L-Integral

Minn Wikipedija, l-enċiklopedija l-ħielsa
Aqbeż lejn: navigazzjoni, fittex

Fl-analisi matematika, l-integral ta' funzjoni hu operatur matematiku li fil-każ ta' funzjoni ta' varjabbli waħda jassoċja mal-funzjoni l-arja taħt il-funzjoni sal-axissa.

Ħjiel storiku[editja]

L-idea bażika tal-kunċett tal-integral kienet digà dehret fix-xogħol ta' Arkimedi ta' Siracusa, li għex bejn il-287 u il-212 Q.K, l-ewwel parzjalment, fil-metodu li uża biex jikkalkula l-arja ta' ċirku jew ta' segment ta' parabola magħruf bħala l-metodu ta' l-eżawriment u wara iżjed preċiżament fil-kalkulazzjoni tal-arja tas-superfiċi magħluqa mill-ewwel dawra tal-ispiral (li Arkimedi stima minn fuq sa isfel bl-użu ta' każ partikulari ta' dawk li sirna nsejħulhom "sommom ta' Riemann").

Fis-seklu XVII, bosta matematiċi sabu metodi oħra inġenjużi biex jikkalkulaw l-arja taħt il-grafiku ta' funzjonijiet sempliċi, pereżempju:

x^\alpha (\alpha > - 1)\; (Fermat 1636),
\displaystyle{1/x} (Nikolaus Merkator, 1668).

Imma dan kien qabel li Newton u Leibniz skoprew indipendentement it-teorema fundamentali tal-kalkulu integrali li tefgħet id-direzzjoni tal-problema fuq it-tfittix ta' primittiva jew antiderivata tal-funzjoni.

Il-kalkulu kiseb sisien iżjed sodi b'iżvilupp tal-limiti u x-xogħol ta' Cauchy fl-ewwel nofs tas-seklu 19. L-integral kien formalizzat rigorużament għall-ewwel darba, bl-użu tal-limiti minn Riemann f'dak li ngħidulu l-integral ta' Cauchy-Riemann. Għalkemm il-funzjonijiet kollha li huma kontinwi f'biċċiet u limitati fuq intervall limitat huma integrabbli fis-sens ta' Riemann, wara bdew jiġu ikkonsidrati funzjonijiet iżjed ġenerali li għalihom id-definizzjoni ta' Riemann ma tapplikax, u Lebesgue ifformala definizzjoni differenti tal-integral ibbażata fuq it-teorija tal-miżura. Oħrajn ipproponew definizzjonijiet oħra li jestendu l-approċċ ta' Riemann u Lebesgue.

Introduzzjoni ewristika[editja]

Il-problema oriġinali tal-kalkulu integrali hu dik tad-definizzjoni u l-kalkulazzjoni tal-arja (bis-senju) tal-figura li għandha bħala truf, intervall \ I fuq l-assi tal-axissi, limitat u magħluq (l-intervall tal-integrazzjoni), il-funzjoni mogħtija \ f (il-funzjoni integrata) definita fuq \ I u limitata, u s-segmenti vertikali mit-truf tal-intervall \ I għall-grafiku tal-funzjoni \ f . In-numru reali li jagħti dik l-arja nsejħulu l-integral tal-funzjoni \ f fuq l-intervall \ I .

Jekk il-grafiku tal-funzjoni \ f hu magħmul minn segmenti, il-problema nistgħu nirriżolvuh faċilment, sakemm il-figura tista' tinqasam f'rettangli jew trapeżi li nafu niddefinixxu u nikkalkulaw l-arji tagħhom: is-somma alġebrija ta' dawk l-arji hi – għad-definizzjoni – l-integral imfittex.

Fil-każ ġenerali, l-idea bażika tikkonsisti f'li naqsmu l-figura fi strixxi vertikali dojoq, li jistgħu jitqiesu bħala rettangli, nikkalkulaw l-arja ta' kull rettanglu ċkejken u ngħoddu flimkien ir-riżultati miksuba, u hekk ikollna approssimazzjoni għan-numru li qegħdin infittxu. Billi nibqgħu nissuddividu fi strixxi dejjem idjaq u idjaq, nistgħu niksbu approssimazioni dejjem aħjar għall-integral imfittex: jekk jiġri hekk, ngħidu li l-funzjoni \ f hi integrabbli fuq l-intervall \ I . Fil-każ tal-kuntrarju, ngħidu li l-funzjoni \ f m'hijiex integrabbli fuq l-intervall \ I .

F'termini iżjed formali, naqsmu l-intervall \ [a,b] f'\ n sottointervalli tat-tip \ [x_{s-1},x_{s}] fejn \ s=1,2,...,n u \ x_{0}=a; x_{n}=b. Għal kull sottointervall nagħżlu punt \ t_s, li l-immaġni tiegħu hi \ f(t_{s}), u nħażżu r-rettanglu ċkejken li għandu bażi l-intervall \ [x_{s-1},x_{s}] u għoli \ f(t_{s}); l-arja tal-figura magħmula mir-rettangli ċkejkna kollha mibnija hekk tagħtina s-somma (msejħa ta' Cauchy-Riemann)

 \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \delta x_s := \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})(x_{s}-x_{s-1}) .

Jekk meta nċekknu l-wisa' tal-intervalli \ \delta x_s=x_{s}-x_{s-1}, il-valuri miksuba jinġemgħu fi nħawija dejjem iċken ta' numru \ i , il-funzjoni \ f hi integrabbli fuq l-intervall \ [a,b], u \ i hu l-integral tagħha.

L-analisi sħieħa tiddependi mill-fatt li kemm il-mod ta' taqsim f'intervalli, u kemm l-għażla tal-punti ġewwa dawk l-intervalli iridu jispiċċaw irrilevanti, inkella jiġri li l-arja taħt il-kurva fuq l-intervall ikollha valur li jvarja mal-għażla ta' taqsim f'intervalli u kif il-punti jintgħażlu fl-intervalli.

Il-quddiem nagħtu kundizzjonijiet suffiċjenti biex jiġri dan.

Integral ta' Riemann[editja]

Rappresentazzjoni grafika tal-integral ta' Riemann

Ejjew naqsmu l-intervall kompatt \ [a,b] permezz ta' partizzjoni \displaystyle{P} f'\displaystyle{n} sottointervalli :

P=\{a=x_0<x_1<x_2<\ldots < x_{n-1}<x_n =b\},

Ħalli jkunu

  • m_k = \inf \{f(x): x \in [x_{k-1},x_k]\}
  • M_k = \sup \{f(x): x \in [x_{k-1},x_k]\}.

Niddefinixxu s-somma integrali inferjuri (relattiva għall-partizzjoni \displaystyle{P}):

s(f,P) = \sum_{k=1}^n m_k (x_k-x_{k-1}).

Jekk nammettu li  \displaystyle{f} tieħu valuri pożittivi fl-intervall, \displaystyle{s(f,P)} hija s-somma tar-rettangli inskritti fir-reġjun tal-pjan  \mathbb{R}, taħt il-grafiku ta'  \displaystyle{f}.

Niddefinixxu s-somma integrali superjuri (relattiva għall-partizzjoni \displaystyle{P}):

S(f,P) = \sum_{k=1}^n M_k (x_k-x_{k-1})

Analogament, \displaystyle{S(f,P)} hi s-somma tal-arji tar-rettangli ċirkoskritti fir-regjun \mathbb{R}.

Jidher ċar li jekk m \leq f(x) \leq M, \  \forall x \in [a,b] imbagħad għal kull partizzjoni \displaystyle{P} ta' \displaystyle{[a,b]}\ :

m(b-a) \leq s(f,P) \leq S(f,P) \leq M (b-a).

Dawn iż-żewġ lemmata wieħed jista' jipprovahom faċilment:

Lemma 1.:

Jekk \displaystyle{P} u \displaystyle{Q} huma partizzjonijiet ta' \displaystyle{[a,b]} u \displaystyle{Q} hija rfinament ta' \displaystyle{P}\ :

s(f,P) \leq s(f,Q) \leq S(f,Q) \leq S(f,P).



Lemma 2.:

Għal kull żewġ partizzjonijiet \displaystyle{P,Q} ta' \displaystyle{[a,b]}\ :

 s(f,P) \leq S(f,Q) .


Ħalli jkunu

 s(f) \displaystyle{=} \sup\{ s(f,P): P partizzjoni ta' \displaystyle{[a,b]} \},
 S(f) \displaystyle{=} \inf \{ S(f,P): P partizzjoni ta' \displaystyle{[a,b]} \}.

 \displaystyle{s(f)} ngħidulu l-integral inferjuri u  \displaystyle{S(f)} l-integral superjuri. Mill-lemma preċidenti nistgħu niddeduċu li dawn jissodisfaw

s(f) \leq S(f).

Definizzjoni[editja]

Definizzjoni: Integral skont Riemann

Jekk \displaystyle{s(f) = S(f)} ngħidu li l-funzjoni  \displaystyle{f} hi integrabbli skont Riemann fuq l-intervall magħluq limitat \ [a,b] u l-valur kommuni ngħidulu l-integral ta'  \displaystyle{f} fuq \ [a,b] u nuruh bis-simbolu:

\int_{a}^{b}\!\! f(x) {\rm d}x.


In-numri  \displaystyle{a},  \displaystyle{b} ngħidulhom it-truf tal-integrazzjoni u  \displaystyle{f}\ l-integrand ( \displaystyle{a} l-ewwel tarf,  \displaystyle{b} it-tieni tarf). Il-varjabbli ta' integrazzjoni hi varjabbli muta jiġifieri \int\!\!\! f(x){\rm d}x tfisser l-istess bħal \int\!\!\! f(t){\rm d}t. Id- \displaystyle{{\rm d}x} insibuha bħala d-differenzjali tal-varjabbli tal-integrazzjoni.

Jekk il-funzjoni integrabbli \displaystyle{f} hi posittiva l-integral hu daqs l-arja tar-reġjun:

 \{(x,y)\ |\ 0 \leq y \leq f(x),\ x \in [a,b]\}.

Jekk il-funzjoni \displaystyle{f} tibdel is-senju fuq \displaystyle{[a,b]} l-integral jirrappreżenta is-somma tal-arji bis-senju differenti, posittiv jekk l-arja tkun fuq l-assi tal-axissa, negattiv jekk tkun taħt.


Ħalli tkun il-partizzjoni li taqsam l-intervall \displaystyle{\ [a,b]} f'sottointervalli ugwali ta' tul \displaystyle{(b-a)/n}. Jekk il-limiti ta' \displaystyle{s(f,P_n)} u ta' \displaystyle{S(f,P_n)} meta \displaystyle{n} tersaq lejn l-infinit huma l-istess, imbagħad ikollna

s(f)\geq \lim_{n \to  \infty} s(f,P_n)= \lim_{n \to  \infty}S(f,P_n)
\geq S(f)

u allura, la \displaystyle{s(f)\leq S(f)}, ikollna wkoll

\displaystyle{s(f)=S(f).}

Eżempju 1.

Ħalli \displaystyle{f(x)=x^2} u l-intervall ikun \displaystyle{\ [0,1]}. Imbagħad

\displaystyle{M_k=\sup\{x^2\,|\,x\in[(k-1)/n,k/n]\}=(k/n)^2}

u

\displaystyle{m_k=\inf\{x^2\,|\,x\in[(k-1)/n,k/n]\}=((k-1)/n)^2}.

Mela

\displaystyle{S(f,P_n)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^2=\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n k^2
=\frac{1}{3}\left(\frac{n+1}{n}\right)\left(\frac{2n+1}{2n}\right),
}

fejn użajna l-formula \displaystyle{1^2+2^2+\ldots+n^2=n(n+1)(2n+1)/6}.

Bl-istess mod

\displaystyle{s(f,P_n)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left(\frac{k-1}{n}\right)^2=\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n-1} k^2
=\frac{1}{3}\left(\frac{n-1}{n}\right)\left(\frac{2n-1}{2n}\right).
}

Allura

\int_0^1x^2{\rm d}x=\lim_{n \to  \infty} s(f,P_n)= \lim_{n \to  \infty}S(f,P_n)
=\frac{1}{3}.

Eżempju 2.

B'kuntrast mal-eżempju ta' qabel, ejjew nikkunsidraw il-funzjoni \displaystyle{g:[0,1]\mapsto  \mathbb{R}} definita hekk

{g(x)=\begin{cases}1,\ \mathrm{jekk}\ x \ \mathrm{hija\ razzjonali} \\
0,\ \mathrm{jekk}\ x \ \mathrm{hija\ rrazzjonali}. \end{cases}
}

Għal kull partizzjoni tal-intervall \displaystyle{[0,1]}, f'kull sottointervall \displaystyle{[x_{k-1},x_k]} hemm numri razzjonali u irrazzjonali u mela \displaystyle{M_k=1} u \displaystyle{m_k=0}. Għalhekk

s(g,P) = \sum_{k=1}^n m_k (x_k-x_{k-1})=0
s(g,P) = \sum_{k=1}^n m_k (x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^n  (x_k-x_{k-1})=1.

Mela \displaystyle{s(g)=0} u \displaystyle{S(g)=1}. La dawn mhux imdaqs nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni \displaystyle{g} mhux integrabbli.

La mhux kull funzjoni hi integrabbli, hemm bżonn li niddeċiedu meta l-integral ta' funzjoni jeżisti jew le. Il-quddiem nagħtu żewġ klassijiet wiesa' ta' funzjonijiet li huma integrabbli. It-teorema li ġejja hi utli ħafna għal din id-deċizzjoni.

Teorema 1: Kundizzjoni meħtieġa u biżżejjed għall-integrabbiltà

Halli \displaystyle{f} tkun funzjoni limitata fuq \displaystyle{[a,b]}. Imbagħad \displaystyle{f} hi integrabbli jekkk (jekk u biss jekk), għal kull \displaystyle{\epsilon \,>\, 0}, teżisti partizzjoni \displaystyle{P} ta' \displaystyle{[a,b]} li għaliha

\displaystyle{S(f,P) - s(f,p) < \epsilon.}


Prova : Nissoponu li \displaystyle{f} hi integrabbli u hekk \displaystyle{S(f)=s(f)}. Għall kull \displaystyle{\epsilon>0} mogħtija, teżisti partizzjoni \displaystyle{P_1} ta' \displaystyle{[a.b]} li tissodisfa

\displaystyle{s(f,P_1)> s(f) - \frac{\epsilon}{2}.}

(Din issegwi mid-definizzjoni tas-supremum). Bl-istess mod teżisti partizzjoni \displaystyle{P_2} ta' \displaystyle{[a.b]} li tissodisfa

\displaystyle{S(f,P_2)< S(f) + \frac{\epsilon}{2}.}

Ħalli \displaystyle{P=P_1\cup P_2}. Imbagħad minn Lemma 1, għandna

\displaystyle{S(f,P)-s(f,P)\leq S(f,P_2)-s(f,P_1)<\left (S(f) + \frac{\epsilon}{2}\right)-\left (s(f) - \frac{\epsilon}{2}\right)=S(f)-s(f)+\epsilon=\epsilon.}


Min naħa l-oħra, nissoponu li għall kull \displaystyle{\epsilon>0} mogħtija, teżisti partizzjoni \displaystyle{P} ta' \displaystyle{[a.b]} li tissodisfa \displaystyle{S(f,P)< s(f,P) + \epsilon}. Allura

\displaystyle{S(f)\leq S(f,P)< s(f,P) + \epsilon\leq s(f)+ \epsilon.}

La \displaystyle{\epsilon } hi arbitrarja, bilfors li \displaystyle{S(f)\leq s(f)} u allura \displaystyle{S(f)=s(f)} u \displaystyle{f} hi integrabbli.

Proprjetajiet tal-integral skont Riemann[editja]

Integrabbiltà[editja]

Proprijetà 1: Il-monotonija hi biżżejjed għall-integrabbiltà

Jekk il-funzjoni \ f:[a,b] \to \R hi monotona, allura hi integrabbli.

Prova: Nissoponu li l-funzjoni \ f tiżdied fuq \ [a,b]. Il-każ fejn tonqos hu simili. Jekk ningħataw \epsilon >0, nistgħu nagħzlu \delta>0 li tissodisfa

\delta<\frac{\epsilon}{f(b)-f(a)}.

Ħalli P tkun partizzjoni tal-intervall \ [a,b] f'sottointervalli \ [x_{k-1},x_{k}] ta' wisa' inqas minn \delta. Mill-monontonija għandna li \ M_k=f(x_k) u \ m_k=f(x_{k-1}). Mela

 0<S(f,P)-s(f,P)= \sum_{k=1}^{n} (f(x_k)-f(x_{k-1}))(x_{k}-x_{k-1})<\frac{\epsilon}{f(b)-f(a)} \sum_{k=1}^{n} (f(x_k)-f(x_{k-1}))=\epsilon .

Allura mit-Teorema 1 nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni hi integrabbli.

Proprijetà 2: Il-kontinwità hi suffiċjenti għall-integrabbiltà

Jekk il-funzjoni \ f:[a,b] \to \R hi kontinwa, allura hi integrabbli.

Prova: La l-funzjoni \ f:[a,b] \to \R hi kontinwa allura hi kontinwa uniformement. Jekk ningħataw \epsilon >0, teżisti \delta>0 li għaliha

|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{b-a}

kull meta |x-y|<\delta. Jekk P hi partizzjoni tal-intervall \ [a,b] f'sottointervalli \ [x_{k-1},x_{k}] ta' wisa' inqas minn \delta, imbagħad ikollna

0<M_k-m_k<\frac{\epsilon}{b-a}

u mela

 0<S(f,P)-s(f,P)= \sum_{k=1}^{n} (M_k-m_k)(x_{k}-x_{k-1})<\frac{\epsilon}{b-a} \sum_{k=1}^{n} (x_{k}-x_{k-1})=\epsilon .

Allura mit-Teorema 1 nistgħu nikkonkludu li l-funzjoni hi integrabbli.

Linjarità[editja]

Proprijetà 3: Il-proprijetà tal-linjarità
Ħalli f u g jkunu żewġ funzjonijiet kontinwi definiti f'intervall [a,b] u ħalli jkunu \alpha, \beta \in \mathbb{R}. Imbagħad:

\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x))\, dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) {\rm d}x.

Prova: Jekk \displaystyle{\alpha\geq 0} jidher ċar li \displaystyle{S(\alpha f)=\alpha S(f)} u \displaystyle{s(\alpha f)=\alpha s(f)}. Mela la

\displaystyle{S(f)=s(f)=\int_a^b f(x){\rm d}x,}

għandna

\displaystyle{\int_a^b \alpha f(x){\rm d}x= S(\alpha f)=s(\alpha f)=\alpha \int_a^b f(x){\rm d}x.}

B'mod simili jekk \displaystyle{\alpha< 0} għandna \displaystyle{S(\alpha f)=\alpha s(f)} u \displaystyle{s(\alpha f)=\alpha S(f)} u allura

\displaystyle{\int_a^b \alpha f(x){\rm d}x=\alpha \int_a^b f(x){\rm d}x.}

Mela issa biżżejjed li nipprovaw li

\ \int_a^b (f(x) + g(x))\, {\rm d}x= \int_a^b f(x) {\rm d}x+\int_a^b g(x){\rm d}x.

Niftakru li

\ \sup_{x\in D}[f(x) + g(x)] \leq  \sup_{x\in D}f(x) +\sup_{x\in D}g(x) \ \ \ {\rm u}\ \ \ \inf_{x\in D}([f(x) + g(x)]) \geq  \inf_{x\in D}f(x) +\inf_{x\in D}g(x)

u għalhekk għal kull partizzjoni \displaystyle{P} ta' \displaystyle{[a,b]}

\ S(f+g,P) \leq S(f,P) + S(g,P) \ \ \ {\rm u}\ \ \ s(f+g,P) \geq s(f,P) + s(g,P).

Mit-Teorema 1 nafu li għall kull \displaystyle{\epsilon>0} mogħtija, jeżistu partizzjonijiet \displaystyle{P_1} u \displaystyle{P_2} ta' \displaystyle{[a,b]} li jissodisfaw

\displaystyle{S(f,P_1)< s(f,P_1) + \frac{\epsilon}{2}\ \ \ {\rm u}\ \ \ S(g,P_2)< s(g,P_2) + \frac{\epsilon}{2}.}

Ħalli \displaystyle{P=P_1\cup P_2}. Imbagħad minn Lemma 1, għandna

\displaystyle{S(f,P)< s(f,P) + \frac{\epsilon}{2}\ \ \ {\rm u}\ \ \ S(g,P)< s(g,P) + \frac{\epsilon}{2}.}

Jekk nikkumbinaw id-diżugwaljanzi niksbu

\displaystyle{S(f+g,P)< S(f,P) + S(g,P)< s(f,P) + s(g,P)+\epsilon< s(f+g,P)+\epsilon}

u allura l-funzjoni \displaystyle{f+g} hi integrabbli.

Nin-naħa l-oħra, la

\begin{align}
 \int_a^b (f(x) + g(x))\, {\rm d}x &{}= S(f+g)\leq S(f+g,P)\\
  &{}<s(f,P)+s(g,P)+\epsilon\\
  &{}\leq s(f)+s(g)+\epsilon =\int_a^b f(x)\,{\rm d}x +\int_a^b g(x)\, {\rm d}x +\epsilon
\end{align}

u

\begin{align}
 \int_a^b (f(x) + g(x))\, {\rm d}x &{}= s(f+g)\geq s(f+g,P)\\
  &{}>S(f,P)+S(g,P)-\epsilon\\
  &{}\geq S(f)+S(g)-\epsilon =\int_a^b f(x)\,{\rm d}x +\int_a^b g(x)\, {\rm d}x -\epsilon
\end{align}

nikkonkludu li


 \int_a^b (f(x) + g(x))\,{\rm d}x =\int_a^b f(x)\,{\rm d}x +\int_a^b g(x)\, {\rm d}x.

Additività[editja]

Proprijetà 4: Il-proprijetà tal-additività
Jekk f tkun integrabbli fuq l-intervalli \displaystyle{[a, c]} u \displaystyle{[c, b]}, imbagħad tkun integrabbli fuq l-intervall \displaystyle{[a, b ]} u

\int_a^b f(x) {\rm d}x = \int_a^c f(x) {\rm d}x + \int_c^b f(x) {\rm d}x.


Prova:

Mit-Teorema 1 nafu li għall kull \displaystyle{\epsilon>0} mogħtija, jeżistu partizzjonijiet \displaystyle{P_1} ta' \displaystyle{[a,c]} u \displaystyle{P_2} ta' \displaystyle{[c,b]} li jissodisfaw

\displaystyle{S(f,P_1)- s(f,P_1) < \frac{\epsilon}{2}\ \ \ {\rm u}\ \ \ S(f,P_2)- s(f,P_2) <\frac{\epsilon}{2}.}

Ħalli \displaystyle{P=P_1\cup P_2}. Din partizzjoni ta' \displaystyle{[a,b]} u għandna

\displaystyle{S(f,P)-s(f,P)= S(f,P_1)+ S(f,P_2)-s(f,P_1)- s(f,P_2)=(S(f,P_1)- s(f,P_1))+(S(f,P_2)- s(f,P_2))<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon .}

Mela \displaystyle{f} hi integrabbli fuq \displaystyle{[a,b]}.

Nin-naħa l-oħra, la

\begin{align}
 \int_a^b f(x) \, {\rm d}x &{}\leq S(f,P)= S(f,P_1)+ S(f,P_2)\\
  &{}<s(f,P_1)+ s(f,P_2)+\epsilon\\
  &{}\leq \int_a^c f(x)\,{\rm d}x +\int_c^b f(x)\,{\rm d}x +\epsilon
\end{align}

u

\begin{align}
 \int_a^b f(x) \, {\rm d}x &{}\geq s(f,P)= s(f,P_1)+ s(f,P_2)\\
  &{}>S(f,P_1)+ S(f,P_2)-\epsilon\\
  &{}\geq \int_a^c f(x)\,{\rm d}x +\int_c^b f(x)\,{\rm d}x -\epsilon
\end{align}

nikkonkludu li


 \int_a^b f(x) {\rm d}x = \int_a^c f(x) {\rm d}x + \int_c^b f(x) {\rm d}x

kif nixiequ.

Monotonija[editja]

Proprijetà 5: Il-propijetà tal-monotonija
Jekk {\displaystyle f} u \ {\displaystyle g} ikunu żewġ funzjonijiet integrabbli fuq l-intervall \ [a,b] u f(x) \le g(x) għal kull \ x\in [a,b], imbagħad \int_a^b f(x) {\rm d}x \le \int_a^b g(x) {\rm d}x.


Prova : Jekk f(x) \le g(x) għal kull \ x\in [a,b], għal kull partizzjoni \displaystyle{P} ta' \displaystyle{[a,b]} ikollna

\ S(f,P) \leq S(g,P) \ \ \ {\rm u}\ \ \ s(f,P) \leq s(g,P)

Minn dawn id-diżugwaljanzi nikkonkludu l-monotonija tal-integral.

Valur assolut[editja]

Teorema: Teorema tal-valur assolut
Jekk f tkun integrabbli fl-intervall \ [a,b], imbagħad |f| hi wkoll integrabbli u
\left | \int_a^b f(x) {\rm d}x \right | \le \int_a^b \left | f(x) \right | {\rm d}x.


Prova: Ħalli \displaystyle{P} tkun partizzjoni ta' \displaystyle{[a,b]} f'\displaystyle{n} sottointervalli

P=\{a=x_0<x_1<x_2<\ldots < x_{n-1}<x_n =b\},

u

{\tilde m}_k = \inf \{|f(x)| : x \in [x_{k-1},x_k]\}, \ \  {\tilde M}_k = \sup \{|f(x)| : x \in [x_{k-1},x_k]\}.

Mid-diżugwaljanza

|f(x)| -|f(y)|\leq |f(x) -f(y)|\leq M_k -m_k

għal kull \displaystyle{x,y\in [x_{k-1},x_k]}, nikkonkludu li

 {\tilde M}_k -{\tilde m}_k\leq M_k -m_k

u allura

 S(|f|,P)-s(|f|,P)\leq S(f,P)-s(f,P).

Mela la \displaystyle{f} hi integrabbli, \displaystyle{|f|} hi integrabbli wkoll.

Id-diżugwaljanza bejn l-integrali, niksbuha mir-relazzjoni \pm f(x)  \leq| f(x) | valida għal kull x\in[a,b].

Teorema tal-medja[editja]

Teorema: Teorema integrali tal-medja

Jekk f:[a,b]\to \mathbb R\! tkun kontinwa imbagħad teżisti c \in [a,b]\! li għaliha

{{1} \over {b-a}} \int_{a}^{b} f(x)\,{\rm d}x=f(c).\!


Prova: La f\! hi kontinwa f'[a,b]\!, bit-teorema ta' Weierstrass għandha massimu M\! u minimu m\! f'[a,b]\!:

\sup_{x\in[a,b]}f(x)=M\mbox{ u }\inf_{x\in[a,b]}f(x)=m.\!

Mela

m \le f(x) \le M\!.

Mill-proprijetà tal-monotonija tal-integral jirriżulta li

m(b-a)=\int_{a}^{b} m \, {\rm d}x \le \int_{a}^{b} f(x) \, {\rm d}x \le \int_{a}^{b} M\,{\rm d}x=M(b-a)\!

u allura

m \le {{1} \over {b-a}} \int_{a}^{b} f(x)\,{\rm d}x\le M.\!

Issa mill-proprijetajiet tal-funzjonijiet kontinwi nafu li f\! f' [a,b]\! trid tieħu il-valuri kollha f'[m,M]\!. Allura, in partikulari teżisti c\in [a,b]\! li tissodisfa f(c)={{1} \over {b-a}} \int_{a}^{b} f(x) {\rm d}x.

Kalkulu differenzjali u kalkulu integrali[editja]

F'din is-sezzjoni nagħtu ż-żewġ teoremi fundamentali tal-kalkulu integrali li jistabillixxu il-konnessjoni intima li teżisti bejn il-kalkulu differenzjali u l-kalkulu integrali. Dawn it-teoremi huma s-sissien tal-analisi integrali fis-sens li huma l-ħolqa li tgħaqqad il-kalkulu differenzjali mal-kalkulu integrali.

Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali I[editja]

Teorema: Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali I

Jekk f:[a,b]\to \mathbb R tkun kontinwa, imbagħad il-funzjoni integrali F:[a,b]\to \mathbb R definita bħala

F(x):=\int_a^x f(t) {\rm d}t

tkun derivabbli f' \displaystyle{[a,b]} u jkollha derivata F^\prime(c)=f(c) għal kull c \in[a,b].


Prova: Nieħdu c \in[a,b]. Imbagħad għal kull \displaystyle{\epsilon>0} mogħtija, teżisti  \displaystyle{\delta>0} li għaliha

\displaystyle{|f(t)-f(c)|<\epsilon,}

jekk |t-c|\leq\delta . Jidher ċar li

f(c)=\frac{1}{\delta}\int_c^{c+\delta} f(c){\rm d}t

u li

\frac{F(c+\delta)-F(c)}{\delta}=\frac{1}{\delta}\int_c^{c+\delta}f(t){\rm d}t.

Allura għandna

\frac{F(c+\delta)-F(c)}{\delta}-f(c)=\frac{1}{\delta}\int_c^{c+\delta}(f(t)-f(c)){\rm d}t

u għalhekk

\left |\frac{F(c+\delta)-F(c)}{\delta}-f(c)\right|\leq\frac{1}{\delta}\int_c^{c+\delta}|f(t)-f(c)|{\rm d}t.

Mela \frac{F(c+\delta)-F(c)}{\delta} tikkonverġi lejn \displaystyle{f(c)} meta \displaystyle{\delta} tersaq lejn 0, u allura

F'(c):=\lim_{\delta\to 0}\frac{F(c+\delta)-F(c)}{\delta}=f(c).


Nota: Fil-kalkulu differenzjali hemm dan il-kunċett tal-primittiva:

Funzjoni \ F derivabbli f'intervall \ [a,b] ngħidulha l-primittiva ta' \ f f' \ [a,b] jekk:

\ F'(x)=f(x)

għal kull x \in [a,b].

Mela dan it-teorema jiggarantixxi l-eżistenza ta' primittiva.

Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali II[editja]

Teorema: Teorema fundamentali tal-kalkulu integrali II

Jekk f:[a,b]\to \mathbb R tkun derivabbli, u d-derivata f' tkun integrabbli, imbagħad

\int_a^b f'(t){\rm d}t=f(b)-f(a).


Prova: Ħalli \displaystyle{P} tkun partizzjoni ta' \displaystyle{[a,b]} f'\displaystyle{n} sottointervalli

P=\{a=x_0<x_1<x_2<\ldots < x_{n-1}<x_n =b\},

u

{\tilde m}_k = \inf \{f'(x) : x \in [x_{k-1},x_k]\}, \ \  {\tilde M}_k = \sup \{f'(x) : x \in [x_{k-1},x_k]\}.

Billi napplikaw it-teorema tal-valur medju għall kull intervall \displaystyle{[x_{k-1},x_k]}, niksbu punti \displaystyle{t_k\in (x_{k-1},x_k)}, li għalihom

 \displaystyle{f(x_k)-f(x_{k-1}=f'(t_k)(x_k-x_{k-1}).}

Mela għandna

 f(b)-f(a)=\sum_{k=1}^n[f(x_k)-f(x_{k-1})]=\sum_{k=1}^n f'(t_k)(x_k-x_{k-1}).

La \displaystyle{{\tilde m}_k}\leq f(t_k)\leq {\tilde M}_k għal kull \displaystyle{k}, isegwi li

 s(f',P)\leq f(b)-f(a)\leq S(f',P).

La din hi valida għal kull partizzjoni \displaystyle{P}, għandna wkoll

 s(f')\leq f(b)-f(a)\leq S(f').

Imma qegħdin nassumu li \displaystyle{f'} hi integrabbli fuq \displaystyle{[a,b]}, u għalhekk

 s(f')=S(f')= \int_a^b f'(t){\rm d}t.

Allura

\int_a^b f'(t){\rm d}t=f(b)-f(a).

Integrali impropri[editja]

Ngħidu li l-funzjoni f hi assolutament integrabbli fuq intervall tat-tip [a,\infty) jekk u biss jekk fuq dan l-intervall, il-funzjoni |f| hija wkoll integrabbli.

Hemm ukoll teorema li tiggarantixxi li funzjoni li hi assolutament integrabbli hi integrabbli, fuq l-intervall tat-tip [a,\infty]:

Teorema: Teorema tal-integrabbiltà assoluta

Jekk f tkun assolutament integrabbli, imbagħad tkun ukoll integrabbli.


Prova: Bit-teorema fuq l-eżistenza ta'l-integrali nafu li l-kondizzjoni neċessarja u suffiċjenti biex  \int_{a}^{\infty}f(x) {\rm d}x jeżisti u hu finit hi li

  \forall \epsilon >\ 0 \quad   \exists \gamma >\ 0 : \quad  \forall x_1,x_2 <\ \gamma \quad  \left |   \int_{x_1}^{x_2}f(x) {\rm d}x\right | <\ \epsilon.


Mill-integrabbiltà ta' \ |f| nafu li l-espressjoni tal-aħħar hi valida jekk inpoġġu \ |f(x)| minflok \ f(x):


  \forall \epsilon >\ 0 \quad   \exists \gamma >\ 0 : \quad  \forall x_1,x_2 <\ \gamma \quad  \left |   \int_{x_1}^{x_2} \left |  f(x)  \right |{\rm d}x \right | <\ \epsilon.

Imma mill-proprietà tal-valur assolut għall-integrali għandna

\left | \int_a^b f(x) {\rm d}x \right | \le \int_a^b \left | f(x) \right | {\rm d}x.


U mela nistgħu niktbu


  \forall \epsilon >\ 0 \quad   \exists \gamma >\ 0 : \quad  \forall x_1,x_2 <\ \gamma \quad     \int_{x_1}^{x_2} \left | f(x) {\rm d}x\right | <\ \epsilon.

Mill-liema niksbu li \ f hi integrabbli.

Hemm bżonn noqgħodu attenti li ma nħalltux dan it-teorema mal-kuntrarju tiegħu, li hu falz għax mhux il-funzjonijiet integrabbli kollha huma assolutament integrabbli. Eżempju ta' dan hi funzjoni ta' dan it-tip

  {{\sin x}\over{x}}.

L-integral skont Lebesgue[editja]

L-integral skont Riemann li tħaditna fuqu hawn fuq, għandu motivazzjoni tajba, hu sempliċi biex tiddeskrivih u hu biżżejjed għal ħtieġijiet tal-kalulu elmentari. Però, dan l-integral ma jissodisfax il-ħtieġijiet kollha tal-analisi avvanzata. L-integral skont Lebesgue jippermetti l-integrazzjoni ta' funzjonijiet iżjed ġenerali, jittratta l-funzjonijiet limitati u mhux limitati fl-istess ħin, u jħallina nbidlu lintervall \displaystyle{[a,b]} f'settijiet iżjed ġenerali.

Integrali oħra[editja]

Bibljografija[editja]

Ħoloq esterni[editja]