Ekwazzjoni differenzjali

Minn Wikipedija, l-enċiklopedija l-ħielsa
Aqbeż lejn: navigazzjoni, fittex

Fl-analisi matematika, ekwazzjoni differenzjali hi relazzjoni bejn funzjoni {\displaystyle u(x)} mhux magħrufa u xi derivati tagħha.

Fil-każ li {\displaystyle u} tkun funzjoni

u:I\to \R

definita f' intervall I\! ta'  \mathbb R ngħidu li hi ekwazzjoni differenzjali ordinarja (imqassra ODE, akronimu ta' ordinary differential equation). Din ir-relazzjoni hi eżempju ta' ODE

u''(x)=u(x)+u'(x)\!.

Il-forma l-iżjed ġenerali ta' ekwazzjoni differenzjali ordinarja (invarjabbli) ta' ordni \ n hija:

f(x, u(x), u'(x), ..., u^{(n)}(x)) = 0 \!.

Insejħu ordni jew grad tal-ekwazzjoni, il-grad tal-ogħla derivata preżenti; pereżempju:

u''(x)=f(x,u(x),u'(x))\!

hi ekwazzjoni differenzjali ordinarja (il-funzjoni mhux magħrufa {\displaystyle u} hi funzjoni ta' {\displaystyle x} biss) tat-tieni ordni.

Funzjoni \ u (derivabbli għal ċertu numru ta' drabi) li tissodisfa r-relazzjoni definita mill-ekwazzjoni ngħidulha soluzzjoni tal-ekwazzjoni differenzjali.

Ġeneralment, hu diffiċli jekk mhux impossibbli li nsibu espressjoni analitika ta' funzjoni li tissodisfa ekwazzjoni differenzjali, jiġifieri nsibu soluzzjoni espliċita,. Ma dan kollu, kważi dejjem possibbli nistudjaw l-imġiba tagħha kwalitativa jew ninqdew b' computer biex insibu approssimazzjoni permezz ta' metodi numeriċi.

Matul is-sekli, mindu Leibniz u Newton ifformalizzaw il-kalkulu infiniteżmali, instabu xi każi fejn hu possibbli nsibu l-espressjoni analitika tas-soluzzjoni. Xi drabi nistgħu insibu soluzzjoni espliċita, jiġifieri \ y=f(x)\;, u xi drabi oħra impliċita, jew fil-forma

f(y)=g(x),\;\!

li tista' tinbidel f'forma espliċita biss jekk \ f hi invertibbli, u f'dal-każ ikollna

y=f^{-1}\left( g(x) \right ).

Motivazzjoni[editja]

L-ekwazzjonijiet differenziali huma l-iżjed strumenti importanti li tagħtina l-analisi matematika għall-istudju ta' mudelli matematiċi fl-iżjed setturi tax-xjenza mferrxin, mill-fiżika għall-bijoloġija għall-ekonomija. Eżempju elementari ħafna ta' kif l-ekwazzjonijiet differenziali jistgħu joħorġu naturalment mill-istudju ta' sistemi huwa dan li ġej: Nissoponu li għandna popolazzjoni ta' batteri komposta fil-bidu \left( t=0 \right) \; minn P_0\; individwi u nsejħu P(t)\; il-popolazzjoni fil-ħin {\displaystyle t}. Wieħed jistenna li, fil-medja, f'kull waqt {\displaystyle t}, wara ħin relativament żgħir {\displaystyle dt} titwieled kwantità ta' individwi ġodda proporzjonali għall-popolazzjoni u għall-ħin li għadda {\displaystyle dt}, jiġifieri daqs n  P(t)\, dt fejn n hu numru (li nissoponu kostanti) li jiddeskrivi r-rata tat-twelid; analogament wieħed jistenna li jmutu m  P(t)\, dt individwi fl-istess intervall ta' ħin, fejn m\; hu r-rata (kostanti) tal-mewt. Il-popolazzjoni fil-ħin {\displaystyle t+dt}, għalhekk, tingħata mill-popolazzjoni fil-ħin {\displaystyle t} li nżidu magħha l-popolazzjoni li għadha kif twieldet u nnaqsu dik li mietet, jiġifieri

P(t+dt)=P(t)+nP(t)dt-mP(t)dt=P(t)+(n-m)P(t)dt. \!

Għalhekk għandna

\frac {P(t+dt)-P(t)} {dt}=(n-m)P(t).

Nistgħu nagħrfu f'din l-espressjoni ir-rapport inkrementali tal-funzjoni {\displaystyle P(t)}; jekk {\displaystyle dt} hu żgħir ħafna li nistġhu nissostitwuh bid-derivata  {\displaystyle P'(t)} u niktbu:

P'(t)=(n-m)P(t). \!

Din hi ekwazzjoni differenzjali ordinarja tal-ewwel ordni. Ir-riżolużzjoni ta' din l-ekwazzjoni tfisser is-sejba ta' kif l-imġiba tal-popolazzjoni tinbidel mal-ħin, jiġifieri l-funzjoni P(t)\; li tissodisfa.

F'dal-każ faċli li nsibu s-soluzzjoni, li hi l-funzjoni:

P(t)=P_0\, e^{(n-m)t}, \!

funzjoni esponenzjali li tiżdied mal-ħin (b'mod "esplużiv") jekk {\displaystyle n>m<}, jiġifieri jekk in-natalità hi ogħla mill-mortalità, u tonqos biex tispiċċa fix-xejn malajr jekk {\displaystyle m>n}.

Il-mudell li eżaminajna, però, hu semplifikat ħafna; in ġenerali, ir-rata tal-kobor mhijiex sempliċement proporzjonali għall-popolazzjoni preżenti b'kostanti tal-proporzionalità fissa: nistennew, pereżempju, li r-riżorsi disposti jkunu limitati u mhux biżżejjed biex jissodisfaw popolazzjoni arbitrarjament kbira. Nistgħu nikkonsidraw, minflok, sitwazzjonijiet iżjed komplikati bħal dawk fejn hemm iżjed popolazzjonijiet li interaġixxu bejniethom, bħal pereżempju predi u predaturi fil-mudell ta' Volterra - Lotka.

Hekk hu importanti li jkollna metodi matematiċi biex nirriżolvu ekwazzjonijiet u sistemi ta' ekwazzjonijiet differenzjali b'mod analitiku u niksbu soluzzjoni eżatta. Imma billi dan mhux dejjem possibbli, jinħtieġu wkoll metodi biex nirriżolvuhom numerikament, jiġifieri napprossimaw is-soluzzjoni bl-idejn jew permezz ta' kalkulatur fl-inħawi ta' punt wieħed jew iżjed. Mill-banda l-oħra, jidher utli wkoll l-istudju kwalitativ tal-istruttura ġometrika tas-soluzzjonijiet meta nvarjaw id-dati inizjali jew il-parametri esterni, fejn sikwit jiġri li s-soluzzjoni tal-ekwazzjoni differenzjali għandha klassi sħieħa ta' funzjonijiet, li jiddipendu mill-parametri msejħin ġeneralment kundizjonijiet inizjali jew tax-xifer.

Problema ta' Cauchy[editja]

Il-problema ta' Cauchy assoċjat ma' ekwazzjoni differenzjali waħda jew iżjed jikkonsisti fir-riżoluzzjoni tas-sistema ffurmat mis-soluzzjoni tal-ekwazzjonijiet u tal-kundizzjoni inizjali. Bil-formuli:

\begin{cases}f(x,y,y',y'', \dots , y^n)=0\ \  \rm{in}\ \  (a,b)\\
y(a)=y_0 \\
\dots \\
y^{n-1}(a)=y_{n-1} 
\end{cases}

L-ekwazzjoni polinomjali assoċjata[editja]

L-ekwazzjoni polinomjali assoċjata ma' ekwazzjoni differenzjali linjari hi l-ekwazzjoni li tinkiseb meta nbiddlu l-funzjoni \ y(x), mhux magħrufa, fil-varjabbli awżilljarja \ \lambda b'poter rispettivament daqs l-ordni tad-derivazzjoni ta' \ y waqt li nżommu l-istess koeffiċjenti.

Pereżempju, jekk ningħtaw l-ekwazzjoni differenzjali \ y''-5y'+6y=0\;, nistgħu noħolqu ekwazzjoni fil-varjabbli awżilljarja \ \lambda skont ir-regola indikata fuq u niksbu \ \lambda^2-5\lambda+6=0\;.

Ekwazzjonijiet differenziali bid-derivati parzjali[editja]

Ekwazzjoni differenzjali bid-derivati parzjali (imqassra PDE, mill-inizjali tal-kliem Ingliżi partial differential equation) hi ekwazzjoni li tinvolvi d-derivati parzjali ta' funzjoni mhux magħrufa.

Fil-każ li \ u tkun funzjoni ta' \ k varjabbli reali indipendenti \ (x_1,\ldots,x_k), jiġifieri \ u=u(x_1,\ldots,x_k)\!, ekwazzjoni differenzjali bid-derivati parzjali ta' ordni \ n, jkollha l-forma ġenerali:

 f \left ( x_1, \ldots , x_k , u , \ldots, {{\partial u}\over{\partial x_1^n}}, \ldots, {{\partial u}\over{\partial x_k^n}}  \right ) = 0 ,

jekk \ f tiddipendi espliċitament minn mill-inqas waħda mid-derivati parzjali ta' ordni \ n ta' \ u .

L-idea hi li niddeskrivu l-funzjoni indirettament permezz ta' relazzjoni bejnha u d-derivati parzjali tagħha, minflok niktbu l-funzjoni espliċitamenti. Ir-relazzjoni trid tkun lokali: trid tgħaqqad il-funzjoni mad-derivati tagħha fl-istess punt. Soluzzjoni tal-ekwazzjoni hi funzjoni li tissodisfa r-relazzjoni.

Bibljografija[editja]

Ħoloq esterni[editja]