Trasformata ta' Fourier

Minn Wikipedija, l-enċiklopedija l-ħielsa

It-trasformata ta' Fourier hi waħda mit-trasformati integrali l-iżjed importanti fil-matematika, b'applikazzjonijiet bla għadd fix-xjenzi, (in partikulari fil-fiżika, akustika, ottika, kristallografija), u fil-matematika stess (analisi, teorija ta' probabbiltà, statistika, teorija tan-numri, ġometrija). Fit-teorija tas-sinjali, it-trasformata ta' Fourier ninterpretawha bħala rappreżentazzjoni ta' sinjal f'termini ta' frekwenzi u ampjezzi relattivi. Eżempju utli li jista' jgħin biex nifhmu aħjar dan il-kunċett hu dak tal-mużika: permezz tat-trasformata ta' Fourier nistgħu nifirdu l-musika li nisimgħu (is-sinjal prominenti) f'mewġiet separati reżonanti magħmulin mill-istrumenti differenti, jiġifieri l-ħoss (bill-frekwenzi u l-ampjezzi relattivi) tat-tanbur, tal-kuntrabaxx, tal-kitarra, eċċ.

It-trasformata ta' Fourier żviluppaha il-matematiku Franċiż Jean Baptiste Joseph Fourier fl-1822, fit-trattat tiegħu Théorie analytique de la chaleur.

[editja] Definizzjoni

Definizzjoni: Trasformata ta' Fourier

Għal $u \in L^1(\R)\!$ , niddefinixxu t-trasformata ta' Fourier tal-funzjoni $u\!$ hekk:

$\mathcal{F}\{u\}(\omega) = \hat{u}(\omega) := {{1}\over{\sqrt{2\pi}}} \int_{\R} e^{-{\rm i}\omega t}u(t)\,dt\qquad\forall\omega\in\R\!$

Nuru l-operazzjoni bl-ittra F kalligrafika, jiġifieri:

$\mathcal{F}: u\to\hat{u}\!$

Nistgħu nestendu din id-definizzjoni ukoll għall-funzjonijiet $u\in L^1(\R^n)\!$ :

Definizzjoni: Trasformata ta' Fourier

Għal $u \in L^1(\R^n)\!$ niddefinixxu t-trasformata ta' Fourier tal-funzjoni $u\!$ hekk:

$\mathcal{F}\{u\}(\boldsymbol{\omega}) = \hat{u} (\boldsymbol{\omega}) := {{1}\over{\sqrt{2\pi}^n}} \int_{\R^n} e^{-{\rm i}\boldsymbol{\omega}\cdot \mathbf{t}}u(\mathbf{t})\,d\mathbf{t}\qquad\forall\boldsymbol{\omega}\in\R^n\!$

fejn $\boldsymbol{\omega}\cdot \mathbf{t}\!$ jirrappreżenta l-prodotti skalari.

Iżjed il-quddiem naraw it-tifsira tal-fattur ${{1}\over{\sqrt{2\pi}^n}}\!$ .

[editja] Eżempji

Jekk $u(t) = \chi_{[-1,+1]}(t)\!$ , jiġifieri l-funzjoni karatteristika ta' wisa' tnejn, għandna:

$\hat u (\omega) = {{1}\over{\sqrt{2\pi}}} \int_{\R} e^{-i\omega t}\chi_{[-1,+1]}(t)\,dt = {{1}\over{\sqrt{2\pi}}} \int_{-1}^{+1}e^{-{\rm i}\omega t}\,dt$

$={{1}\over{\sqrt{2\pi}}} {\left [{{e^{-{\rm i}\omega t}}\over{-{\rm i}\omega}} \right ]}_{-1}^{+1} = {{1}\over{\sqrt{2\pi}}} {{e^{{\rm i}\omega}-e^{-{\rm i}\omega}}\over{{\rm i}\omega} }= \sqrt{{{2}\over{\pi}}} {{\sin\omega}\over{\omega}}\!$

Jekk $u(t)={{1}\over{1+t^2}}\!$ , għandna:

$\hat u (\omega) = {{1}\over{\sqrt{2\pi}}} \int_{\R} e^{-{\rm i}\omega t}u(t)\,dt = {{1}\over{\sqrt{2\pi}}} \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} e^{-{\rm i}\omega t}u(t)\,dt$

Issa napplikaw il-prinċipju tal-prolungament analitiku u il-lemma ta' Jordan u niksbu:

$\lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} e^{-{\rm i}\omega t}u(t)\,dt = \begin{cases} \pi e^\omega & \omega < 0 \\ \pi e^{-\omega} & \omega > 0 \end{cases}$

Meta nagħmlu t-tnejn flimkien niksbu:

$\hat u (\omega) = {{1}\over{\sqrt{2\pi}}} \int_{\R} {{e^{-{\rm i}\omega t}}\over{1+t^2}}\,dt = \sqrt{{\pi}\over{2}} e^{-|\omega|}\!$

[editja] Proprijetajiet formali

Mill-linjarità ta' l-integral toħroġ immedjatament il-linjarità tat-trasformata ta' Fourier, espliċitament:

$\mathcal{F}(\alpha f + \beta g) = \alpha \mathcal{F}(f) + \beta \mathcal{F}(g)$

għal kull $f, g \in L^1(\mathbb{R})$ u $\alpha , \beta \in \mathbb{C}$ .

Mid-definizzjoni isegwi immedjatament li traslazzjoni ta' funzjoni tirriżulta f'moltiplikazzjoni tat-trasformata b'esponenzjali, u vice versa:

Ħalli $f \in L^1(\mathbb{R})$ u $\alpha \in \mathbb{C}$ .

Jekk $g (t) = f (t - α)$ , imbagħad

$\hat{g}(\omega) = \hat{f}(\omega)e^{-{\rm i}\alpha\omega}$

u jekk $g (t) = f (t) e iα t$ , imbagħad

$\hat{g}(\omega) = \hat{f}(\omega - \alpha)$ .

Hemm simmetriji oħra, per eżempju: jekk $g (t) = f ( - t)$ , imbagħad $\hat{g}(\omega) = \hat{f}(-\omega)$ , u jekk $g (t) = f ( - t) *$ , fejn l-asterisk jiddenota il-konjugat kompless, imbagħad $\hat{g}(\omega) = \hat{f}(\omega)^*$ . In partikulari, jekk f hi reali u żewġija, imbagħad $\hat{f}$ hi reali u żewġija; jekk minflok f hi reali u farrada, imbagħad $\hat{f}$ hi immaġinarja u farrada.

B'bidla ta' varjabbli sempliċi niksbu li jekk $g (t) = f (t / λ)$ b' $\lambda \in\mathbb{R}$ , imbagħad $\hat{g}(\omega) = \lambda \hat{f}(\lambda \omega)$ .

Proprijetà importanti hi li t-trasformata ta' konvoluzzjoni (denotata b' $*$ ) hi sempliċement il-prodott tat-trasformati. Jekk biex nissemplifikaw in-notazzjoni nużaw l-stess normalizzazzjoni tat-trasformata ta' Fourier anki għall-konvoluzzjoni, jiġifieri għal $f,g \in L^1(\mathbb{R}),$

$(f*g)(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t-s) g(s) \mathrm{d}s$ ,

imbagħad ikollna

$\widehat{f*g} = \hat{f} \hat{g}$ .

Nistgħu nipprovaw din il-proprijetà billi napplikaw it-Teorema ta' Fubini.

Bl-integrazzjoni bill-parti nistgħu nipprovaw li jekk $g (t) = - i t f (t)$ u $f,g \in L^1(\mathbb{R})$ , imbagħad $\hat{f}$ hi differenzjabbli u d-derivata tingħata hekk

$\hat{f}'(\omega) = \hat{g}(\omega).$

Jekk vice versa $f \in L^1(\mathbb{R})$ hi differenzjabbli u d-derivata minn naħa tagħha hi assolutament integrabbli, $f' \in L^1(\mathbb{R})$ , imbagħad it-trasformata tad-derivata hi $\widehat{f'} (\omega) = i\omega \hat{f}(\omega)$ . Din il-proprijetà tippermettilna nsibu s-soluzzjonijiet ta' xi ekwazzjonijiet differenzjali, billi nittrasformawhom f'ekwazzjonijiet alġebrin.

[editja] Teorema Riemann-Lebesgue

Teorema: Teorema Riemann-Lebesgue

Ħalli $u \in L^1(\R^n)\!$ . Jekk $\hat u = \mathcal{F}\{u\}$ , imbagħad:

$\hat u \in C^0(\R^n)\cap L^\infty (\R^n)\!$
${\left\| \hat u \right\|}_{L^\infty(\R^n)} \le {\left\| u \right\|}_{L^1(\R^n)}\!$
$\lim_{\|\boldsymbol{\xi}\|\to\infty} \hat u (\boldsymbol{\xi}) = 0\!$