Probabbiltà

Il-kunċett tal- probabbiltà - li beda jintuża mis-seklu sbatax – sar, bil-mogħdija taż-żmien, il-bażi ta' bosta oqsma xjentifiċi. B'mod partikulari il-fergħa tal-istatistika (l-istatistika inferenzjali), li sservi għadd ta' xjenzi kemm naturali u kemm soċjali.

Metodoloġija

Tliet definizzjonijiet

Id-definizzjoni klassika (Laplace): tapplika għal esperimenti każwali li fihom il-ġrajjiet elementari jitqiesu ekwiprobabbli. Il-probabbiltà ta' ġrajja hu ir-rapport bejn in-numru tal-każi li jirnexxu u n-numru tal-każi possibbli, jekk dawn tal-aħħar jitqisu ugwalment possibbli.
Id-definizzjoni frekwentista (von Mises): tapplika għal esperimenti każwali li fihom il-ġrajjiet elementari ma jitqisux ugwalment possibbli, imma l-esperiment hu ripetibbli iżjed drabi taħt l-istess kundizzjonijiet. Il- probabbiltà ta' ġrajja hi marbuta mal-frekwenza relattiva li tiġi vverifikata l-ġrajja stess, fuq numru kbir ta' provi (li jersaq lejn l-infinit).
Id-definizzjoni soġġettiva jew soġġettivista (De Finetti, Savage, Ramsey): tapplika għal esperimenti każwali li fihom il-ġrajjiet elementari ma jitqisux ugwalment possibbli u l-esperiment mhux ripetibbli għal drabi oħra taħt l-istess kundizzjonijiet. Il-probabbiltà ta' ġrajja tingħata skont l-esperjenza personali u l-informazzjoni disponibbli.

Mela, jekk in-numru tal-każi possibbli huma $\displaystyle {n}$ u s-sett tal-każi li jirenexxu hu $\displaystyle {n_{A}}$ , għat-teorija klassika il-probabbiltà li tiġri l-ġrajja $\displaystyle {A}$ hi:

P(A)={\frac {n_{A}}{n}},

waqt li għat-teorija frekwentista hi:

P(A)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n_{A}}{n}}.

Fiż-żewġ definizzjonijiet il-probabbiltà hi funzjoni li għandha bħala dominju il-ġrajjiet $\displaystyle {A}$ u ko-dominju in-numri reali bejn 0 u 1, it-truf inklużi. It-teorija klassika tikkonsidra l-każi kollha bħala ekwiprobabbli, li fir-realtà mhux dejjem hekk. Il-liġi frekwentista, infatti, hi bbażata fuq l-isperimentazzjoni, jiġifieri hi liġi sperimentali msejħa wkoll liġi empirika tal-każ.

Hemm approċċ differenti, l-approċċ bayesjan li għandu bħala rappreżentant importanti lil Bruno de Finetti. Din it-teorija tintroduċi l-isperanza matematika.

Dan l-eżempju, li ta de Finetti, jiċċara kollox. Nimmaġinaw li se jkun hemm partita tal-futbol u allura l-ispazju tal-ġrajjiet se jkun fih ir-rebħa tat-tim lokali, ir-rebħa tat-tim minn barra u draw. Naraw x'jiġri fit-tliet approċċi:

skont it-teorija klassika hemm ċans ta' 1 fuq 3 li sseħħ l-ewwel ġrajja
skont it-teorija frekwentista nistgħu inħarsu lejn ir-riżultati tal-partiti li saru qabel u nikkalkulaw il-frekwenza ta' ġrajja
imbagħad, skont it-teorija soġġettiva, nistgħu nitkixfu fuq il-forma tal-players, fuq l-art li ħa jilgħabu fuqha u hekk noħorġu b'probabbiltà soġġettiva.

Hu interessanti li wieħed jinnota li fid-definizzjoni klassika hemm vizzju loġiku. Il-fatt li nissoponu li l-każi kollha huma ugwalment possibbli jimplika li diġà tajna definizzjoni tal-probabbiltà fil-waqt stess meta qegħdin niddefinixxu l-probabbiltà.

Definizzjoni frekwentista

Kalkulu tal-Probabbiltà

Fil-matematika bil-kalkulu tal-probabbiltà nfissru l-istudju tal-ġrajjiet każwali probabbli, jiġifieri dawk il-ġrajjiet li jistgħu jiġru jew ma jiġrux u jiddependu biss mill-każ. Dan l-istudju jippermetti li nassenjaw lill-ġrajjiet każwali valur numeriku biex inkunu nistgħu inħarsu oġġettivament lejhom u niddeċiedu liema bejniethom għandhom l-ikbar probabbiltà li jiġru. Il-probabbiltà matematika ta' ġrajja każwali hi ugwali għar-rapport bejn in-numru tal-każi li jiġru u l-każi possibbli, jekk nammettu li l-każi kollha għandhom l-istess possibblità li jiġru.

Fit-tfiegħ każwali ta' damma mhux imbabbsa, il-probabbiltà li nitfgħu in-naħa bin-numru 2 għandha probabbiltà matematika ta' 1/6, billi n-numru tal-każi possibbli huma 6, għax id-damma għandha 6 naħat, u billi n-numru tal-każi fejn isseħħ il-ġrajja "tfiegħ tan-naħa 2" hu 1, għax id-damma għandha naħa waħda biss bin-numru 2. Hekk ġrajja każwali nassjoċċjawha ma' numru bejn 0 u 1: il-probabbiltà matematika tagħha ikkalkulata bil-mod deskritt hawn fuq.

Meta ma nkunux nafu in-numru tal-każi li jirnexxu jew in-numru tal-każi possibbli, jew ma nkunux nafu la wieħed u lanqas l-ieħor għal ġrajja każwali, hu ċar li ma nistgħux nikkalkulaw il-probabbiltà matematika tagħha. F'dal-każ ikollna nirrikorru għall-istatistika ddeterminata minn mudell naturali jew artifiċjali tal-ġrajja każwali li qegħdin nistudjaw. Jekk il-kampjun hu kbir biżżejjed, il-Liġi tan-Numri Kbar tgħid li nistgħu nikkunsidraw il-frekwenza tal-ġrajja ugwali għall-istatistika tagħha.

Id-definizzjoni frekwentista hi msejsa fuq il-liġi (jew postulat) empirika tal-każ jiġifieri l-Liġi tan-Numri Kbar: f'suċċessjoni ta' provi magħmulin fl-istess kundizzjonijiet, il-frekwenza ta' ġrajja tersaq lejn il-probabbiltà tal-ġrajja stess, u l-approssimazzjoni titjieb meta nżidu n-numru tal-provi.

L-approċċ assjomatiku

L-approċċ assjomatiku tal-probabbiltà ġej mill-proposta ta' Andrej Nikolaevič Kolmogorov fl-1933 fil-Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Kunċetti fundamentali tal-kalkulu tal-probabbiltà). Ir-riċerka dak iż-żmien kienet għada kristallizzata fuq id-dibattitu bejn dawk li kienu jikkunsidraw il-probabbiltà bħala limitu ta' frekwenzi relattivi (ara l-approċċ frekwentista) u dawk li kienu qegħdin ifittxu sisien loġiċi għaliha. L-approċċ assiomatiku tiegħu wera ruħu biżżejjed biex iwarrab jekk wieħed kienx iżomm ma' skola ta' ħsieb jew oħra.

Il-ġrajjiet huma sottosettijiet ta' spazju $\displaystyle {S}$ , u jiffurmaw klassi additiva $\displaystyle {A}$ .
Għal kull $\displaystyle {a}$ fil-klassi $\displaystyle {A}$ hu assenjat numru reali $\displaystyle {P(a)}$ mhux negattiv u qatt ikbar minn wieħed, msejjaħ il-probabbiltà ta' $\displaystyle {a}$ ;
$\displaystyle {P(S)=1}$ , jiġifieri l-probabbiltà ta' ġrajja żgura hi 1;
Jekk l-intersezzjoni bejn $\displaystyle {a}$ u $\displaystyle {b}$ hi vojta, allura $\displaystyle {P(a\cup b)=P(a)+P(b)}$ ;
Jekk $\displaystyle {A(n)}$ hi successjoni ta' ġrajjiet li tonqos u meta $\displaystyle {n}$ tersaq lejn l-infinit, l-intersezzjoni tal- $\displaystyle {A(n)}$ tersaq lejn $\displaystyle {\emptyset }$ , imbagħad $\lim _{n\to \infty }P(A(n))=0$ .

Teoremi

Mill-assjomi msemmijin hawn fuq joħorġu dawn it-teoremi fundamentali:

it-Teorema tal-probabbiltà totali: $P(A\cup A)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ ;
it-Teorema tal-probabbiltà komposta: $P(A\cap B)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)$ ;
it-Teorema tal-probabbiltà assoluta: $\displaystyle {P(B)=\sum _{i}P(A_{i})P(B|A_{i})}$ ;
it-Teorema ta' Bayes: $P(A_{k}|B)=P(A_{k})P(B|A_{k}){\big /}\sum _{I}P(A_{i})P(B|A_{i})$ ,

u konċetti tal-qofol bħal

il-probabbiltà kondizzjonata: $P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)$ ;
l-indipendenza stokastika: $P\displaystyle {(A|B)=P(A)}$ .

Ħjiel storiku

L-ewwel studji li wara waslu għall-kunċetti marbuta mal-probabbiltà jistgħu jinstabu f'nofs is-seklu XVI f' Liber de ludo aleæ ta' Girolamo Cardano (miktub fl-1526, imma ppubblikat biss seklu u nofs wara, fl-1663) u f'Sulla scoperta dei dadi ta' Galileo Galilei (ippubblikat fl-1656) li fihom iż-żewġ awturi kisbu listi ta' numri permezz tal-permutazzjonijiet.

Il-problema tal-qsim tal-flus fil-każ tal-logħob tal-azzard meta hemm bżonn li l-logħba tiġi nterrotta, ittrattah Luca Pacioli, magħruf ukoll bħala Fra Luca dal Borgo, fix-xogħol tiegħu Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita (ippubblikat fl-1494) u wara Tartaglia. Sabu riżoluzzjoni għalih Pascal u Fermat.

It-twelid tal-kunċett modern tal-probabbiltà hu attribwit liż-żewġ xjenzjati kbar, Blaise Pascal (1623-1662) u Pierre de Fermat (1601-1665), b'mod partikulari fil-korrispondenza bejniethom fejn jiddiskutu problema marbut mal-logħob tal-azzard: Jekk nitfgħu ħafna drabi żewġ dammi, kemm il-tefa' hi meħtieġa, biex inkunu f'qagħda tajba li nagħmlu mħatra li se toħroġ is-sitta doppja?

Fl-istess perijodu Christiaan Huygens (1629-1695) kiteb de ratiociniis in aleæ lugo fejn uża l-kunċett ta' valur mistenni u l-kampjunament statistiku bir-ripożizzjoni u mingħajr. Ix-xogħlijiet tiegħu influwenzaw fost oħrajn ‘l Pierre de Montmort (1678-1719) li fl-1708 kiteb l-Essai d'analyse sur le jeux de hasard, u wkoll ‘l Jakob Bernoulli u ‘l Abraham de Moivre.

Pascal, fl-1654, ħabbar lill-Akkademja ta' Pariġi li kien qiegħed jaħdem fuq il-problema tal-qsim tal-flus fil-logħob. U f'ittra tad-29 ta' Lulju tal-istess sena ippropona lil Fermat, li kien uża metodi bbażati fuq il-kumbinazzjonijiet, soluzzjoni tal-problema bl-użu tal-metodu tar-rikorrenza.

Fl-1713 ġie ppubblikat l-Ars conjectandi ta' Jacob Bernoulli wara mewtu, fejn kienet ifformulata l-ewwel teorema tal-limiti, jiġifieri l-Liġi tan-Numri Kbar.

Fis-seklu XX, fit-30ijiet, inħolqot teorija moderna tal-probabbiltà li nafuha fuq kollox lil Andrey Nikolaevich Kolmogorov li fl-1933 żviluppa t-teorija assjomatika f' Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ispirat mit-teorija tal-miżura.

Fl-ewwel nofs tas-seklu għaxra twaqqfet ukoll it-teorija soġġettivista, li l-formulazzjoni tagħha nafuha lil Bruno de Finetti.

Ara wkoll

Portal Matematika