Lemma ta’ Borel-Cantelli

Il-Lemma ta' Borel-Cantelli hu riżultat fit-teorija tal-probabbiltà u t-teorija tal-miżura fundamentali għall-prova tal-liġi qawwija tan-numri kbar. Il-lemma hi msemmija għal Émile Borel u Francesco Paolo Cantelli.

Lemma ta' Borel-Cantelli:

Ħalli $(\Omega ,{\mathcal {E}},\mu )$ ikun spazju tal-miżura u $\{S_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ tkun suċċessjoni ta' sottosettijiet miżurabbli ta' $\displaystyle {\Omega }$. Imbagħad għandna:

$(1)\,\sum _{n=0}^{\infty }\mu (S_{n})\in \mathbb {R} \Rightarrow \mu \left(\limsup _{n\to \infty }S_{n}\right)=0,$

fejn $\limsup$ hu l-limitu superjuri tas-suċċessjoni ${\displaystyle S_{n}}$:

$\limsup _{n\to \infty }S_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }S_{i}.$

Prova

Bil-monotonija ta' ${\displaystyle \mu }$, għandna

$\mu \left(\limsup _{n\to \infty }S_{n}\right)=\mu \left({\bigcap _{n=1}^{\infty }}{\bigcup _{i=n}^{\infty }}S_{i}\right)=\lim _{n\to \infty }\mu \left(\bigcup _{i>n}S_{i}\right).$

Issa bis-subadditività:

$\lim _{n\to \infty }\mu \left(\bigcup _{i>n}S_{i}\right)\leq \lim _{n\to \infty }\sum _{i=n}^{\infty }\mu (S_{i}).$

Għalhekk billi ta' l-aħħar hu l-limitu tal-bqija ta' serje konverġenti, għandna

$\mu \left(\limsup _{n\to \infty }S_{n}\right)\leq \lim _{n\to \infty }\sum _{i=n}^{\infty }\mu (S_{i})=0.$

In partikulari, fi spazju tal-probabbiltà $(\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )$, għal suċċessjoni ta' ġrajjiet $\{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$, għandna:

$(1)\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {P} (E_{n})\in \mathbb {R} \Rightarrow \operatorname {P} \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)=0.$

Fil-każ ta' spazji tal-probabbiltà, hi veru wkoll il-propożizzjoni li ġejja (spiss imsejjħa "it-tieni lemma ta' Borel-Cantelli"):

$(2)\,\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {P} (E_{n})=\infty$ u ${\displaystyle E_{n}}$ huma indipendenti $\Rightarrow \operatorname {P} \left(\limsup _{n\to \infty }S_{n}\right)=1.$

Prova ta' l-asserzjoni 2

$\operatorname {P} \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }\operatorname {P} \left(\bigcup _{i\geq n}E_{i}\right);$

$\operatorname {P} \left(\bigcup _{i\geq n}E_{i}\right)=1-\operatorname {P} \left(\bigcap _{i\geq n}{\overline {E_{i}}}\right)=1-\lim _{k\to \infty }\operatorname {P} \left(\bigcap _{i=n}^{k}{\overline {E_{i}}}\right).$

Issa bl-indipendenza u d-diżugwaljanza $e^{-x}\geq 1-x$;

$1-\lim _{k\to \infty }\operatorname {P} \left(\bigcap _{i=n}^{k}{\overline {E_{i}}}\right)=1-\lim _{k\to \infty }\left(\prod _{i=n}^{k}\operatorname {P} ({\overline {E_{i}}})\right)=1-\lim _{k\to \infty }\left(\prod _{i=n}^{k}\left(1-\operatorname {P} (E_{i})\right)\right)\geq 1-\lim _{k\to \infty }\prod _{i=n}^{k}e^{-\operatorname {P} (E_{i})}$

$=1-\lim _{k\to \infty }e^{-\sum _{i=n}^{k}\operatorname {P} (E_{i})}=1,$

billi s-somma tiddiverġi u hekk l-esponenzjali tersaq lejn 0. Għalhekk:

$\operatorname {P} \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)\geq \lim _{n\to \infty }1=1\Rightarrow \operatorname {P} \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)=1$

Fi kliem ieħor jekk suċċessjoni ta' ġrajjiet għandha probabbiltà sommabbli, kważi żgurament, in-numru ta' drabi li jiġru hu finit. Jekk minflok il-probabbiltà mhijiex sommabili u l-ġrajjiet huma indipendenti kważi żgurament in-numru ta' drabi li jiġru hu infinit. In partikulari f'numru infinit ta' provi indipendenti kull ġrajja b'probabbiltà pożittiva tiġri numru infinit ta' drabi.

Ħoloq esterni

Portal Matematika

• Prova fuq Planet Math