Lemma ta’ Borel-Cantelli

Minn Wikipedija, l-enċiklopedija l-ħielsa
Aqbeż lejn: navigazzjoni, fittex

Il-Lemma ta' Borel-Cantelli hu riżultat fit-teorija tal-probabbiltà u t-teorija tal-miżura fundamentali għall-prova tal-liġi qawwija tan-numri kbar. Il-lemma hi msemmija għal Émile Borel u Francesco Paolo Cantelli.

Lemma ta' Borel-Cantelli:

Ħalli ikun spazju tal-miżura u tkun suċċessjoni ta' sottosettijiet miżurabbli ta' . Imbagħad għandna:

fejn hu l-limitu superjuri tas-suċċessjoni :

Prova
Bil-monotonija ta' , għandna
Issa bis-subadditività:
Għalhekk billi ta' l-aħħar hu l-limitu tal-bqija ta' serje konverġenti, għandna


In partikulari, fi spazju tal-probabbiltà , għal suċċessjoni ta' ġrajjiet , għandna:

Fil-każ ta' spazji tal-probabbiltà, hi veru wkoll il-propożizzjoni li ġejja (spiss imsejjħa "it-tieni lemma ta' Borel-Cantelli"):

u huma indipendenti


Prova ta' l-asserzjoni 2
Issa bl-indipendenza u d-diżugwaljanza ;
billi s-somma tiddiverġi u hekk l-esponenzjali tersaq lejn 0. Għalhekk:

Fi kliem ieħor jekk suċċessjoni ta' ġrajjiet għandha probabbiltà sommabbli, kważi żgurament, in-numru ta' drabi li jiġru hu finit. Jekk minflok il-probabbiltà mhijiex sommabili u l-ġrajjiet huma indipendenti kważi żgurament in-numru ta' drabi li jiġru hu infinit. In partikulari f'numru infinit ta' provi indipendenti kull ġrajja b'probabbiltà pożittiva tiġri numru infinit ta' drabi.

Ħoloq esterni[immodifika | immodifika s-sors]