L-Integral

Fl-analisi matematika, l-integral ta' funzjoni hu operatur matematiku li fil-każ ta' funzjoni ta' varjabbli waħda jassoċja mal-funzjoni l-arja taħt il-funzjoni sal-axissa.

Ħjiel storiku

L-idea bażika tal-kunċett tal-integral kienet digà dehret fix-xogħol ta' Arkimedi ta' Siracusa, li għex bejn il-287 u il-212 Q.K, l-ewwel parzjalment, fil-metodu li uża biex jikkalkula l-arja ta' ċirku jew ta' segment ta' parabola magħruf bħala l-metodu ta' l-eżawriment u wara iżjed preċiżament fil-kalkulazzjoni tal-arja tas-superfiċi magħluqa mill-ewwel dawra tal-ispiral (li Arkimedi stima minn fuq sa isfel bl-użu ta' każ partikulari ta' dawk li sirna nsejħulhom "sommom ta' Riemann").

Fis-seklu XVII, bosta matematiċi sabu metodi oħra inġenjużi biex jikkalkulaw l-arja taħt il-grafiku ta' funzjonijiet sempliċi, per eżempju:

$x^\alpha (\alpha > - 1)\;$ (Fermat 1636),

$\displaystyle{1/x}$ (Nikolaus Merkator, 1668).

Imma dan kien qabel li Newton u Leibniz skoprew indipendentement it-teorema fundamentali tal-kalkulu integrali li tefgħet id-direzzjoni tal-problema fuq it-tfittix ta' primittiva jew antiderivata tal-funzjoni.

Il-kalkulu kiseb sisien iżjed sodi b'iżvilupp tal-limiti u x-xogħol ta' Cauchy fl-ewwel nofs tas-seklu 19. L-integral kien formalizzat rigorużament għall-ewwel darba, bl-użu tal-limiti minn Riemann f'dak li ngħidulu l-integral ta' Cauchy-Riemann. Għalkemm il-funzjonijiet kollha li huma kontinwi f'biċċiet u limitati fuq intervall limitat huma integrabbli fis-sens ta' Riemann, wara bdew jiġu ikkonsidrati funzjonijiet iżjed ġenerali li għalihom id-definizzjoni ta' Riemann ma tapplikax, u Lebesgue ifformala definizzjoni differenti tal-integral ibbażata fuq it-teorija tal-miżura. Oħrajn ipproponew definizzjonijiet oħra li jestendu l-approċċ ta' Riemann u Lebesgue.

Introduzzjoni ewristika

Il-problema oriġinali tal-kalkulu integrali hu dik tad-definizzjoni u l-kalkulazzjoni tal-arja (bis-senju) tal-figura li għandha bħala truf, intervall $\ I$ fuq l-assi tal-axissi, limitat u magħluq (l-intervall tal-integrazzjoni), il-funzjoni mogħtija $\ f$ (il-funzjoni integrata) definita fuq $\ I$ u limitata, u s-segmenti vertikali mit-truf tal-intervall $\ I$ għall-grafiku tal-funzjoni $\ f$. In-numru reali li jagħti dik l-arja nsejħulu l-integral tal-funzjoni $\ f$ fuq l-intervall $\ I$.

Jekk il-grafiku tal-funzjoni $\ f$ hu magħmul minn segmenti, il-problema nistgħu nirriżolvuh faċilment, sakemm il-figura tista' tinqasam f'rettangli jew trapeżi li nafu niddefinixxu u nikkalkulaw l-arji tagħhom: is-somma alġebrija ta' dawk l-arji hi – għad-definizzjoni – l-integral imfittex.

Fil-każ ġenerali, l-idea bażika tikkonsisti f'li naqsmu l-figura fi strixxi vertikali dojoq, li jistgħu jitqiesu bħala rettangli, nikkalkulaw l-arja ta' kull rettanglu ċkejken u ngħoddu flimkien ir-riżultati miksuba, u hekk ikollna approssimazzjoni għan-numru li qegħdin infittxu. Billi nibqgħu nissuddividu fi strixxi dejjem idjaq u idjaq, nistgħu niksbu approssimazioni dejjem aħjar għall-integral imfittex: jekk jiġri hekk, ngħidu li l-funzjoni $\ f$ hi integrabbli fuq l-intervall $\ I$. Fil-każ tal-kuntrarju, ngħidu li l-funzjoni $\ f$ m'hijiex integrabbli fuq l-intervall $\ I$.

F'termini iżjed formali, naqsmu l-intervall $\ [a,b]$ f'$\ n$ sottointervalli tat-tip $\ [x_{s-1},x_{s}]$ fejn $\ s=1,2,...,n$ u $\ x_{0}=a; x_{n}=b$. Għal kull sottointervall nagħżlu punt $\ t_s$, li l-immaġni tiegħu hi $\ f(t_{s})$, u nħażżu r-rettanglu ċkejken li għandu bażi l-intervall $\ [x_{s-1},x_{s}]$ u għoli $\ f(t_{s})$; l-arja tal-figura magħmula mir-rettangli ċkejkna kollha mibnija hekk tagħtina s-somma (msejħa ta' Cauchy-Riemann)

$\sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \delta x_s := \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})(x_{s}-x_{s-1})$ .

Jekk meta nċekknu l-wisa' tal-intervalli $\ \delta x_s=x_{s}-x_{s-1}$, il-valuri miksuba jinġemgħu fi nħawija dejjem iċken ta' numru $\ i$, il-funzjoni $\ f$ hi integrabbli fuq l-intervall $\ [a,b]$, u $\ i$ hu l-integral tagħha.

L-analisi sħieħa tiddependi mill-fatt li kemm il-mod ta' taqsim f'intervalli, u kemm l-għażla tal-punti ġewwa dawk l-intervalli iridu jispiċċaw irrilevanti, inkella jiġri li l-arja taħt il-kurva fuq l-intervall ikollha valur li jvarja mal-għażla ta' taqsim f'intervalli u kif il-punti jintgħażlu fl-intervalli.

Il-quddiem nagħtu kundizzjonijiet suffiċjenti biex jiġri dan.

Integral ta' Riemann

Rappresentazzjoni grafika tal-integral ta' Riemann

Ejjew naqsmu l-intervall kompatt $\ [a,b]$ permezz ta' partizzjoni $\displaystyle{P}$ f'$\displaystyle{n}$ sottointervalli :

$P=\{a=x_0<x_1<x_2<\ldots < x_{n-1}<x_n =b\}$,

Ħalli jkunu

• $m_k = \inf \{f(x): x \in [x_{k-1},x_k]\}$

• $M_k = \sup \{f(x): x \in [x_{k-1},x_k]\}.$

Niddefinixxu s-somma integrali inferjuri (relattiva għall-partizzjoni $\displaystyle{P}$):

$s(f,P) = \sum_{k=1}^n m_k (x_k-x_{k-1}).$

Jekk nammettu li $\displaystyle{f}$ tieħu valuri pożittivi fl-intervall, $\displaystyle{s(f,P)}$ hija s-somma tar-rettangli inskritti fir-reġjun tal-pjan $\mathbb{R}$, taħt il-grafiku ta' $\displaystyle{f}$.

Niddefinixxu s-somma integrali superjuri (relattiva għall-partizzjoni $\displaystyle{P}$):

$S(f,P) = \sum_{k=1}^n M_k (x_k-x_{k-1})$

Analogament, $\displaystyle{S(f,P)}$ hi s-somma tal-arji tar-rettangli ċirkoskritti fir-regjun $\mathbb{R}$.

Jidher ċar li jekk $m \leq f(x) \leq M, \ \forall x \in [a,b]$ imbagħad għal kull partizzjoni $\displaystyle{P}$ ta' $\displaystyle{[a,b]}\$:

$m(b-a) \leq s(f,P) \leq S(f,P) \leq M (b-a)$.

Dawn iż-żewġ lemmata wieħed jista' jipprovahom faċilment:

Lemma 1.:

Jekk $\displaystyle{P}$ u $\displaystyle{Q}$ huma partizzjonijiet ta' $\displaystyle{[a,b]}$ u $\displaystyle{Q}$ hija rfinament ta' $\displaystyle{P}\$:

$s(f,P) \leq s(f,Q) \leq S(f,Q) \leq S(f,P)$.

Lemma 2.:

Għal kull żewġ partizzjonijiet $\displaystyle{P,Q}$ ta' $\displaystyle{[a,b]}\$:

$s(f,P) \leq S(f,Q)$.

Ħalli jkunu

$s(f) \displaystyle{=} \sup\{ s(f,P): P$ partizzjoni ta' $\displaystyle{[a,b]} \}$, $S(f) \displaystyle{=} \inf \{ S(f,P): P$ partizzjoni ta' $\displaystyle{[a,b]} \}$.

$\displaystyle{s(f)}$ ngħidulu l-integral inferjuri u $\displaystyle{S(f)}$ l-integral superjuri. Mill-lemma preċidenti nistgħu niddeduċu li dawn jissodisfaw

$s(f) \leq S(f).$

Definizzjoni

Definizzjoni: Integral skont Riemann

Jekk $\displaystyle{s(f) = S(f)}$ ngħidu li l-funzjoni $\displaystyle{f}$ hi integrabbli skont Riemann fuq l-intervall magħluq limitat $\ [a,b]$ u l-valur kommuni ngħidulu l-integral ta' $\displaystyle{f}$ fuq $\ [a,b]$ u nuruh bis-simbolu:

$\int_{a}^{b}\!\! f(x) {\rm d}x.$

In-numri $\displaystyle{a}$, $\displaystyle{b}$ ngħidulhom it-truf tal-integrazzjoni u $\displaystyle{f}\$ l-integrand ($\displaystyle{a}$ l-ewwel tarf, $\displaystyle{b}$ it-tieni tarf). Il-varjabbli ta' integrazzjoni hi varjabbli muta jiġifieri $\int\!\!\! f(x){\rm d}x$ tfisser l-istess bħal $\int\!\!\! f(t){\rm d}t$. Id-$\displaystyle{{\rm d}x}$ insibuha bħala d-differenzjali tal-varjabbli tal-integrazzjoni.

Jekk il-funzjoni integrabbli $\displaystyle{f}$ hi posittiva l-integral hu daqs l-arja tar-reġjun:

$\{(x,y)\ |\ 0 \leq y \leq f(x),\ x \in [a,b]\}.$

Jekk il-funzjoni $\displaystyle{f}$ tibdel is-senju fuq $\displaystyle{[a,b]}$ l-integral jirrappreżenta is-somma tal-arji bis-senju differenti, posittiv jekk l-arja tkun fuq l-assi tal-axissa, negattiv jekk tkun taħt.

Ħalli tkun il-partizzjoni li taqsam l-intervall $\displaystyle{\ [a,b]}$ f'sottointervalli ugwali ta' tul $\displaystyle{(b-a)/n}$. Jekk il-limiti ta' $\displaystyle{s(f,P_n)}$ u ta' $\displaystyle{S(f,P_n)}$ meta $\displaystyle{n}$ tersaq lejn l-infinit huma l-istess, imbagħad ikollna

$s(f)\geq \lim_{n \to \infty} s(f,P_n)= \lim_{n \to \infty}S(f,P_n) \geq S(f)$

u allura, la $\displaystyle{s(f)\leq S(f)}$, ikollna wkoll

$\displaystyle{s(f)=S(f).}$

Eżempju 1.

Ħalli $\displaystyle{f(x)=x^2}$ u l-intervall ikun $\displaystyle{\ [0,1]}$. Imbagħad

$\displaystyle{M_k=\sup\{x^2\,|\,x\in[(k-1)/n,k/n]\}=(k/n)^2}$

u

$\displaystyle{m_k=\inf\{x^2\,|\,x\in[(k-1)/n,k/n]\}=((k-1)/n)^2}.$

Mela

$\displaystyle{S(f,P_n)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^2=\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n k^2 =\frac{1}{3}\left(\frac{n+1}{n}\right)\left(\frac{2n+1}{2n}\right), }$

fejn użajna l-formula $\displaystyle{1^2+2^2+\ldots+n^2=n(n+1)(2n+1)/6}$.

Bl-istess mod

$\displaystyle{s(f,P_n)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left(\frac{k-1}{n}\right)^2=\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n-1} k^2 =\frac{1}{3}\left(\frac{n-1}{n}\right)\left(\frac{2n-1}{2n}\right). }$

Allura

$\int_0^1x^2{\rm d}x=\lim_{n \to \infty} s(f,P_n)= \lim_{n \to \infty}S(f,P_n) =\frac{1}{3}.$

Eżempju 2.

B'kuntrast mal-eżempju ta' qabel, ejjew nikkunsidraw il-funzjoni $\displaystyle{g:[0,1]\mapsto \mathbb{R}}$ definita hekk

${g(x)=\begin{cases}1,\ \mathrm{jekk}\ x \ \mathrm{hija\ razzjonali} \\ 0,\ \mathrm{jekk}\ x \ \mathrm{hija\ rrazzjonali}. \end{cases} }$

Għal kull partizzjoni tal-intervall $\displaystyle{[0,1]}$, f'kull sottointervall $\displaystyle{[x_{k-1},x_k]}$ hemm numri razzjonali u irrazzjonali u mela $\displaystyle{M_k=1}$ u $\displaystyle{m_k=0}$. Għalhekk

$s(g,P) = \sum_{k=1}^n m_k (x_k-x_{k-1})=0$ $s(g,P) = \sum_{k=1}^n m_k (x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^n (x_k-x_{k-1})=1.$

Mela $\displaystyle{s(g)=0}$ u $\displaystyle{S(g)=1}$. La dawn mhux imdaqs nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni $\displaystyle{g}$ mhux integrabbli.

La mhux kull funzjoni hi integrabbli, hemm bżonn li niddeċiedu meta l-integral ta' funzjoni jeżisti jew le. Il-quddiem nagħtu żewġ klassijiet wiesa' ta' funzjonijiet li huma integrabbli. It-teorema li ġejja hi utli ħafna għal din id-deċizzjoni.

Teorema 1: Kundizzjoni meħtieġa u biżżejjed għall-integrabbiltà

Halli $\displaystyle{f}$ tkun funzjoni limitata fuq $\displaystyle{[a,b]}$. Imbagħad $\displaystyle{f}$ hi integrabbli jekkk (jekk u biss jekk), għal kull $\displaystyle{\epsilon \,>\, 0}$, teżisti partizzjoni $\displaystyle{P}$ ta' $\displaystyle{[a,b]}$ li għaliha

$\displaystyle{S(f,P) - s(f,p) < \epsilon.}$

Prova : Nissoponu li $\displaystyle{f}$ hi integrabbli u hekk $\displaystyle{S(f)=s(f)}$. Għall kull $\displaystyle{\epsilon>0}$ mogħtija, teżisti partizzjoni $\displaystyle{P_1}$ ta' $\displaystyle{[a.b]}$ li tissodisfa

$\displaystyle{s(f,P_1)> s(f) - \frac{\epsilon}{2}.}$

(Din issegwi mid-definizzjoni tas-supremum). Bl-istess mod teżisti partizzjoni $\displaystyle{P_2}$ ta' $\displaystyle{[a.b]}$ li tissodisfa

$\displaystyle{S(f,P_2)< S(f) + \frac{\epsilon}{2}.}$

Ħalli $\displaystyle{P=P_1\cup P_2}$. Imbagħad minn Lemma 1, għandna

$\displaystyle{S(f,P)-s(f,P)\leq S(f,P_2)-s(f,P_1)<\left (S(f) + \frac{\epsilon}{2}\right)-\left (s(f) - \frac{\epsilon}{2}\right)=S(f)-s(f)+\epsilon=\epsilon.}$

Min naħa l-oħra, nissoponu li għall kull $\displaystyle{\epsilon>0}$ mogħtija, teżisti partizzjoni $\displaystyle{P}$ ta' $\displaystyle{[a.b]}$ li tissodisfa $\displaystyle{S(f,P)< s(f,P) + \epsilon}$. Allura

$\displaystyle{S(f)\leq S(f,P)< s(f,P) + \epsilon\leq s(f)+ \epsilon.}$

La $\displaystyle{\epsilon }$ hi arbitrarja, bilfors li $\displaystyle{S(f)\leq s(f)}$ u allura $\displaystyle{S(f)=s(f)}$ u $\displaystyle{f}$ hi integrabbli.

Proprjetajiet tal-integral skont Riemann

Integrabbiltà

Proprijetà 1: Il-monotonija hi biżżejjed għall-integrabbiltà

Jekk il-funzjoni $\ f:[a,b] \to \R$ hi monotona, allura hi integrabbli.

Prova: Nissoponu li l-funzjoni $\ f$ tiżdied fuq $\ [a,b]$. Il-każ fejn tonqos hu simili. Jekk ningħataw $\epsilon >0$, nistgħu nagħzlu $\delta>0$ li tissodisfa

$\delta<\frac{\epsilon}{f(b)-f(a)}.$

Ħalli $P$ tkun partizzjoni tal-intervall $\ [a,b]$ f'sottointervalli $\ [x_{k-1},x_{k}]$ ta' wisa' inqas minn $\delta$. Mill-monontonija għandna li $\ M_k=f(x_k)$ u $\ m_k=f(x_{k-1})$. Mela

$0<S(f,P)-s(f,P)= \sum_{k=1}^{n} (f(x_k)-f(x_{k-1}))(x_{k}-x_{k-1})<\frac{\epsilon}{f(b)-f(a)} \sum_{k=1}^{n} (f(x_k)-f(x_{k-1}))=\epsilon .$

Allura mit-Teorema 1 nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni hi integrabbli.

Proprijetà 2: Il-kontinwità hi suffiċjenti għall-integrabbiltà

Jekk il-funzjoni $\ f:[a,b] \to \R$ hi kontinwa, allura hi integrabbli.

Prova: La l-funzjoni $\ f:[a,b] \to \R$ hi kontinwa allura hi kontinwa uniformement. Jekk ningħataw $\epsilon >0$, teżisti $\delta>0$ li għaliha

$|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{b-a}$

kull meta $|x-y|<\delta$. Jekk $P$ hi partizzjoni tal-intervall $\ [a,b]$ f'sottointervalli $\ [x_{k-1},x_{k}]$ ta' wisa' inqas minn $\delta$, imbagħad ikollna

$0<M_k-m_k<\frac{\epsilon}{b-a}$

u mela

$0<S(f,P)-s(f,P)= \sum_{k=1}^{n} (M_k-m_k)(x_{k}-x_{k-1})<\frac{\epsilon}{b-a} \sum_{k=1}^{n} (x_{k}-x_{k-1})=\epsilon .$

Allura mit-Teorema 1 nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni hi integrabbli.

Linjarità

Proprijetà 3: Il-proprijetà tal-linjarità

Ħalli $f$ u $g$ jkunu żewġ funzjonijiet kontinwi definiti f'intervall $[a,b]$ u ħalli jkunu $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. Imbagħad:

$\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x))\, dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) {\rm d}x.$

Prova: Jekk $\displaystyle{\alpha\geq 0}$ jidher ċar li $\displaystyle{S(\alpha f)=\alpha S(f)}$ u $\displaystyle{s(\alpha f)=\alpha s(f)}$. Mela la

$\displaystyle{S(f)=s(f)=\int_a^b f(x){\rm d}x,}$

għandna

$\displaystyle{\int_a^b \alpha f(x){\rm d}x= S(\alpha f)=s(\alpha f)=\alpha \int_a^b f(x){\rm d}x.}$

B'mod simili jekk $\displaystyle{\alpha< 0}$ għandna $\displaystyle{S(\alpha f)=\alpha s(f)}$ u $\displaystyle{s(\alpha f)=\alpha S(f)}$ u allura

$\displaystyle{\int_a^b \alpha f(x){\rm d}x=\alpha \int_a^b f(x){\rm d}x.}$

Mela issa biżżejjed li nipprovaw li

$\ \int_a^b (f(x) + g(x))\, {\rm d}x= \int_a^b f(x) {\rm d}x+\int_a^b g(x){\rm d}x.$

Niftakru li

$\ \sup_{x\in D}[f(x) + g(x)] \leq \sup_{x\in D}f(x) +\sup_{x\in D}g(x) \ \ \ {\rm u}\ \ \ \inf_{x\in D}([f(x) + g(x)]) \geq \inf_{x\in D}f(x) +\inf_{x\in D}g(x)$

u għalhekk għal kull partizzjoni $\displaystyle{P}$ ta' $\displaystyle{[a,b]}$

$\ S(f+g,P) \leq S(f,P) + S(g,P) \ \ \ {\rm u}\ \ \ s(f+g,P) \geq s(f,P) + s(g,P).$

Mit-Teorema 1 nafu li għall kull $\displaystyle{\epsilon>0}$ mogħtija, jeżistu partizzjonijiet $\displaystyle{P_1}$ u $\displaystyle{P_2}$ ta' $\displaystyle{[a,b]}$ li jissodisfaw

$\displaystyle{S(f,P_1)< s(f,P_1) + \frac{\epsilon}{2}\ \ \ {\rm u}\ \ \ S(g,P_2)< s(g,P_2) + \frac{\epsilon}{2}.}$

Ħalli $\displaystyle{P=P_1\cup P_2}$. Imbagħad minn Lemma 1, għandna

$\displaystyle{S(f,P)< s(f,P) + \frac{\epsilon}{2}\ \ \ {\rm u}\ \ \ S(g,P)< s(g,P) + \frac{\epsilon}{2}.}$

Jekk nikkumbinaw id-diżugwaljanzi niksbu

$\displaystyle{S(f+g,P)< S(f,P) + S(g,P)< s(f,P) + s(g,P)+\epsilon< s(f+g,P)+\epsilon}$

u allura l-funzjoni $\displaystyle{f+g}$ hi integrabbli.

Nin-naħa l-oħra, la

$\begin{align} \int_a^b (f(x) + g(x))\, {\rm d}x &{}= S(f+g)\leq S(f+g,P)\\ &{}<s(f,P)+s(g,P)+\epsilon\\ &{}\leq s(f)+s(g)+\epsilon =\int_a^b f(x)\,{\rm d}x +\int_a^b g(x)\, {\rm d}x +\epsilon \end{align}$

u

$\begin{align} \int_a^b (f(x) + g(x))\, {\rm d}x &{}= s(f+g)\geq s(f+g,P)\\ &{}>S(f,P)+S(g,P)-\epsilon\\ &{}\geq S(f)+S(g)-\epsilon =\int_a^b f(x)\,{\rm d}x +\int_a^b g(x)\, {\rm d}x -\epsilon \end{align}$

nikkonkludu li

$\int_a^b (f(x) + g(x))\,{\rm d}x =\int_a^b f(x)\,{\rm d}x +\int_a^b g(x)\, {\rm d}x.$

Additività

Proprijetà 4: Il-proprijetà tal-additività

Jekk $f$ tkun integrabbli fuq l-intervalli $\displaystyle{[a, c]}$ u $\displaystyle{[c, b]}$, imbagħad tkun integrabbli fuq l-intervall $\displaystyle{[a, b ]}$ u

$\int_a^b f(x) {\rm d}x = \int_a^c f(x) {\rm d}x + \int_c^b f(x) {\rm d}x.$

Prova:

Mit-Teorema 1 nafu li għall kull $\displaystyle{\epsilon>0}$ mogħtija, jeżistu partizzjonijiet $\displaystyle{P_1}$ ta' $\displaystyle{[a,c]}$ u $\displaystyle{P_2}$ ta' $\displaystyle{[c,b]}$ li jissodisfaw

$\displaystyle{S(f,P_1)- s(f,P_1) < \frac{\epsilon}{2}\ \ \ {\rm u}\ \ \ S(f,P_2)- s(f,P_2) <\frac{\epsilon}{2}.}$

Ħalli $\displaystyle{P=P_1\cup P_2}$. Din partizzjoni ta' $\displaystyle{[a,b]}$ u għandna

$\displaystyle{S(f,P)-s(f,P)= S(f,P_1)+ S(f,P_2)-s(f,P_1)- s(f,P_2)=(S(f,P_1)- s(f,P_1))+(S(f,P_2)- s(f,P_2))<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon .}$

Mela $\displaystyle{f}$ hi integrabbli fuq $\displaystyle{[a,b]}$.

Nin-naħa l-oħra, la

$\begin{align} \int_a^b f(x) \, {\rm d}x &{}\leq S(f,P)= S(f,P_1)+ S(f,P_2)\\ &{}<s(f,P_1)+ s(f,P_2)+\epsilon\\ &{}\leq \int_a^c f(x)\,{\rm d}x +\int_c^b f(x)\,{\rm d}x +\epsilon \end{align}$

u

$\begin{align} \int_a^b f(x) \, {\rm d}x &{}\geq s(f,P)= s(f,P_1)+ s(f,P_2)\\ &{}>S(f,P_1)+ S(f,P_2)-\epsilon\\ &{}\geq \int_a^c f(x)\,{\rm d}x +\int_c^b f(x)\,{\rm d}x -\epsilon \end{align}$

nikkonkludu li

$\int_a^b f(x) {\rm d}x = \int_a^c f(x) {\rm d}x + \int_c^b f(x) {\rm d}x$

kif nixiequ.

Monotonija

Proprijetà 5: Il-propijetà tal-monotonija

Jekk $f$ u $\ {\displaystyle g}$ ikunu żewġ funzjonijiet integrabbli fuq l-intervall $\ [a,b]$ u $f(x) \le g(x)$ għal kull $\ x\in [a,b]$, imbagħad $\int_a^b f(x) {\rm d}x \le \int_a^b g(x) {\rm d}x.$

Prova : Jekk $f(x) \le g(x)$ għal kull $\ x\in [a,b]$, għal kull partizzjoni $\displaystyle{P}$ ta' $\displaystyle{[a,b]}$ ikollna

$\ S(f,P) \leq S(g,P) \ \ \ {\rm u}\ \ \ s(f,P) \leq s(g,P)$

Minn dawn id-diżugwaljanzi nikkonkludu l-monotonija tal-integral.

Valur assolut

Teorema: Teorema tal-valur assolut

Jekk $f$ tkun integrabbli fl-intervall $\ [a,b]$, imbagħad $|f|$ hi wkoll integrabbli u $\left | \int_a^b f(x) {\rm d}x \right | \le \int_a^b \left | f(x) \right | {\rm d}x.$

Prova: Ħalli $\displaystyle{P}$ tkun partizzjoni ta' $\displaystyle{[a,b]}$ f'$\displaystyle{n}$ sottointervalli

$P=\{a=x_0<x_1<x_2<\ldots < x_{n-1}<x_n =b\}$,

u

${\tilde m}_k = \inf \{|f(x)| : x \in [x_{k-1},x_k]\}, \ \ {\tilde M}_k = \sup \{|f(x)| : x \in [x_{k-1},x_k]\}.$

Mid-diżugwaljanza

$|f(x)| -|f(y)|\leq |f(x) -f(y)|\leq M_k -m_k$

għal kull $\displaystyle{x,y\in [x_{k-1},x_k]}$, nikkonkludu li

${\tilde M}_k -{\tilde m}_k\leq M_k -m_k$

u allura

$S(|f|,P)-s(|f|,P)\leq S(f,P)-s(f,P).$

Mela la $\displaystyle{f}$ hi integrabbli, $\displaystyle{|f|}$ hi integrabbli wkoll.

Id-diżugwaljanza bejn l-integrali, niksbuha mir-relazzjoni $\pm f(x) \leq| f(x) |$ valida għal kull $x\in[a,b]$.

Teorema tal-medja

Teorema: Teorema integrali tal-medja

Jekk $f:[a,b]\to \mathbb R\!$ tkun kontinwa imbagħad teżisti $c \in [a,b]\!$ li għaliha

${{1} \over {b-a}} \int_{a}^{b} f(x)\,{\rm d}x=f(c).\!$

Prova: La $f\!$ hi kontinwa f'$[a,b]\!$, bit-teorema ta' Weierstrass għandha massimu $M\!$ u minimu $m\!$ f'$[a,b]\!$:

$\sup_{x\in[a,b]}f(x)=M\mbox{ u }\inf_{x\in[a,b]}f(x)=m.\!$

Mela

$m \le f(x) \le M\!.$

Mill-proprijetà tal-monotonija tal-integral jirriżulta li

$m(b-a)=\int_{a}^{b} m \, {\rm d}x \le \int_{a}^{b} f(x) \, {\rm d}x \le \int_{a}^{b} M\,{\rm d}x=M(b-a)\!$

u allura

$m \le {{1} \over {b-a}} \int_{a}^{b} f(x)\,{\rm d}x\le M.\!$

Issa mill-proprijetajiet tal-funzjonijiet kontinwi nafu li $f\!$ f' $[a,b]\!$ trid tieħu il-valuri kollha f'$[m,M]\!$. Allura, in partikulari teżisti $c\in [a,b]\!$ li tissodisfa $f(c)={{1} \over {b-a}} \int_{a}^{b} f(x) {\rm d}x$.

Kalkulu differenzjali u kalkulu integrali

F'din is-sezzjoni nagħtu ż-żewġ teoremi fundamentali tal-kalkulu integrali li jistabillixxu il-konnessjoni intima li teżisti bejn il-kalkulu differenzjali u l-kalkulu integrali. Dawn it-teoremi huma s-sissien tal-analisi integrali fis-sens li huma l-ħolqa li tgħaqqad il-kalkulu differenzjali mal-kalkulu integrali.

Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali I

Teorema: Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali I

Jekk $f:[a,b]\to \mathbb R$ tkun kontinwa, imbagħad il-funzjoni integrali $F:[a,b]\to \mathbb R$ definita bħala

$F(x):=\int_a^x f(t) {\rm d}t$

tkun derivabbli f' $\displaystyle{[a,b]}$ u jkollha derivata $F^\prime(c)=f(c)$ għal kull $c \in[a,b]$.

Prova: Nieħdu $c \in[a,b]$. Imbagħad għal kull $\displaystyle{\epsilon>0}$ mogħtija, teżisti $\displaystyle{\delta>0}$ li għaliha

$\displaystyle{|f(t)-f(c)|<\epsilon,}$

jekk $|t-c|\leq\delta .$ Jidher ċar li

$f(c)=\frac{1}{\delta}\int_c^{c+\delta} f(c){\rm d}t$

u li

$\frac{F(c+\delta)-F(c)}{\delta}=\frac{1}{\delta}\int_c^{c+\delta}f(t){\rm d}t.$

Allura għandna

$\frac{F(c+\delta)-F(c)}{\delta}-f(c)=\frac{1}{\delta}\int_c^{c+\delta}(f(t)-f(c)){\rm d}t$

u għalhekk

$\left |\frac{F(c+\delta)-F(c)}{\delta}-f(c)\right|\leq\frac{1}{\delta}\int_c^{c+\delta}|f(t)-f(c)|{\rm d}t.$

Mela $\frac{F(c+\delta)-F(c)}{\delta}$ tikkonverġi lejn $\displaystyle{f(c)}$ meta $\displaystyle{\delta}$ tersaq lejn 0, u allura

$F'(c):=\lim_{\delta\to 0}\frac{F(c+\delta)-F(c)}{\delta}=f(c).$

Nota: Fil-kalkulu differenzjali hemm dan il-kunċett tal-primittiva:

Funzjoni $\ F$ derivabbli f'intervall $\ [a,b]$ ngħidulha l-primittiva ta' $\ f$ f' $\ [a,b]$ jekk:

$\ F'(x)=f(x)$

għal kull $x \in [a,b]$.

Mela dan it-teorema jiggarantixxi l-eżistenza ta' primittiva.

Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali II

Teorema: Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali II

Jekk $f:[a,b]\to \mathbb R$ tkun derivabbli, u d-derivata $f'$ tkun integrabbli, imbagħad

$\int_a^b f'(t){\rm d}t=f(b)-f(a).$

Prova: Ħalli $\displaystyle{P}$ tkun partizzjoni ta' $\displaystyle{[a,b]}$ f'$\displaystyle{n}$ sottointervalli

$P=\{a=x_0<x_1<x_2<\ldots < x_{n-1}<x_n =b\},$

u

${\tilde m}_k = \inf \{f'(x) : x \in [x_{k-1},x_k]\}, \ \ {\tilde M}_k = \sup \{f'(x) : x \in [x_{k-1},x_k]\}.$

Billi napplikaw it-teorema tal-valur medju għall kull intervall $\displaystyle{[x_{k-1},x_k]}$, niksbu punti $\displaystyle{t_k\in (x_{k-1},x_k)}$, li għalihom

$\displaystyle{f(x_k)-f(x_{k-1}=f'(t_k)(x_k-x_{k-1}).}$

Mela għandna

$f(b)-f(a)=\sum_{k=1}^n[f(x_k)-f(x_{k-1})]=\sum_{k=1}^n f'(t_k)(x_k-x_{k-1}).$

La $\displaystyle{{\tilde m}_k}\leq f(t_k)\leq {\tilde M}_k$ għal kull $\displaystyle{k}$, isegwi li

$s(f',P)\leq f(b)-f(a)\leq S(f',P).$

La din hi valida għal kull partizzjoni $\displaystyle{P}$, għandna wkoll

$s(f')\leq f(b)-f(a)\leq S(f').$

Imma qegħdin nassumu li $\displaystyle{f'}$ hi integrabbli fuq $\displaystyle{[a,b]}$, u għalhekk

$s(f')=S(f')= \int_a^b f'(t){\rm d}t.$

Allura

$\int_a^b f'(t){\rm d}t=f(b)-f(a).$

Integrali impropri

Ngħidu li l-funzjoni $f$ hi assolutament integrabbli fuq intervall tat-tip $[a,\infty)$ jekk u biss jekk fuq dan l-intervall, il-funzjoni |$f$| hija wkoll integrabbli.

Hemm ukoll teorema li tiggarantixxi li funzjoni li hi assolutament integrabbli hi integrabbli, fuq l-intervall tat-tip $[a,\infty]$:

Teorema: Teorema tal-integrabbiltà assoluta

Jekk $f$ tkun assolutament integrabbli, imbagħad tkun ukoll integrabbli.

Prova: Bit-teorema fuq l-eżistenza ta'l-integrali nafu li l-kondizzjoni neċessarja u suffiċjenti biex $\int_{a}^{\infty}f(x) {\rm d}x$ jeżisti u hu finit hi li

$\forall \epsilon >\ 0 \quad \exists \gamma >\ 0 : \quad \forall x_1,x_2 <\ \gamma \quad \left | \int_{x_1}^{x_2}f(x) {\rm d}x\right | <\ \epsilon.$

Mill-integrabbiltà ta' $\ |f|$ nafu li l-espressjoni tal-aħħar hi valida jekk inpoġġu $\ |f(x)|$ minflok $\ f(x)$:

$\forall \epsilon >\ 0 \quad \exists \gamma >\ 0 : \quad \forall x_1,x_2 <\ \gamma \quad \left | \int_{x_1}^{x_2} \left | f(x) \right |{\rm d}x \right | <\ \epsilon.$

Imma mill-proprietà tal-valur assolut għall-integrali għandna

$\left | \int_a^b f(x) {\rm d}x \right | \le \int_a^b \left | f(x) \right | {\rm d}x.$

U mela nistgħu niktbu

$\forall \epsilon >\ 0 \quad \exists \gamma >\ 0 : \quad \forall x_1,x_2 <\ \gamma \quad \int_{x_1}^{x_2} \left | f(x) {\rm d}x\right | <\ \epsilon.$

Mill-liema niksbu li $\ f$ hi integrabbli.

Hemm bżonn noqgħodu attenti li ma nħalltux dan it-teorema mal-kuntrarju tiegħu, li hu falz għax mhux il-funzjonijiet integrabbli kollha huma assolutament integrabbli. Eżempju ta' dan hi funzjoni ta' dan it-tip

${{\sin x}\over{x}}.$

L-integral skont Lebesgue

L-integral skont Riemann li tħaditna fuqu hawn fuq, għandu motivazzjoni tajba, hu sempliċi biex tiddeskrivih u hu biżżejjed għal ħtieġijiet tal-kalulu elmentari. Però, dan l-integral ma jissodisfax il-ħtieġijiet kollha tal-analisi avvanzata. L-integral skont Lebesgue jippermetti l-integrazzjoni ta' funzjonijiet iżjed ġenerali, jittratta l-funzjonijiet limitati u mhux limitati fl-istess ħin, u jħallina nbidlu lintervall $\displaystyle{[a,b]}$ f'settijiet iżjed ġenerali.

Bibljografija

• Giuseppe Scorza Dragoni - Elementi di analisi matematica I,II, III - Padova
• Mauro Picone, Gaetano Fichera - Lezioni di analisi matematica I,II - Roma
• Jean Favard - Cours d'analyse I,II - Parigi
• Federico Cafiero - Misura di integrazione - Roma
• Mauro Picone, Tullio Viola - Lezioni sulla teoria moderna dell'integrazione - Torino
• Henri Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche de functions primitives - Parigi (1904)
• Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica - Torino (1920)
• Ernesto Cesaro - Elementi di calcolo infinitesimale - Napoli
• Tom M. Apostol - Calcolo, Volume primo, Analisi 1 - Bollati Boringhieri

Ħoloq esterni

Portal Matematika

• L-Integral - Kalkolu foramli ta' primittivi
• Interactive Multipurpose Server (WIMS)