Derivata

Minn Wikipedija, l-enċiklopedija l-ħielsa
Aqbeż lejn: navigazzjoni, fittex

Fil-Matematika id-derivata ta' funzjoni hija, mal-integral, waħda mill-kolonni tal-analisi matematika u tal-kalkulu infiniteżmali.

Nistgħu nifhmu b'mod sempliċi x'inhi d-derivata jekk inħarsu lejn it-tifsira ġometrika tagħha: ġometrikament id-derivata ta' funzjoni \displaystyle{f} f' punt \displaystyle{x_0} hija l-kejl tal-pendil tal-linja dritta tanġenti mal-kurva rappreżentata mill-grafiku tal-funzjoni fil-punt \displaystyle{(x_0,f(x_0))}, jiġifieri, it-tanġent trigonometriku tal-angolu bejn il-linja dritta tanġenti u l-assi orizzontali.

Fil-każ ta' funzjonijiet ta' varjabbli waħda, derivabbli fid-dominju kollu tagħhom, jew almenu f'intervall ta' dan, b'operazzjonijiet alġebrin niksbu funzjoni ġdida li tirrappreżenta d-derivata mal-varjazzjoni ta' \displaystyle{x}. Din hi li nfissru s-soltu meta nitħaddtu ġenerikament fuq id-derivata ta' funzjoni, għax hi unika apparti mis-senju, li jiddipendi mid-direzzjoni li nkunu qed nikkonsidraw fid-derivazzjoni ('l quddiem jew lura).

Fil-każ ta' funzjonijiet ta' aktar varjabbli indipendenti din l-uniċità tintilef, għaliex in-numru ta' direzzjonijiet li fihom nistgħu nikkalkulaw ir-rapport inkrementali ma jibqgħax iżjed tnejn imma jsir infinit: ma jibqgħax possibli li niddefinixxu funzjoni waħda tal-istess varjabbli indipendenti li tagħti r-rapporti inkrementali kollha possibbli tal-funzjoni. Għalhekk neħtieġu d-derivati parzjali tal-funzjoni, li meta nikkombinawhom linjarment jagħtuna r-rapport inkrementali tal-funzjoni f'kull direzzjoni li rridu.

Definizzjoni u notazzjoni[editja]

Fl-analisi matematika d-derivata ta' funzjoni reali ta' varjabbli reali \displaystyle{f} fil-punt  \displaystyle{x_0} hi definita bħala l-limitu tar-rapport inkrementali meta l-inkrement \displaystyle{h} jersaq lejn 0, taħt l-ipoteżi li dak il-limitu jeżisti u hu finit.

Iżjed preċiż, jekk ikollna funzjoni \displaystyle{f} definita f'inħawija ta' \displaystyle{x_0} ngħidu li hi derivabbli fil-punt \displaystyle{x_0} jekk jeżisti u hu finit dan il-limitu:

{\mathop {\lim_{h \to 0}} {{f\left( {x_0 + h} \right) - f\left( x_0 \right)} \over h}}

Il-valur ta' dan il-limitu, indikat normalment b'\displaystyle{f^\prime(x_0)}, ngħidulu d- derivata tal-funzjoni fil-punt  \displaystyle{x_0} . Jekk il-funzjoni \displaystyle{f} hi derivabbli f'kull punt tal-intervall \displaystyle{(a,b)} , ngħidu li hi derivabbli f'\displaystyle{(a,b)} , u l- funzjoni \displaystyle{f ^{\prime}} li tassoċja ma' kull punt \displaystyle{x} id-derivata ta' \displaystyle{f} f' \displaystyle{x}, insejħulha l-funzjoni derivata ta' \displaystyle{f}.

Id-derivata fil-punt x_0 nistgħu nindikawaha b'wieħed minn dawn is-simboli:

  • \operatorname D [{f}({x_0})], skont in-notazzjoni ta' Cauchy.
  •  {\operatorname d f(x_0)}\over{\operatorname d x}, skont in-notazzjoni ta' Leibniz: l-ewwel li dehret storikament hi ({{\operatorname d f}\over{\operatorname d x}})_{(x_0)}, .
  • \dot f(x_0), skont in-notazzjoni ta' Newton.

Derivata mill-lemin u mix-xellug[editja]

Jissejjaħ derivata mill-lemin ta' \displaystyle{f} f'\displaystyle{x_0} il-limitu:

\lim_{h \to 0^+}{{f(x_0+h)-f(x_0)}\over{h}}

Jissejjaħ derivata mix-xellug ta' \displaystyle{f} f'\displaystyle{x_0} il-limitu:

\lim_{h \to 0^-}{{f(x_0+h)-f(x_0)}\over{h}}

Funzjoni hi derivabbli f'\displaystyle{x} jekk u biss jekk id-derivati mill-lemin u mix-xellug jeżistu u għandhom l-istess valur.

Permezz tad-derivati mill-lemin u mix-xellug nistgħu niddefinixxu d-derivabbiltà fuq intervall mhux miftuħ: pereżempju jekk \displaystyle{f} hi definita f'l-intervall magħluq \displaystyle{[a,b]}, ngħidu li \displaystyle{f} hi derivabbli f'\displaystyle{[a,b]} jekk hi derivabbli f'kull punt intern \displaystyle{x} ta' \displaystyle{(a,b)}, u jekk jeżistu d-derivati mill-lemin u mix-xellug rispettivament fit-truf \displaystyle{x=a} u \displaystyle{x=b}.

Tifsira ġometrika tad-derivata[editja]

Il-linja dritta ħamra hi t-tanġent mal-funzjoni f(x) fil-punt x0

Il-valur tad-derivata ta' f ikkalkulat f'x_0 għandu sinjifikat ġometriku: dan hu l-koeffiċjent angulari tal-linja dritta tanġenti mal-kurva rappreżentata mill-grafiku ta' f, fil-punt bil-koordinati (x_0,\,f(x_0)).

Fi kiem ieħor, id-derivata hi l-valur tat-tanġent trigonometriku tal-angolu li l-linja dritta tanġenti mal-kurva fil-punt (x_0,\,f(x_0)) tifforma mal-assi tal-axissi.

L-ekwazzjoni tal-linja dritta tanġenti f'x_0 hija:

y = f(x_0) + f '(x_0)(x-x_0).\;

Iżjed preċiż, jekk f hi derivabbli fil-punt x_0, teżisti funzjoni o(x-x_0) definita f'inħawija ta' x_0 tali li:

f(x) = f(x_0) + f '(x_0) (x - x_0)  + o(x-x_0)\;

fejn

\lim_{x \to x_0}{{o(x-x_0)}\over{x-x_0}} = 0 .

Ngħidu li \displaystyle{o(x-x_0}) hu infiniteżmu ta' ordni ogħla mill-funzjoni x-x_0. B'din irridu nesprimu l-idea li t-termini o(x-x_0) jagħti kontribut li nistgħu nittraskurawh jew inħalluh barra kkomparat mat-termini l-oħra meta nersqu lejn x_0.


Niddefinixxu \displaystyle{o(x-x_0)} b'l-istess dominju ta' f, bħala:

 \displaystyle{o(x-x_0) = f(x) - f(x_0) - f '(x_0) (x - x_0)}

u nivverifikaw li:

\lim_{x \to x_0}{{o(x-x_0)}\over{x-x_0}} = \lim_{x \to x_0}\left({{f(x)-f(x_0)}\over{x-x_0}} - f '(x_0)\right). \ \ \ (1)

Niftakru li għal :x \to x_0 għandna :x-x_0 \to 0 mela : h = x-x_0.

Meta nissostitwixxu din l-aħħar ugwaljanza f'(1) ikollna:

\lim_{h \to 0}{{f(x_0+h)-f(x_0)}\over{h}} - f '(x_0) = 0

u nikkonfermaw it-teżi.

Teorema tal-kontinwità[editja]

Teorema: Teorema tal-kontinwità

It-teorema jgħid li jekk f tkun derivabbli f'x_0 imbagħad tkun ukoll kontinwa f'x_0.

Inwiddbu li l-kuntrarju mhux dejjem veru: pereżempju, il-funzjoni f(x) = |x| hi kontinwa fuq id-dominju kollu, imma mhux derivabbli fil-punt x=0, għaliex id-derivata tal-lemin mhux l-istess bħal tax-xellug.

Prova tat-Teorema:

Il-prova tiġi mill-ugwaljanza ta' qabel:

\displaystyle{f(x)= f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x-x_0)}

minn fejn niksbu:

\lim_{x \to x_0}f(x)= \lim_{x \to x_0}\left ({f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x-x_0)} = f(x_0)\right ).

Għalhekk il-funzjoni hi kontinwa f'x_0.

Funzjonijiet mhux derivabbli[editja]

Funzjoni kontinwa tista' tkun non-derivabbli. Fost il-fenomeni li jistgħu iġegħlu ‘l-funzjoni ma tkunx kontinwa, hemm dawn li ġejjin:

Jeżistu wkoll funzjonijiet kontinwi li jieħdu forom iżjed komplessi ta' non-derivabbiltà, pereżempju l-funzjoni ta' Cantor.

L-n-il Derivata[editja]

L-"\displaystyle{n} -il derivata", \displaystyle{f^{(n)}}, ta' funzjoni \displaystyle{f} hi l-funzjoni li niksbu meta nidderivaw il-funzjoni \displaystyle{n} darbiet waħda wara l-oħra. Għalhekk ngħidu it-tieni derivata, it-tielet derivata, il-ħmistax-il derivata etc... u nużaw din in-notazzjoni:

f'' = f^{(2)} = {{\mathrm{d}^2f}\over{\mathrm{d}x^2}},
f''' = f^{(3)} = {{\mathrm{d}^3f}\over{\mathrm{d}x^3}},,
...
f^{(n)} = {{\mathrm{d}^nf}\over{\mathrm{d}x^n}}

Funzjoni li hi derivabbli mhux bilfors hi derivabbli \displaystyle{n}-il darba: Pereżempju din il- funzjoni għandha l-ewwel derivata imma m'għandiex it-tieni:

\displaystyle{f(x) = x |x|}.

Infatti id-derivata ta' f hi f\,'(x)=2|x|, li minn naħa tagħha mhijiex derivabbli.

Teoremi[editja]

Hawn taħt nagħtu xi ftit teoremi u riżultati importanti.

Teorema ta' Fermat[editja]

Teorema: Teorema ta' Fermat

Jekk il-funzjoni \displaystyle{f} tkun derivabbli, u allura kontinwa, f'punt \displaystyle{x_0} fl-intern tad-dominju ta' \displaystyle{f} li jkun punt massimu jew minimu tal-funzjoni, imbagħad id-derivata tal-funzjoni f' \displaystyle{x_0} tkun nulla, jiġifieri \displaystyle{f^\prime (x_0) = 0}.

Dan it-teorema jintuża ħafna fi tfittxija ta' punti ta' massimu jew ta' minimu fejn il-funzjoni derivata hi nulla. Kull punt \displaystyle{x} fejn \displaystyle{f^\prime(x)} hi żero ngħidulu punt stazzjonarju. Allura il-punti ta' massimu u ta' minimu huma stazzjonarji.

Osservazzjonijiet:

  • hu neċessarju li \displaystyle{x_0} tkun punt ġewwieni tad-dominju
  • il-funzjoni trid tkun derivabbli fil-punt \displaystyle{x_0}, inkella t-teorema ma jagħmilx sens.

Prova:
Biex niffissaw l-idejat, ejjew nissoponu li \displaystyle{x_0} hu punt ta' massimu u għalhekk \displaystyle{f(x_0)} hu valur massimu tal-funzjoni f' \displaystyle{(a,b)}; il-prova hija l-istess fil-każ li \displaystyle{x_0} jkun punt ta' minimu għal \displaystyle{f}.
Inħarsu lejn ir-rapport inkrementali:  {{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}\over{x - x_0}}.
In-numeratur f(x) - f(x_0) \le 0\ \forall x \in (a,b) għaliex, bl-ipoteżi, \displaystyle{x_0} hu punt ta' massimu u għalhekk f(x_0) \ge f(x)\ \forall x \in (a ,b).

Mela nistgħu ngħidu li :

  • {{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}\over{x - x_0}} \ge 0 jekk \displaystyle{x<x_0}, għax in-numeratur hu dejjem negattiv jew null u d-denominatur hu dejjem negattiv;
  • {{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}\over{x - x_0}} \le 0 jekk \displaystyle{x>x_0}, għax in-numeratur hu dejjem negattiv jew null u d-denominatur hu dejjem pożittiv.

Isegwi, bit-teorema tal-permanenza tas-senju li:

  • f'(x_0^-) = \lim_{x \to x_0^-}{{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}\over{x - x_0}} \ge 0,
  • f'(x_0^+) = \lim_{x \to x_0^+}{{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}\over{x - x_0}} \le 0.

Imma bl-ipoteżi, il-funzjoni \displaystyle{f} hi derivabbli f' \displaystyle{x_0} u għalhekk il-limitu tar-rapport inkrementali f'\displaystyle{x_0} jeżisti u hu finit. Allura jrid ikun fl-istess ħin \leq 0 u \geq 0, u mela hu null, kif ridna nuru.

Teorema ta' Rolle[editja]

Teorema: Teorema ta' Rolle
Ħalli \displaystyle{f} tkun funzjoni kontinwa fl-intervall magħluq \displaystyle{[a,b]} u derivabbli fl-intervall miftuħ \displaystyle{(a,b)}. Jekk \displaystyle{f(a)=f(b)},imbagħad jeżisti punt \displaystyle{x_0} ġewwa l-intervall miftuħ \displaystyle{(a,b)} fejn l-ewwel derivata tkun nulla, \displaystyle{f^\prime(x_0)=0}.

Teorema ta' Lagrange[editja]

Teorema: Teorema ta' Lagrange

Ħalli \displaystyle{f} tkun funzjoni kontinwa f' \displaystyle{[a,b]} u derivabbli f' \displaystyle{(a,b)}, imbagħad jeżisti mill-inqas punt wieħed \displaystyle{x_0} ġewwa \displaystyle{(a,b)} li għalih:

f'(x_0) = {{f(b) - f(a)} \over {b-a}}.

Il-teorema jgħid li jeżisti mill-inqas punt wieħed tal-grafiku tal-funzjoni, (x_0,\, f(x_0)), fejn il-linja dritta tanġenti għandha koeffiċjent angulari daqs dak tal-korda dritta li tgħaddi mill-punti (a,\, f(a)) u (b,\, f(b)).

Dan it-teorema hu ġeneralizzazzjoni ta' dak ta qabel fis-sens li jħares lejn il-każ fejn \displaystyle{f(a)} hi differenti minn \displaystyle{f(b)}; jekk \displaystyle{f(a)} hi daqs \displaystyle{f(b)} nerġgħu niksbu it-Teorema ta' Rolle.

Teorema ta' Cauchy[editja]

Teorema: Teorema ta' Cauchy
Ħalli \displaystyle{f} u \displaystyle{g} jkunu funzjonijiet kontinwi f' \displaystyle{[a,b]} u derivabili f' \displaystyle{(a,b)} u \displaystyle{g(x)} differenti minn 0 għal kull punt tal-intervall, imbagħad jeżisti mill-inqas punt wieħed \displaystyle{x_0 } li qiegħed f' \displaystyle{(a,b}) li għalih:

{f'(x_0) \over g'(x_0)} = {{f(b) - f(a)} \over {g(b)-g(a)}}.

Jekk inpoġġu \displaystyle{g(x)=x}, niksbu mill-ġdid it-teorema ta' Lagrange.

Teorema żdieda-tinqis[editja]

Teorema: Teorema żdieda-tinqis

Jekk \displaystyle{f} tkun kontinwa f' \displaystyle{[a,b]} u derivabbli f' \displaystyle{(a,b)} , imbagħad :

  • \forall x \in (a,b) \ f'(x) \geq 0 jekk u biss jekk il-funzjoni tiżdied f' \displaystyle{(a,b)} ,
  • \forall x \in (a,b) \ f'(x) \leq 0 jekk u biss jekk il-funzjoni tonqos f' \displaystyle{(a,b)} .

Jista' jkun li l-funzjoni ma tiżdidx (jew ma tonqosx) strettament. It-teorema hi konsegwenza diretta tat-teorema ta' Lagrange.

Għandna wkoll:.

  • Jekk \forall x \in (a,b) \ f'(x) > 0 , il-funzjoni tiżdied strettament f' \displaystyle{(a,b)}
  • Jekk \forall x \in (a,b) \ f'(x) < 0 , il-funzjoni tonqos strettament f' \displaystyle{(a,b)}

Funzjoni li tiżdied strettament mhux bilfors ikollha derivata kullimkien posittiva. Pereżempju

\displaystyle{f(x) = x^3}

hi tiżdied strettament, imma għandha derivata nulla fl-oriġini (fejn hemm punt ta' fless).

Teorema tal-funzjoni kostanti[editja]

Teorema: Teorema tal-funzjoni kostanti

Funzjoni hi kostanti fl-intervall \displaystyle{[a,b]} jekk u biss jekk hi derivabbli u d-derivata hi kullimkien nulla fl-intervall.

Derivata ta' funzjonijiet vettorjali[editja]

Funzjoni vettorjali ngħidulha derivabbli fil-punt \ x jekk jeżisti u hu finit il-limitu

\mathbf{f}'(x)=\lim_{h\to 0}{{\mathbf{f}(x+h) - \mathbf{f}(x)}\over{h}}.

Billi l-argument tal-limitu hu vettur, ir-riżultat hu wkoll vettur. Infatti d-derivata ta' \ f hi l-vettur magħmul mid-derivati tal-komponenti tagħha:

\mathbf{f}'(x)=( f'_1(x),f'_2(x),...,f'_n(x)).

Derivabbiltà f'\ {\mathbb{R}^{\rm n} }[editja]

Funzjoni \, f ngħidulha derivabbli f'\ {\mathbb{R}^{\rm n} } jekk jeżistu u huma finiti d-derivati parzjali tagħha kollha.

Konvessità[editja]

Ħalli f: [a,b] \to \mathbb{R} tkun derivabbli. Ngħidu li l-funzjoni \ f hi:

  • konvessa f' \ [a,b] jekk \forall x_0 \in [a,b] il-grafiku tal-funzjoni f' \ [a,b] jibqa' dejjem taħt il-linja dritta tanġenti fil-punt \ (x_0,\, f(x_0) ) .

Bis-simboli:

 f(x) \geq f(x_0) + f'(x)(x - x_0)\ \forall x, x_0 \in [a,b].

  • konkava f' \ [a,b] jekk \forall x_0 \in [a,b] il-grafiku tal-funzjoni f' \ [a,b] jibqa' dejjem 'l fuq mill-linja dritta tanġenti fil-punt \ (x_0,\, f(x_0) ) .

Bis-simboli:

f(x) \leq f(x_0) + f'(x)(x - x_0)\ \forall x, x_0 \in [a,b].

Derivata ta' serje ta' potenzi[editja]

Funzjoni li nistgħu niktbuha bħala serje ta' potenzi f(x)=\sum_{n=1}^\infty a_n x^n b' raġġ ta' konvergenza \ r, hi derivabbli fuq l-intervall (-r,\, r) kollu. Id-derivata nistgħu nikkalkulawha billi nidderivaw is-serje terminu terminu b'dan il-mod:

f'(x) = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}

Dan it-tip ta' derivata hu importanti għall-iżvilupp ta' Taylor u McLaurin.

Derivata formali[editja]

Fit-teorija taċ-ċrieki nintroduċu l-idea ta' derivata formali bħala l-operatur \partial li jissodisfa:

Pereżempju bħala applikazzjoni hemm id-derivata formali ta' polinomju, sfruttata, fost postijiet oħra, fil-ġometrija alġebrija.