex ħlief wieħed mill-komponenti ta' dan il- kwadrivettur. Il-massa mogħtija b'

$m^{2}\,=\,(E^{2}-p^{2}c^{2})/c^{4}$

hi invarjanti taħt bidla ta' sistema (hi l-istess f'kull sistema). L-enerġija għal-kuntrarju tiddependi mis-sistema magħżula, u jidher ċar li la l-veloċità tinbidel, l-enerġija ċinetika trid tinbidel ukoll.

Il-veloċità tal-partiċelli bla massa

Ir-relazzjonijiet ta' hawn fuq jagħtuna riżultati importanti. L-espressjonijiet li jagħtu E u p bħala funzjoni ta' m u v iwasslu minnufih għall-formola

$p\,=\,(v/c)(E/c).$

Jekk il-veloċità tal-partiċella hi daqs il-veloċità tad-dawl, allura $p=E/c$ u meta nikkalkulaw $E^{2}-p^{2}c^{2}$ naraw li l-massa tal-partiċella hi bilfors żero. Bil-kontra, jekk il-massa tal-partiċella hi żero, allura $p=E/c$ u mela $v=c$.

Għalhekk naslu għall-konklużjoni doppja importanti li l-partiċelli materjali ma jistgħux jilħqu l-veloċità tad-dawl u li l-partiċelli bla massa biss jimxu bil-veloċità tad-dawl.

Hemm koerenza perfetta: kull mekkaniżmu ta' propagazzjoni tal-enerġija bil-veloċità tad-dawl jikkorrispondi ma' kwantità ta' momentu p daqs l-enerġija u allura ma' "massa fil-waqfien" ta' żero. Bil-maqlub, partiċella ta' bla massa bilfors timxi bil-veloċità tad-dawl.

Dilatazzjoni tal-ħin tar-raġġi kożmiċi u tal-muoni

Fl-astronomija nsibu partiċelli li jġorru enerġija kolossali: ir-raġġi kożmiċi. Minkejja li l-mekkaniżmu tal-produzzjoni tagħhom għadu mistur, nistgħu inkejlu l-enerġija u n-numri konsiderevoli li niksbu juru li l-analiżi tagħhom teħtieġ l-użu tal-formoli tal-relattività ristretta. Ir-raġġi kożmiċi mela jfornu xempju ideali tat-teorija ta' Einstein.

Insibu partiċelli b'enerġiji inkredibbli tal-ordni ta' 10²⁰ elettronvolt, jiġifieri mitt miljun TeV. Nieħdu raġġ kożmiku magħmul minn proton ta' 10²⁰ eV. X'inhi l-veloċità ta' din il- partiċella?

Fl-espressjoni li tagħti l-enerġija E, it-terminu mc² jirrapreżenta l-enerġija tal-massa fil-waqfien tal-partiċella. Dik tal-proton hi madwar 1GeV, jiġifieri 10⁹eV. Ir-rapport bejn E u mc² mela hu 10²⁰ /10⁹ =10¹¹ li hu l-famuż fattur tad-dilatazzjoni tal-ħin $\gamma =[1-(v/c)^{2}]^{-1/2}$. X'inhi l-veloċità ta' dan il-proton? Meta niktbu $1-(v/c)^{2}=[1+(v/c)][1-(v/c)]\simeq 2[1-(v/c)]$ insibu li

$1-(v/c)=0.5\times 10^{-22}.$

Fi kliem ieħor il-veloċità tal-proton li qegħdin nikkunsidraw hi kważi daqs il-veloċità tad-dawl, differenti minnha b'inqas minn 10^-22 (imma qatt ma tista' tilħaqha).

Ejjew naraw xi jfissru dawn iċ-ċiffri għall-fatturi relattivistiċi li jeżistu bejn is-sistema proprja tal-partiċella u s-sistema dinjija. Id-dawl jaqsam il-Galassija tagħna f'xi mitt elf sena tad-dawl. Għalhekk għal osservatur dinji l-proton jaqsam din il-Galassija fl-istess ħin, madwar 100,000 sena. Il-ħaġa straordinarja hi li fis-sistema tal-proton relattivistiku, il-ħin li jikkorispondi hu 10¹¹ darba inqas u altura hu ta' 30 sekonda (sena tagħmel 3×10⁷ sekondi)!

Il-proton tagħna ultra-relattivistiku u ultra-enerġetiku jaqsam il-Galassija tagħna fi 30 sekonda tal-ħin proprju tiegħu imma f'100,000 sena tal-ħin dinji tagħna.

Figura 6

Meta raġġ kożmiku jolqot atomu tal-ossiġenu jew tal-ażotu fl-atmosfera dinjija f'altitudni tal-ordni ta' 20 sa 50 kilometru 'il fuq mill-art, joħroġ raxx ta' partiċelli elementari li fih il-muoni. Parti minnhom imorru lejn l-art b'veloċità kważi daqs dik tad-dawl, xi 300,000 kilometru l-sekonda fis-sistema dinjija. Dawn il-partiċelli jaqsmu xi 30 kilometru ta' atmosfera f'10^-4 sekonda (jew 100 mikrosekonda).

Fis-sistema li fiha hu wieqaf, muon għandu nofs-ħajja ta' 2μs (2 mikrosekondi, jew 2x10^-6s). Dan ifisser li fost qabda muoni prodotti fuq nett tal-atmosfera, nofshom jisparixxu f'2 mikrosekondi, mibdulin f'partiċelli oħra. Nofs il-muoni li jibqa' jisparixxu f'2 mikrosekondi oħra u jkomplu hekk. Kieku n-nofs-ħajja kienet l-istess (2 mikrosekondi) fis-sistema dinjija, fil-10^-4 sekondi tal-qsim tal-atmosfera il-muoni jkun għaddew minn 10^-4/2×10^-6=50 nofs-ħajjiet. Hekk in-numru tagħhom sa meta jaslu f'wiċċ id-dinja jkun naqas b'fattur ta' (1/2) ⁵⁰, jiġifieri madwar 10^-15 li jfisser li fil-fatti l-ebda muon ma jasal.

Issal-kejl juri li madwar 1/8, jiġifieri (1/2)³ mill-muoni tal-bidu jaslu f'wiċċ id-dinja, li jipprova li ma spiċċawx nofshom ħlief 3 darbiet u mhux 15-il darba. Fi kliem ieħor il-ħin tal-qsim tal-atmosfera fis-sistema proprja tagħhom tieħu 3 nofs-ħajjiet u mhux 50, jiġifieri 6 mikrosekondi biss (u mhux 100 mikrosekondi). Dan ir-riżultat jagħtina prova qawwija tal-verità tar-relattività ristretta u b'mod partikulari tat-dilatazzjoni tal-ħin proprju (hawn dak tal-muon) meta nkejlu f'sistema barranija (hawn dik tad-dinja). Fl-eżempju numeriku li għażilna il-fattur ta' dilatazzjoni tal-ħin
$\gamma =[1-(v/c)^{2}]^{-(1/2)}$ hu ta' 100/6.

Nistgħu niddeduċu l-veloċità u l-enerġija tal-muoni. Fil-fatti, għandna bħal fil-kalkulazzjoni ta' qabel

$1-(v/c)^{2}\,=\,2\times [1-(v/c)]\,=\,(6/100)^{2}\,,$

li twassal għal

$1-(v/c)\simeq 2\times 10^{-3}\ .$

Billi l-massa ta' muon hi madwar 100 MeV, l-enerġija tal-partiċella hi 100/6 darbiet ikbar, jiġifieri madwar 2000 MeV jew 2 GeV.

Konservazzjoni tal-kwadrivettur enerġija-momentu ta' sistema iżolata

Il-qawwa kbira tat-teorija ta' Einstein hi li tħalli l-fiżiku jirraġuna fuq kwantitajiet ta' karattru ġemetriku li għandhom realtà li titrassendi l-lingwa tal-koordinati. Hekk nistgħu nitħaddtu fuq kwadrivettur enerġija-momentu indipendentament mir-rappreżentazzjoni tiegħu f'termini ta' koordinati. Dan il-vettur b'erba' dimensjonijiet jipprovdilna għodda qawwija biex nittrattaw il-mekkanika relattivistika u patikularment il-problemi ta' interazzjoni u ta' trasformazzjoni ta' partiċelli.

L-analiżi ta' ħabta bejn partiċella A u partiċella B (jew iżjed ġeneralment ta' ħabtiet bejn partiċelli ta' sistema mogħtija) hi msejsa fuq il-prinċipju li ġej, indipendament mid-dettalji tal-esperiment:

Il-kwadrivettur ta' sistema iżolata ta' partiċelli hu kkonservat f'kull interazzjoni interna.

Fi kliem ieħor:

${\displaystyle \Sigma }$_{(partiċelli inizjali J)} $\ \mathbf {p} _{\text{J}}={\displaystyle \Sigma }$_{(partiċelli finali K)}$\ \mathbf {p} _{\text{K}}\,.$

Biex janalizza esperiment, il-fiżiku jrid ikejjel u mbagħad jittraduċi din il-liġi b'mod li juża l-kwantitajiet meżurabbli li huma l-koordinati tal-kwadrivettur fis-sistema li jagħżel. Billi l-kwadrivettur hu konservat, kull wieħed mill-komponenti tiegħu f' sistema ta' referenza mogħtija (niftakru li l-valur tal-komponenti jiddependi mis-sistema magħżula) huma wkoll konservati fil-ħabtiet. Il-komponent temporali jirrappreżenta l-enerġija E tas-sistema u l-komponent spazjali jirrappreżenta il-momentu tiegħu${\vec {p}}$, u għalhekk naslu għal żewġ liġijiet ta' konservazzjoni, waħda għall-enerġija u l-oħra għall-momentu.

Figura 7: Konservazzjoni tal-kwadrivettur enerġija-momentu f'ħabta

Biex żgur inkunu ċari, nenunċjaw dawn il-liġijiet fil-każ ta' żewġ partiċelli A u B li jgħaddu minn ħabta (nistgħu niġġeneralizzaw minnufih għal sistema ta' bosta partiċelli).

(i) L-enerġija totali tas-sistema hi konservata f'ħabta

Fi kliem ieħor is-somma tal-enerġija ta' A u tal-enerġija ta' B qabel il-ħabta hi daqs is-somma tal-enerġija ta' A u tal-enerġija ta' B wara il-ħabta.

Nistgħu nifformolaw din il-liġi bil-mod li ġej:

$E_{1}(A)+E_{1}(B)\,=\,E_{2}(A)+E_{2}(B).$

(ii) Il-momentu totali tas-sistema hu konservata f' ħabta

Fi kliem ieħor is-somma tal-momenti tal-partiċella A u tal-partiċella B qabel il-ħabta hi daqs is-somma tal-momenti tal-partiċella A u tal-partiċella B wara il-ħabta.

Matul kull waħda mit-tliet mela għandna:

$(p_{x})_{1}(A)+(p_{x})_{1}(B)\,=\,(p_{x})_{2}(A)+(p_{x})_{2}(B),$

$(p_{y})_{1}(A)+(p_{y})_{1}(B)\,=\,(p_{y})_{2}(A)+(p_{y})_{2}(B),$

$(p_{z})_{1}(A)+(p_{z})_{1}(B)\,=\,(p_{z})_{2}(A)+(p_{z})_{2}(B).$

Fil-figura kontra (Fig. 7) nirrappreżentaw eżempju (akademiku) ta' ħabta. Partiċella A ta' massa 8 (f'unitajiet arbitrarji) li għandha veloċità v/c ta' 15/17 miexja lejn il-lemin, tolqot partiċella ta' massa 12 li ġejja kontra b'veloċità v/c ta' 5/13. Wara il-ħabta, A timmolla fid-direzzjoni l-oħra wara li tkun tagħt lil B sehem mill-momentu tagħha. L-enerġija totali, is-somma tal-enerġiji tal-partiċelli A u B hi konservata, kif ukoll il-momentu totali. Il-kwantitajiet E u p murija jirrapreżentaw fir-realtà (E/c²) u (p/c) u huma esprimi f'unitajiet tal-massa, arbitrarji. Bihom ghandna ir-relazzjoni: E ² = p ² + m ². Il-fattur γ bħal dejjem għandu definizzjoni γ = [1 - (v/c)²]^-1/2.

Ħabta elastika

F'aċċeleratur tal-partiċelli jiġri li elettron b'enerġija għolja ħafna jolqot elettron wieqaf u jtieh parti mill-enerġija ċinetika tiegħu. Jekk il-bidliet tal-enerġija jkunu biss f'din l-enerġija ċinetika, ngħidu li l-ħabta hi elastika. Il-formoli li jittraduċu l-konservazzjoni tal-kwadrivettur tas-sistema magħmula miż-żewġ elettroni jħalluna nanalizzaw il-ħabta. Fil-mekkanika Newtonjana iż-żewġ elettroni wara l-ħabta għandhom direzzjonijiet li jagħmlu angolu drittt. Ħa nuru li fil-mekkanika relattivistika dan m'għadhux hekk u l-veloċitajiet tal-elettroni jiffurmaw angolu akut. Din il-fenomenu jidher ċar mit-traċċi li jħallu l-ħabtiet fil-kamra tal-bżieżaq.

Figura 8: Ħabta elastika elastika bejn żewġ partiċelli tal-istess massa

Inħarsu lejn elettron ta' massa m u ta' enerġija għolja ħafna li jolqot elettron ieħor li fil-bidu jkun wieqaf. Il-vetturi tal-momentu taż-żewġ partiċelli impinġijin fil-figura kontra (Fig. 8). Qabel il-ħabta l-momentu tal-elettron inċidenti hu ${\vec {p}}$. Wara l-ħabta, il-momenti taż-żewġ elettroni huma ${\vec {p}}_{1}$ u ${\vec {p}}_{2}$. Meta niktbu l-enerġija ta' elettron bħala s-somma tal-enerġija tiegħu fil-waqfien mc² u tal-enerġija ċinetika tiegħu K, nistgħu niktbu l-enerġija totali tas-sistema qabel il-ħabta bħala:

$E\,=\,mc^{2}+mc^{2}+K.$

Bl-istess mod,

$E_{1}\,=\,mc^{2}+K_{1}$

$E_{2}\,=\,mc^{2}+K_{2}\,.$

Il-liġi tal-konservazzjoni tal-enerġija tgħid li E=E₁+E₂ u għalhekk

$K\,=K_{1}+K_{2}\,,$

formola li turi sewwa li l-enerġija ċinetika hi wkoll konservata (ħabta elastika).

Il-liġi tal-conservazzjoni tal-kwantità ta' momentu tgħid li

${\vec {p}}={\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2}\,,$

u għalhekk jekk l-angolu bejn iż-żewġ vetturi ${\vec {p}}_{1}$ u ${\vec {p}}_{2}$ insejħulu θ, ikollna r-relazzjoni

$p^{2}\,=\,p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}p_{2}\cos \theta$

li minnha noħorġu

$\cos \theta \,=\,{\frac {p^{2}-(p_{1}^{2}+p_{2}^{2})}{2p_{1}p_{2}}}\,.$

Meta nesprimu l-kwadrat tal-momentu tal-elettroni bħala funzjoni tal-enerġija u tal-massa tagħhom bl-għajnuna tal-formoli murija hawn fuq niksbu

$c^{2}p^{2}\,=\,(mc^{2}+K)^{2}-m^{2}c^{4}=K^{2}+2Kmc^{2}$

għall-elettron inċidenti u

$c^{2}p_{1}^{2}\,=\,E_{1}^{2}-m^{2}c^{4}=(mc^{2}+K_{1})^{2}-m^{2}c^{4}=K_{1}^{2}+2K_{1}mc^{2},$

$c^{2}p_{2}^{2}\,=\,E_{2}^{2}-m^{2}c^{4}=(mc^{2}+K_{2})^{2}-m^{2}c^{4}=K_{2}^{2}+2K_{2}mc^{2}$

għall-elettroni wara l-ħabta.

Billi K=K₁+K₂ naslu faċilment għall-formola sempliċi

$\cos \theta \,=\,{\frac {K_{1}K_{2}}{(K_{1}^{2}+2K_{1}mc^{2})^{1/2}(K_{2}^{2}+2K_{2}mc^{2})^{1/2}}}\equiv \left(1+{\frac {2mc^{2}}{K_{1}}}\right)^{-1/2}\left(1+{\frac {2mc^{2}}{K_{2}}}\right)^{-1/2}.$

Din il-formola turi li cos θ hu pożittiv u għalhekk id-direzzjonijiet tal-elettroni fl-istat finali jagħmlu angolu akut bejniethom.

Fil-letteratura nsibu faċilment it-trattament tal-każ fejn il-ħabta hi simmetrika, iż-żewġ elettroni għandhom it-tnejn l-istess enerġija K₁=K₂=K/2. F'din is-sitwazzjoni partikulari il-formola ġenerali issir

$\cos \theta ={\frac {K}{K+4mc^{2}}}$       għal ħabta simmetrika.

• Fil-limitu Newtonjan ta' veloċitajiet baxxi, l-enerġiji ċinetiċi huma ħafna iżgħar mill-enerġija fil-waqfien mc² u għalhekk

$\cos \theta \simeq {\frac {\sqrt {K_{1}K_{2}}}{2mc^{2}}}$

tersaq lejn żero, li jfisser li l-angolu θ jersaq lejn π /2. Dan hu r-riżultat mhux relattivistiku.

• Bil-maqlub fil-limitu ta' enerġiji għolja ħafna, it-termini tal-enerġija ċinetika huma ogħla ħafna mit-terminu mc² u għalhekk

$\cos \theta \simeq 1-{\frac {mc^{2}}{K_{1}}}-{\frac {mc^{2}}{K_{2}}}\,.$

F'dan il-każ il-kosenu jersaq lejn 1, li jfisser li l-angolu bejn il-veloċitajiet tal-elettroni jersaq lejn żero. Dan juri mġiba kompletament differenti mill-każ Newtonjan.

Naturalment il-formoli japplikaw ukoll għall-każ ta' ħabta bejn żewġ protoni.

L-effett Compton

L-analiżi ta' ħabta bejn foton ta' enerġija għolja ma' elettron wieqaf tagħtina applikazzjoni fiżika tal-formoli ta' konservazzjoni tal-enerġija u tal-momentu ta' sistema ta' partiċelli. Din il-ħabta tissejjah l-effett Compton.

Massa ta' sistema ta' partiċelli

Fir-relattività ristretta l-enerġiji u l-momenti huma addittivi, imma il-mases m'humiex.

Il-fiżika fl-ispazju-ħin ta' erba' dimensjonijiet ta' Einstein tagħti l-materja karatteristiċi ġodda li l-fiżika Newtonjana ma setgħetx tbassar. Hekk pereżempju il-formoli tar-relattività ristretta turi li l-massa totali ta' sistema ta' partiċelli hi ikbar mis-somma tal-mases fil-waqfien tal-partiċelli individwali.

Jekk inqisu sett ta' partiċelli, mingħajr interazzjoni bejniethom, barra l-mument tal-ħabtiet, il-kwadrivettur enerġija-momentu ta' sistema ta' partiċelli, iżolat minn kull azzjoni barranija, hu s-somma tal-enerġiji-momenti individwali. Dan nistgħu niktbuh hekk:

$\mathbf {p} _{\mathrm {sistema} }=\Sigma _{\text{J}}\,\mathbf {p} _{\text{J}}.$

Biex inwettqu applikazzjonijiet numeriċi, l-ekwazzjoni nqilbuha f'termini tal-komponenti enerġija E u momentu ${\vec {p}}$ :

$E_{\mathrm {sistema} }=\Sigma _{\text{J}}\,E_{\text{J}}$

${\vec {p}}_{\mathrm {sistema} }=\Sigma _{\text{J}}\,{\vec {p}}_{\text{J}}\,.$

Nirrepetu: il-valur ta' dawn il-komponenti jiddependi mis-sistema magħżula. Il-formoli, li jħalluna ngħaddu mill-koordinati ta' sistema $\mathbb {R}$ għal dawk ta' sistema oħra$\mathbb {R} '$ b'veloċità v = βc relattivament mal-ewwel waħda matul l-assi Ox, huma l-formoli ta' Lorentz li diġà rajna. Niktbuhom fil-forma :

${\begin{cases}E/c=\gamma (E'/c+\beta p'_{x})\\p_{x}=\gamma (\beta E'/c+p'_{x})\\p_{y}=p'_{y}\\p_{z}=p'_{z}\end{cases}}$

għall kull kwadrivettur enerġija-momentu $(E/c,{\vec {p}})$ liema jkun.

Il-proprjetà importanti tal-kwadrivetturi fir-relattività u tat-trasformazzjonijiet ta' Lorentz qiegħda fl-invarjanza tan-"norma" tal-kwadrivettur f'bidla ta' koordinati. Din in-norma tittraduċi proprjetà intrinsika tas-sistema studjata, indipendenti mis-sistema ta' riferiment. Fil-każ tal-kwadrivettur enerġija-momentu, din in-norma hi daqs il-massa M tas-sistema (bħal fil-każ ta' partiċella) u l-kwadrat tagħha jinata bil-formola :

$M_{\mathrm {sistema} }^{2}=(1/c^{2})[(E_{\mathrm {sistema} }/c)^{2}-p_{\mathrm {sistema} }^{2}]\,.$

(Nistgħu insibu faċilment il-fatturi c li rridu ndaħħlu, bil-potenzi korretti, billi p hi omoġenja ma' mc u E omoġenja ma' mc².)

Sabiex nikkalkulaw il-massa, nistgħu nużaw sistema liema tkun, billi din ma tiddependiex mill-għażla tiegħu. L-iżjed wieħed komdu hu dak fejn il-momentu totali tas-sistema hu żero, jiġifieri fejn

${\vec {p}}=0\,.$

Imbagħad niksbu

$M_{\mathrm {sistema} }^{2}=(1/c^{2})(E_{\mathrm {sistema} }/c)^{2}\equiv (1/c^{4})\left(\Sigma _{j}E_{j}\right)^{2}\,,$

fejn

$M_{\mathrm {sistema} }=(1/c^{2})\Sigma _{j}E_{j}\,.$

Billi l-enerġija E_j ta' kull partiċella j (fis-sistema użata) hi s-somma tal-enerġija m_j c² li tikkorrispondi mal-massa fil-waqfien tagħha m_j u tal-enerġija ċinetika tagħha K_j (dejjem fis-sistema użata), nistgħu niktbu :

$M_{\mathrm {sistema} }=\Sigma _{j}m_{j}+(\Sigma _{j}K_{j}/c^{2})\,.$

Din il-formola tal-aħħar turi r-riżultat li ħabbarna : il-massa totali ta' sistema ta' partiċelli hi ikbar mis-somma tal-mases individwali tal-partiċelli. Il-valur tal-massa totali tas-sistema miksub hu indipendenti mis-sistema li fiha ikkalkulajnih (imma biex insibu dan il-valur għażilna s-sistema sempliċi li fiha il-momentu hu żero).

Nistgħu nivverifikaw dan ir-riżultat fl-eżempju numeriku ta' ħabta f'dimensjoni waħda ttrattata hawn fuq (inkejlu l-enerġija, il-momentu u l-massa f'unità ta' massa arbitrarja). Kellna żewġ partiċelli A u B respettivament ta' massa 8 u 12. Il-massa totali M tas-sistema nikkalkulawha bil-formola M ² = E² - p², fejn E = 30 u p = 10. Hekk insibu M =√800 = 28.28, li hi ikbar mis-somma 8+12=20 tal-mases ta' A u B.

Bidla tal-massa f'enerġija fix-Xemx

Il-konservazzjoni tal-kwadrivettur enerġija-momentu tispjega kif f'reazzjoni il-massa ta' sistema tista' ma tkunx konservata u parti minnha jew kollha tista' tinbidel f'enerġija, . Hekk jiġri fir-reazzjonijiet ta' fissjoni, ta' fużjoni u ta' annikilazzjoni ta' partiċelli. Ħawn ħa niddeskrivu l-fużjoni tal-idroġenu f'elju fix-Xemx, reazzjonij li biha nifhmu kif il-kewkba tagħna għandha għajn benefiċjenti ta' enerġija li bih setgħet tiddi għal ħames miljardi ta' snin u tista' tkompli tagħmel hekk għal daqshekk żmien ieħor.

Fis-snin 1900, il-fiżiċi sabu wiċċhom ma' misterju kbir tal-mekkaniżmu kif ix-Xemx titfa' d-dawl tagħha. Il-ġeoloġi tas-seklu XIX, mill-ħxuna tas-saffi tal-blat sedimentarju fid-dinja, stimaw li l-età tal-Art hi xi għaxriet ta' miljuni ta' snin. Din qablet mal-età li wasal għaliha Charles Darwin meta ppropona t-teorija tiegħu tal-Evoluzzjoni tal-ispeċi. Sadatant xi fiżiċi teoriċi bħal William Thomson (Lord Kelvin) bdew jisħqu li x-Xemx ma setgħetx kienet ila tiddi iżjed minn għaxar miljun sena. Xi xjenzati oħra, partikularment mill-ġeologu Thomas Chamberlin ikkritikaw l-attitudni arroganti tagħhom. Chamberlin issuġġerixxa f'kungress fl-1899 li din enerġija li n-nisel tagħha kien għadu mhux magħruf, tista' tkum ġejja mill-materja fil-qalba tax-Xemx. Hu argumenta li l-kundizzjonijiet fiżiċi eċċezzjonali li jsaltnu f'dawn ir-reġjuni ta' temperatura għolja u pressjoni qawwija kienu hekk li jistgħu joħorġu enerġija ta' tip atomiku. L-istorja kkonfermat l-intuwizzjonijiet tiegħu. Bis-saħħa tax-xogħol ta' George Gamow, Hans Bethe u Carl Friedrich von Weizsäcker spiċċajna biex niksbu fl-aħħar tas-snin 1930 tagħrif dettaljat fuq ir-reazzjonijiet li ħallew ix-Xemx tiddi għal ħames miljardi ta' snin. Dawn il-fiżiċi wrew li x-Xemx taħdem qisa reattur nukleari ġgantesk limitat mill-gravitazzjoni u jitfa' kwantità konsiderevoli ta' enerġija bi qbil mal-ekwazzjoniet ta' Einstein.

Dawn huma n-numri li għandhom x'jaqsmu. il-luminożità xemxija, jew kwantità ta' enerġija li l-kewkba titfa' fl-ispazju kull sekonda, hi

$L_{\odot }\simeq 4\times 10^{33}\;{\rm {erg}}\cdot {\rm {s}}^{-1}$.

Biex nesprimu din l-enerġija f'unitajiet ta' massa (pereżempju grammi, skont l-użanza tal-astronomi), biżżejjed niddiviżu b' c², li jtina massa ekwivalenti M = 4.4×10¹² grammi kull sekonda.

B'sensiela ta' reazzjonijiet li jagħmlu l-katina proton-proton, possibbli f'tempertura għolja biżżejjed, erba' protoni jew (jew nukleji ta' idroġenu) jiġu trasformati fir-reġjuni l-iżjed ġewwenin tax-Xemx f'nukleju tal-elju, magħmul minn żewġ neutroni u żewġ protoni. Billi proton għandu massa ta' 1.672,62×10^-24 g, l-erba' protoni oriġinali għandhom massa 4×1.672,62×10^-24 = 6.690,48×10^-24 g. In-nukleju tal-elju, jew partiċella alfa, għandu massa ta' 6.644,66×10^-24 g. Id-differenza, 0.04582×10^-24 g, toħroġ fil-forma ta' dawl.

Ninnutaw li parti ċkejkna biss mill-massa użata tindidel f'enerġija. Il-massa ta' idroġenu moħlija bħala frazzjoni tal-massa tassew mibdula hi 6.690,48 / 0.045,82 ~ 150. Jiġifieri għal kull gramma maqluba f'enerġija jitużaw 150 gramma ta' idroġenu. (Bil-maqlub dan ifisser li madwar 0.7 fil-mija tal-massa idroġenu tal-bidu tinbidel f'enerġija.) Għalhekk biex nibdlu 4.4×10¹² grammi kull sekonda irridu "naħarqu" 150 darba iżjed, jiġifieri 6.6×10¹⁴ grammi ta' idroġenu kull sekonda. La l-massa tax-Xemx hi ta' 2×10³³ grammi, jekk din il-kwantità kollha ta' materja tinħela, il-Xemx tista' tforni l-enerġija bir-rata ta' issa matul 2×10³³ / 6.6×10¹⁴  = 3×10¹⁸ sekondi. Billi sena fiha 3×10⁷ sekondi, naslu għal tul ta' ħajja totali ta' 100 miljardi (10¹¹) ta' snin.

L-evoluzzjoni ta' stilla in ġenerali, u tax-Xemx in partikulari, hi iżjed komplikata mill-iskema elementari tal-bidla tal-idroġenu f'elju. Mhux l-idroġenu kollu jinħaraq f'elju u bosta reazzjonijiet oħra ta' kombustjoni nukleari jiġru fl-istess ħin. Fl-aħħar, meta nqisu l-mudelli stellari iżjed komplikati, it-teoriji attwali jbassru ħajja sħiħa ta' xi 10 miljardi ta' snin għal kewkba tat-tip tax-Xemx. Ix-Xemx billi diġà ħliet madwar 5 miljardi, baqgħalha ftit inqas "x'tgħix". (Imma ħadd ma jkun hemm biex jixhed il-mewt tax-Xemx għax il-ħajja tagħha taqbeż sewwa l-iskala temporali tal-umanità !)

Elettromanjetiżmu u r-relattività ristretta

Fl-ispazju Newtonjan bi tliet dimensjonijiet, partiċella ta' karga q imqiegħda f'kamp elettriku ${\vec {E}}$ u kamp manjetiku ${\vec {B}}$ għandha fuqha il-forza ta' Lorentz u l-ekwazzjoni li tmexxi l-moviment tagħha hi

$d{\vec {p}}/dt=\,q\,({\vec {E}}\ +{\vec {v}}\wedge {\vec {B}})\,.$

Biex naqilbu din il-formola għall-mekkanika relattivistika, irridu nqisu l-kwadrivettur enerġija-momentu $\mathbf {p}$ minnflok il-vettur ${\vec {p}}$ u rridu nsibu r-rata ta' varjazzjoni ta' dan il-kwadrivettur fis-sistema proprja tal-partiċella u mhux f'sistema Galileja tkun liema tkun. It-terminu tax-xellug imbagħad ikun tal-forma $d\mathbf {p} /d\tau$, fejn $\tau$ hi l-ħin proprju tal-partiċella kkargata. Fuq il-lemin insibu oġġett indipendenti mis-sistema magħżula u li wkoll irid ikun bilfors funzjoni linjari tal-veloċità ${\vec {v}}$ tal-partiċella. In fatti il-parti spazjali tal-ekwazzjoni tad-dinamika linjari f' $\,{\vec {v}}\,$ nistgħu niktbuha

$d{\vec {p}}/d\tau =\gamma d{\vec {p}}/dt=\gamma q({\vec {E}}\ +{\vec {v}}\wedge {\vec {B}})=q(u_{0}{\vec {E}}/c+{\vec {u}}\wedge {\vec {B}})\,.$

F'din l-espressjoni $\,u_{0}\,$ u ${\vec {u}}$ huma l-komponenti f'sistema Lorentzjana tal-kwadrivettur veloċità $\mathbf {u} \,$, li nistgħu niktbuhom :

$\mathbf {u} =(u_{0},{\vec {u}})=\left({\frac {c}{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}},{\frac {\vec {v}}{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}}\right)\equiv (\gamma c,\gamma {\vec {v}})\,.$

L-ekwazzjoni ta' hawn fuq nistgħu naqsmuha b'mod espliċitu fit-tliet assi kif ġej :

${\begin{cases}dp_{x}/d\tau =q(u_{0}E_{x}/c+u_{y}B_{z}-u_{z}B_{y})\\dp_{y}/d\tau =q(u_{0}E_{y}/c+u_{z}B_{x}-u_{x}B_{z})\\dp_{z}/d\tau =q(u_{0}E_{z}/c+u_{x}B_{y}-u_{y}B_{x})\end{cases}}$

Minn naħa l-oħra il-komponent temporali tal-ekwazzjoni tad-dinamika (li jikkorrispondi mal-liġi li tagħti l-varjazzjoni tal-enerġija) tinkiteb

$dp_{0}/d\tau =\gamma d(W/c)/dt=\gamma q({\vec {E}}/c)\cdot {\vec {v}}\equiv q({\vec {E}}/c)\cdot {\vec {u}}\,,$

fejn W hu x-xogħol tal-forza $q{\vec {E}}\,.$

Meta niġbru l-ekwazzjonijiet miktuba hawn fuq fil-kuntest ta' spazju-ħin f'erba' dimensjonijiet, ir-rata ta' varjazzjoni tal-kwadrivettur enerġija-momentu hi mogħtija hekk

${\begin{pmatrix}dp_{0}/d\tau \\dp_{x}/d\tau \\dp_{y}/d\tau \\dp_{z}/d\tau \end{pmatrix}}=q{\begin{pmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\E_{x}/c&0&B_{z}&-B_{y}\\E_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x}\\E_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u_{0}\\u_{x}\\u_{y}\\u_{z}\end{pmatrix}}.$

L-ekwazzjoni matriċjali li għadna kif ktibna turi li fir-relattività ristretta il-kamp manjetiku u il-kamp elettriku jagħmlu entità waħda. Fil-fatti il-preżentazzjoni li tajna hi xi ftit inkorretta fis-sens li biex noħorġu l-qawwa kollha tat-teorija relattivistika hemm bżonn nużaw it-tensuri. L-ekwazzjoni matriċjali hawn fuq hi t-traduzzjoni f'termini ta' komponenti tal-ekwazzjoni tensorjali, indipendenti minn kull sistema ta' koordinati

$d\mathbf {p} /d\tau =q\mathbf {F} (\mathbf {u} )\,.$

$\mathbf {F}$ hu t-tensur tal-kamp elettromanjetiku (jew tensur ta' Maxwell jew tensur ta' Faraday). Hu dan l-oġgett li jirrapreżenta fiżikament il-kamp elettromanjetiku. Il-komponenti tiegħu f'ċertu sistema ta' koordinati jingħataw mill-matriċi miktub hawn fuq.

Vokabularju

1. Osservatur : bniedem jew apparat ta' rilevament li għandu arloġġ li bih jista' jaqra l-ħin u jekk jagħmel parti minn grupp, jista' jkollu marka li turi l-pożizzjoni tiegħu.
2. Sistema ta' riferiment Galilej, imsejjaħ ukoll "sistema ta' riferiment ta' Lorentz" jew "sistema ta' riferiment inerzjali" : sett ta' osservaturi mferrxin mal-ispazju imbegħdin minn kull massa, li d-distanzi bejniethom ma jinbidlux mal-ħin (huma weqfin relattivament ma' xulxin) u li l-arloġġi tagħhom huma sinkronizzati.
3. ġrajja : ġrajja hi ġrajja (!), bħal pereżempju t-twelid ta' individwu, il-tluq ta' razz jew l-sparar ta' murtal. Hi indipendenti mill-koordinati tal-ħin u tal-ispazju li bihom nillokalizzawha. Fil-fatti hu komdu li nqabblu l-ġrajja mal-koordinati tagħha relattivament ma' sistema, biex inkunu nafu fejn u meta ġrat f'din is-sistema.

Fir-relattività ristretta t-tul u l-ħin inkejluhom bl-istess unità (kif għamilna aħna b'mod sistematiku). Fl-astronomija jagħżlu l-unità tal-ħin u jkejlu d-distanza bil-ħin li d-dawl jieħu biex jivjaġġa din id-distanza. Pereżempju jekk galassija qiegħda ħames muljun sena tad-dawl 'il bogħod minnha ifisser li d-dawl jieħu ħames miljun sena biex jaqsam id-distanza li tifridna. Ninnutaw li meta fil-ħajja ta' kuljum ngħidu li Pariġi, pereżempju, hi tliet sigħat bit-tren minn Montpellier, inkunu qegħdin inkejlu d-distanza bil-ħin.

Ħoloq esterni

Xogħljiet oriġinali

• Zur Elektrodynamik bewegter Körper Ix-xogħol oriġinali ta' Einstein bil-Ġermaniz, Annalen der Physik, Berne 1905

Korsijiet

• Kors bl-Ingliż fuq ir-relattività ristretta u ġenerali mill-Università ta' Yale

Ir-relattività ristretta għal udjenza ġenerali (l-ebda għarfien tal-matematika m'hu meħtieġ)

• Wikibooks: Relattività ristretta
• Einstein Online Introduzzjoni għat-teorija tar-relattività, mill-Istitut Max Planck għal Fiżika Gravitazzjonali.

Ir-relattività ristretta spjegata (bl-użu tal-matematika sempliċi jew iżjed avvanzata)

• Il-K-Kalkulu ta' Bondi – Introduzzjoni sempliċi għat-teorija tar-relattività ristretta.
• Noti ta' D. W. Hogg Notes fuq ir-relattività ristretta Introduzzjoni siewja għat-teorija tar-relattività ristretta fl-livell universitarju bl-użu tal-kalkulu.
• L-oriġni tat-teorija tar-relattività ristretta ta' Einstein – Approċċ storiku għat-teorija tar-relattività ristretta.
• Relattività Introduzzjoni għat-teorija tar-relattività ristretta fl-livell universitarju bla użu tal-kalkulu.
• Relattività ristretta Università ta' Stanford, Helen Quinn, 2003
• Nifhmu r-relattività ristretta It-teorija tar-relattività ristretta spjegata b'mod faċli.

Viżwalizzazzjoni

• Raytracing Special relativity Software li jivviżwalizza bosta xenarji taħt l-influwenza tar-relattività ristretta.
• Relattività fil-ħin veru The Australian National University. Effetti viżwali relattivistiċi permezz ta' programm interattiv.
• Vjaġġar fl-ispazju-ħin Bosta viżwalizzjonijiet ta' effetti relattivistiċi, mill-moviment relattivistiku għat-toqob suwed.
• Klipp ta' animazzjoni viżwalizzjoni tat-trasformazzjoni ta' Lorentz.
• Bosta animazzjonijiet bil-FLASH ta' sistemi riferenzjali ta' Lorentz u Galilejani, Il-paradoss tat-tren fil-mina, il-paradoss tat-tewmin, propagazzjoni tal-mewġ, etc.

Noti u referenzi

Portal Matematika