Derivata

Minn Wikipedija, l-enċiklopedija l-ħielsa

Fil-Matematika id-derivata ta' funzjoni hija, mal-integral, waħda mill-kolonni tal-analisi matematika u tal-kalkulu infiniteżmali.

Nistgħu nifhmu b'mod sempliċi x'inhi d-derivata jekk inħarsu lejn it-tifsira ġometrika tagħha: ġometrikament id-derivata ta' funzjoni $\displaystyle{f}$ f' punt $\displaystyle{x_0}$ hija l-kejl tal-pendil tal-linja dritta tanġenti mal-kurva rappreżentata mill-grafiku tal-funzjoni fil-punt $\displaystyle{(x_0,f(x_0))}$ , jiġifieri, it-tanġent trigonometriku tal-angolu bejn il-linja dritta tanġenti u l-assi orizzontali.

Fil-każ ta' funzjonijiet ta' varjabbli waħda, derivabbli fid-dominju kollu tagħhom, jew almenu f'intervall ta' dan, b'operazzjonijiet alġebrin niksbu funzjoni ġdida li tirrappreżenta d-derivata mal-varjazzjoni ta' $\displaystyle{x}$ . Din hi li nfissru s-soltu meta nitħaddtu ġenerikament fuq id-derivata ta' funzjoni, għax hi unika apparti mis-senju, li jiddipendi mid-direzzjoni li nkunu qed nikkonsidraw fid-derivazzjoni ('l quddiem jew lura).

Fil-każ ta' funzjonijiet ta' aktar varjabbli indipendenti din l-uniċità tintilef, għaliex in-numru ta' direzzjonijiet li fihom nistgħu nikkalkulaw ir-rapport inkrementali ma jibqgħax iżjed tnejn imma jsir infinit: ma jibqgħax possibli li niddefinixxu funzjoni waħda tal-istess varjabbli indipendenti li tagħti r-rapporti inkrementali kollha possibbli tal-funzjoni. Għalhekk neħtieġu d-derivati parzjali tal-funzjoni, li meta nikkombinawhom linjarment jagħtuna r-rapport inkrementali tal-funzjoni f'kull direzzjoni li rridu.

Werrej

1 Definizzjoni u notazzjoni
2 Derivata mill-lemin u mix-xellug
3 Tifsira ġometrika tad-derivata
4 Teorema tal-kontinwità
- 4.1 Funzjonijiet mhux derivabbli
5 L-n-il Derivata
6 Teoremi
7 Derivata ta' funzjonijiet vettorjali
8 Derivabbiltà f'
9 Konvessità
10 Derivata ta' serje ta' potenzi
11 Derivata formali

[editja] Definizzjoni u notazzjoni

Fl-analisi matematika d-derivata ta' funzjoni reali ta' varjabbli reali $\displaystyle{f}$ fil-punt $\displaystyle{x_0}$ hi definita bħala l-limitu tar-rapport inkrementali meta l-inkrement $\displaystyle{h}$ jersaq lejn 0, taħt l-ipoteżi li dak il-limitu jeżisti u hu finit.

Iżjed preċiż, jekk ikollna funzjoni $\displaystyle{f}$ definita f'inħawija ta' $\displaystyle{x_0}$ ngħidu li hi derivabbli fil-punt $\displaystyle{x_0}$ jekk jeżisti u hu finit dan il-limitu:

${\mathop {\lim_{h \to 0}} {{f\left( {x_0 + h} \right) - f\left( x_0 \right)} \over h}}$

Il-valur ta' dan il-limitu, indikat normalment b' $\displaystyle{f^\prime(x_0)}$ , ngħidulu d- derivata tal-funzjoni fil-punt $\displaystyle{x_0}$ . Jekk il-funzjoni $\displaystyle{f}$ hi derivabbli f'kull punt tal-intervall $\displaystyle{(a,b)}$ , ngħidu li hi derivabbli f' $\displaystyle{(a,b)}$ , u l- funzjoni $\displaystyle{f ^{\prime}}$ li tassoċja ma' kull punt $\displaystyle{x}$ id-derivata ta' $\displaystyle{f}$ f' $\displaystyle{x}$ , insejħulha l-funzjoni derivata ta' $\displaystyle{f}$ .

Id-derivata fil-punt $x 0$ nistgħu nindikawaha b'wieħed minn dawn is-simboli:

$f ^{\prime} (x_0),$ skont in-notazzjoni ta' Lagrange.

$\operatorname D [{f}({x_0})],$ skont in-notazzjoni ta' Cauchy.

${\operatorname d f(x_0)}\over{\operatorname d x},$ skont in-notazzjoni ta' Leibniz: l-ewwel li dehret storikament hi $({{\operatorname d f}\over{\operatorname d x}})_{(x_0)},$ .

$\dot f(x_0),$ skont in-notazzjoni ta' Newton.

[editja] Derivata mill-lemin u mix-xellug

Jissejjaħ derivata mill-lemin ta' $\displaystyle{f}$ f' $\displaystyle{x_0}$ il-limitu:

$\lim_{h \to 0^+}{{f(x_0+h)-f(x_0)}\over{h}}$

Jissejjaħ derivata mix-xellug ta' $\displaystyle{f}$ f' $\displaystyle{x_0}$ il-limitu:

$\lim_{h \to 0^-}{{f(x_0+h)-f(x_0)}\over{h}}$

Funzjoni hi derivabbli f' $\displaystyle{x}$ jekk u biss jekk id-derivati mill-lemin u mix-xellug jeżistu u għandhom l-istess valur.

Permezz tad-derivati mill-lemin u mix-xellug nistgħu niddefinixxu d-derivabbiltà fuq intervall mhux miftuħ: per eżempju jekk $\displaystyle{f}$ hi definita f'l-intervall magħluq $\displaystyle{[a,b]}$ , ngħidu li $\displaystyle{f}$ hi derivabbli f' $\displaystyle{[a,b]}$ jekk hi derivabbli f'kull punt intern $\displaystyle{x}$ ta' $\displaystyle{(a,b)}$ , u jekk jeżistu d-derivati mill-lemin u mix-xellug rispettivament fit-truf $\displaystyle{x=a}$ u $\displaystyle{x=b}$ .

[editja] Tifsira ġometrika tad-derivata

Il-linja dritta ħamra hi t-tanġent mal-funzjoni f(x) fil-punt x₀

Il-valur tad-derivata ta' $f$ ikkalkulat f' $x 0$ għandu sinjifikat ġometriku: dan hu l-koeffiċjent angulari tal-linja dritta tanġenti mal-kurva rappreżentata mill-grafiku ta' $f$ , fil-punt bil-koordinati $(x_0,\,f(x_0))$ .

Fi kiem ieħor, id-derivata hi l-valur tat-tanġent trigonometriku tal-angolu li l-linja dritta tanġenti mal-kurva fil-punt $(x_0,\,f(x_0))$ tifforma mal-assi tal-axissi.

L-ekwazzjoni tal-linja dritta tanġenti f' $x 0$ hija:

$y = f(x_0) + f '(x_0)(x-x_0).\;$

Iżjed preċiż, jekk $f$ hi derivabbli fil-punt $x 0$ , teżisti funzjoni $o (x - x 0)$ definita f'inħawija ta' $x 0$ tali li:

$f(x) = f(x_0) + f '(x_0) (x - x_0) + o(x-x_0)\;$

fejn

$\lim_{x \to x_0}{{o(x-x_0)}\over{x-x_0}} = 0 .$

Ngħidu li $\displaystyle{o(x-x_0})$ hu infiniteżmu ta' ordni ogħla mill-funzjoni $x - x 0$ . B'din irridu nesprimu l-idea li t-termini $o (x - x 0)$ jagħti kontribut li nistgħu nittraskurawh jew inħalluh barra kkomparat mat-termini l-oħra meta nersqu lejn $x 0$ .

Niddefinixxu $\displaystyle{o(x-x_0)}$ b'l-istess dominju ta' $f$ , bħala:

$\displaystyle{o(x-x_0) = f(x) - f(x_0) - f '(x_0) (x - x_0)}$

u nivverifikaw li:

$\lim_{x \to x_0}{{o(x-x_0)}\over{x-x_0}} = \lim_{x \to x_0}\left({{f(x)-f(x_0)}\over{x-x_0}} - f '(x_0)\right). \ \ \ (1)$

Niftakru li għal : $x \to x_0$ għandna : $x-x_0 \to 0$ mela : $h = x - x 0 .$

Meta nissostitwixxu din l-aħħar ugwaljanza f'(1) ikollna:

$\lim_{h \to 0}{{f(x_0+h)-f(x_0)}\over{h}} - f '(x_0) = 0$

u nikkonfermaw it-teżi.

[editja] Teorema tal-kontinwità

Teorema: Teorema tal-kontinwità

It-teorema jgħid li jekk $f$ tkun derivabbli f' $x 0$ imbagħad tkun ukoll kontinwa f' $x 0$ .

Inwiddbu li l-kuntrarju mhux dejjem veru: per eżempju, il-funzjoni $f (x) = | x |$ hi kontinwa fuq id-dominju kollu, imma mhux derivabbli fil-punt $x = 0$ , għaliex id-derivata tal-lemin mhux l-istess bħal tax-xellug.

Prova tat-Teorema:

Il-prova tiġi mill-ugwaljanza ta' qabel:

$\displaystyle{f(x)= f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x-x_0)}$

minn fejn niksbu:

$\lim_{x \to x_0}f(x)= \lim_{x \to x_0}\left ({f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x-x_0)} = f(x_0)\right ).$

Għalhekk il-funzjoni hi kontinwa f' $x 0$ .

[editja] Funzjonijiet mhux derivabbli

Funzjoni kontinwa tista' tkun non-derivabbli. Fost il-fenomeni li jistgħu iġegħlu ‘l-funzjoni ma tkunx kontinwa, hemm dawn li ġejjin:

punt angoluż,
kuspidi jew qarsa,
fless bit-tanġent vertikali,

Jeżistu wkoll funzjonijiet kontinwi li jieħdu forom iżjed komplessi ta' non-derivabbiltà, per eżempju l-funzjoni ta' Cantor.

[editja] L- $n$ -il Derivata

L-" $\displaystyle{n}$ -il derivata", $\displaystyle{f^{(n)}}$ , ta' funzjoni $\displaystyle{f}$ hi l-funzjoni li niksbu meta nidderivaw il-funzjoni $\displaystyle{n}$ darbiet waħda wara l-oħra. Għalhekk ngħidu it-tieni derivata, it-tielet derivata, il-ħmistax-il derivata etc... u nużaw din in-notazzjoni:

$f'' = f^{(2)} = {{\mathrm{d}^2f}\over{\mathrm{d}x^2}},$

$f''' = f^{(3)} = {{\mathrm{d}^3f}\over{\mathrm{d}x^3}},$ ,

...

$f^{(n)} = {{\mathrm{d}^nf}\over{\mathrm{d}x^n}}$

Funzjoni li hi derivabbli mhux bilfors hi derivabbli $\displaystyle{n}$ -il darba: Per eżempju din il- funzjoni għandha l-ewwel derivata imma m'għandiex it-tieni:

$\displaystyle{f(x) = x |x|}.$

Infatti id-derivata ta' $f$ hi $f\,'(x)=2|x|$ , li minn naħa tagħha mhijiex derivabbli.

[editja] Teoremi

Hawn taħt nagħtu xi ftit teoremi u riżultati importanti.

[editja] Teorema ta' Fermat

Teorema: Teorema ta' Fermat

Jekk il-funzjoni $\displaystyle{f}$ tkun derivabbli, u allura kontinwa, f'punt $\displaystyle{x_0}$ fl-intern tad-dominju ta' $\displaystyle{f}$ li jkun punt massimu jew minimu tal-funzjoni, imbagħad id-derivata tal-funzjoni f' $\displaystyle{x_0}$ tkun nulla, jiġifieri $\displaystyle{f^\prime (x_0) = 0}$ .

Dan it-teorema jintuża ħafna fi tfittxija ta' punti ta' massimu jew ta' minimu fejn il-funzjoni derivata hi nulla. Kull punt $\displaystyle{x}$ fejn $\displaystyle{f^\prime(x)}$ hi żero ngħidulu punt stazzjonarju. Allura il-punti ta' massimu u ta' minimu huma stazzjonarji.

Osservazzjonijiet:

hu neċessarju li $\displaystyle{x_0}$ tkun punt ġewwieni tad-dominju
il-funzjoni trid tkun derivabbli fil-punt $\displaystyle{x_0}$ , inkella t-teorema ma jagħmilx sens.

Prova:
Biex niffissaw l-idejat, ejjew nissoponu li $\displaystyle{x_0}$ hu punt ta' massimu u għalhekk $\displaystyle{f(x_0)}$ hu valur massimu tal-funzjoni f' $\displaystyle{(a,b)}$ ; il-prova hija l-istess fil-każ li $\displaystyle{x_0}$ jkun punt ta' minimu għal $\displaystyle{f}$ .
Inħarsu lejn ir-rapport inkrementali: ${{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}\over{x - x_0}}.$
In-numeratur $f(x) - f(x_0) \le 0\ \forall x \in (a,b)$ għaliex, bl-ipoteżi, $\displaystyle{x_0}$ hu punt ta' massimu u għalhekk $f(x_0) \ge f(x)\ \forall x \in (a ,b)$ .

Mela nistgħu ngħidu li :

${{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}\over{x - x_0}} \ge 0$ jekk $\displaystyle{x<x_0}$ , għax in-numeratur hu dejjem negattiv jew null u d-denominatur hu dejjem negattiv;
${{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}\over{x - x_0}} \le 0$ jekk $\displaystyle{x>x_0}$ , għax in-numeratur hu dejjem negattiv jew null u d-denominatur hu dejjem pożittiv.

Isegwi, bit-teorema tal-permanenza tas-senju li:

$f'(x_0^-) = \lim_{x \to x_0^-}{{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}\over{x - x_0}} \ge 0,$
$f'(x_0^+) = \lim_{x \to x_0^+}{{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}\over{x - x_0}} \le 0.$

Imma bl-ipoteżi, il-funzjoni $\displaystyle{f}$ hi derivabbli f' $\displaystyle{x_0}$ u għalhekk il-limitu tar-rapport inkrementali f' $\displaystyle{x_0}$ jeżisti u hu finit. Allura jrid ikun fl-istess ħin $\leq 0$ u $\geq 0$ , u mela hu null, kif ridna nuru.

[editja] Teorema ta' Rolle

Teorema: Teorema ta' Rolle

Ħalli $\displaystyle{f}$ tkun funzjoni kontinwa fl-intervall magħluq $\displaystyle{[a,b]}$ u derivabbli fl-intervall miftuħ $\displaystyle{(a,b)}$ . Jekk $\displaystyle{f(a)=f(b)}$ ,imbagħad jeżisti punt $\displaystyle{x_0}$ ġewwa l-intervall miftuħ $\displaystyle{(a,b)}$ fejn l-ewwel derivata tkun nulla, $\displaystyle{f^\prime(x_0)=0}$ .

[editja] Teorema ta' Lagrange

Teorema: Teorema ta' Lagrange

Ħalli $\displaystyle{f}$ tkun funzjoni kontinwa f' $\displaystyle{[a,b]}$ u derivabbli f' $\displaystyle{(a,b)}$ , imbagħad jeżisti mill-inqas punt wieħed $\displaystyle{x_0}$ ġewwa $\displaystyle{(a,b)}$ li għalih:

$f'(x_0) = {{f(b) - f(a)} \over {b-a}}.$

Il-teorema jgħid li jeżisti mill-inqas punt wieħed tal-grafiku tal-funzjoni, $(x_0,\, f(x_0))$ , fejn il-linja dritta tanġenti għandha koeffiċjent angulari daqs dak tal-korda dritta li tgħaddi mill-punti $(a,\, f(a))$ u $(b,\, f(b))$ .

Dan it-teorema hu ġeneralizzazzjoni ta' dak ta qabel fis-sens li jħares lejn il-każ fejn $\displaystyle{f(a)}$ hi differenti minn $\displaystyle{f(b)}$ ; jekk $\displaystyle{f(a)}$ hi daqs $\displaystyle{f(b)}$ nerġgħu niksbu it-Teorema ta' Rolle.

[editja] Teorema ta' Cauchy

Teorema: Teorema ta' Cauchy

Ħalli $\displaystyle{f}$ u $\displaystyle{g}$ jkunu funzjonijiet kontinwi f' $\displaystyle{[a,b]}$ u derivabili f' $\displaystyle{(a,b)}$ u $\displaystyle{g(x)}$ differenti minn 0 għal kull punt tal-intervall, imbagħad jeżisti mill-inqas punt wieħed $\displaystyle{x_0 }$ li qiegħed f' $\displaystyle{(a,b})$ li għalih:

${f'(x_0) \over g'(x_0)} = {{f(b) - f(a)} \over {g(b)-g(a)}}.$

Jekk inpoġġu $\displaystyle{g(x)=x}$ , niksbu mill-ġdid it-teorema ta' Lagrange.

[editja] Teorema żdieda-tinqis

Teorema: Teorema żdieda-tinqis

Jekk $\displaystyle{f}$ tkun kontinwa f' $\displaystyle{[a,b]}$ u derivabbli f' $\displaystyle{(a,b)}$ , imbagħad :

$\forall x \in (a,b) \ f'(x) \geq 0$ jekk u biss jekk il-funzjoni tiżdied f' $\displaystyle{(a,b)}$ ,

$\forall x \in (a,b) \ f'(x) \leq 0$ jekk u biss jekk il-funzjoni tonqos f' $\displaystyle{(a,b)}$ .

Jista' jkun li l-funzjoni ma tiżdidx (jew ma tonqosx) strettament. It-teorema hi konsegwenza diretta tat-teorema ta' Lagrange.

Għandna wkoll:.

Jekk $\forall x \in (a,b) \ f'(x) > 0$ , il-funzjoni tiżdied strettament f' $\displaystyle{(a,b)}$

Jekk $\forall x \in (a,b) \ f'(x) < 0$ , il-funzjoni tonqos strettament f' $\displaystyle{(a,b)}$

Funzjoni li tiżdied strettament mhux bilfors ikollha derivata kullimkien posittiva. Per eżempju

$\displaystyle{f(x) = x^3}$

hi tiżdied strettament, imma għandha derivata nulla fl-oriġini (fejn hemm punt ta' fless).

[editja] Teorema tal-funzjoni kostanti

Teorema: Teorema tal-funzjoni kostanti

Funzjoni hi kostanti fl-intervall $\displaystyle{[a,b]}$ jekk u biss jekk hi derivabbli u d-derivata hi kullimkien nulla fl-intervall.

[editja] Derivata ta' funzjonijiet vettorjali

Funzjoni vettorjali ngħidulha derivabbli fil-punt $\ x$ jekk jeżisti u hu finit il-limitu

$\mathbf{f}'(x)=\lim_{h\to 0}{{\mathbf{f}(x+h) - \mathbf{f}(x)}\over{h}}.$

Billi l-argument tal-limitu hu vettur, ir-riżultat hu wkoll vettur. Infatti d-derivata ta' $\ f$ hi l-vettur magħmul mid-derivati tal-komponenti tagħha:

$\mathbf{f}'(x)=( f'_1(x),f'_2(x),...,f'_n(x))$ .

[editja] Derivabbiltà f' $\ {\mathbb{R}^{\rm n} }$

Funzjoni $\, f$ ngħidulha derivabbli f' $\ {\mathbb{R}^{\rm n} }$ jekk jeżistu u huma finiti d-derivati parzjali tagħha kollha.

[editja] Konvessità

Ħalli $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ tkun derivabbli. Ngħidu li l-funzjoni $\ f$ hi:

konvessa f' $\ [a,b]$ jekk $\forall x_0 \in [a,b]$ il-grafiku tal-funzjoni f' $\ [a,b]$ jibqa' dejjem taħt il-linja dritta tanġenti fil-punt $\ (x_0,\, f(x_0) )$ .

Bis-simboli:

$f(x) \geq f(x_0) + f'(x)(x - x_0)\ \forall x, x_0 \in [a,b].$

konkava f' $\ [a,b]$ jekk $\forall x_0 \in [a,b]$ il-grafiku tal-funzjoni f' $\ [a,b]$ jibqa' dejjem 'l fuq mill-linja dritta tanġenti fil-punt $\ (x_0,\, f(x_0) )$ .

Bis-simboli:

$f(x) \leq f(x_0) + f'(x)(x - x_0)\ \forall x, x_0 \in [a,b].$

[editja] Derivata ta' serje ta' potenzi

Funzjoni li nistgħu niktbuha bħala serje ta' potenzi $f(x)=\sum_{n=1}^\infty a_n x^n$ b' raġġ ta' konvergenza $\ r$ , hi derivabbli fuq l-intervall $(-r,\, r)$ kollu. Id-derivata nistgħu nikkalkulawha billi nidderivaw is-serje terminu terminu b'dan il-mod:

$f'(x) = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}$

Dan it-tip ta' derivata hu importanti għall-iżvilupp ta' Taylor u McLaurin.

[editja] Derivata formali

Fit-teorija taċ-ċrieki nintroduċu l-idea ta' derivata formali bħala l-operatur $\partial$ li jissodisfa:

$\partial(u + v) = \partial u + \partial v$ (l-operazzjoni hi linjari)
$\partial (u \cdot v) = u \cdot \partial v + \partial u \cdot v$ (ir-regola ta' Leibniz).

Per eżempju bħala applikazzjoni hemm id-derivata formali ta' polinomju, sfruttata, fost postijiet oħra, fil-ġometrija alġebrija.

Portal Matematika