Teorija tan-numri

Tradizzjonalment, it-teorija tan-numri hi fergħa tal-matematika li tistudja l-proprjetajiet tan-numri sħaħ jew interi, kemm l-interi naturali u kemm l-interi relattivi, u fiha nsibu ħafna problemi miftuħin li jinftehmu faċilment, anki minn dawk li mhumiex matematiċi. B’mod iżjed ġenerali, din-teorija tħares lejn klassi wiesgħa ta' problemi li joħorġu naturalment mill-istudju tan-numri sħaħ. It-teorija tan-numri għandha post speċjali fil-matematika, minħabba r-rabtiet li għandha ma oqsma oħra u l-interess li jqajmu il-propożizzjonijiet tagħha. Kif qal Jürgen Neukirch^[1] :

It-teorija tan-numri għandha fost id-dixxiplini matematiċi pożizzjoni idealizzata bħal dik li għandha l-matematika fost ix-xjenzi l-oħra.

It-teorija tan-numri kultant tissejjaħ ukoll "Aritmetika". Dan hu isem antik ħafna li m'għadux popolari daqs li kien. Madankollu għadu jintuża fl-ismijiet ta' xi oqsma tal-matematika (ġeometrija alġebrija aritmetika, l-aritmetika tal-kurbi u superfiċi ellittiċi). Dan is-sens tat-terminu aritmetika m’għandniex inħalltuh mal-fergħa tal-loġika li tistudja l-aritmetika fis-sens tas-sistemi formali.

It-teorija tan-numri tinqasam f'bosta oqsma ta' studju skont il-metodi li jintużaw u l-problemi trattati.

Il-friegħi tat-teorija tan-numri

It-teorija elementari tan-numri

F'dal-qasam, nistudjaw l-interi mingħajr l-użu ta' metodi minn oqsma oħra tal-matematika. Fih insibu il-kwistjonji tad-diviżibbiltà, l-algoritmu ta' Ewklide għall-kalkulazzjoni tal-ikbar diviżur komuni^[2], il-fattorizzazzjoni tal-interi f'numri primi^[3], it-tfittix għal numri perfetti^[4] u l-aritmetika modulari^[5]. Bħala teoremi tipiċi hawn għandna it-teorema żgħir ta' Fermat^[6] u t-teorema ta' Euler^[7], it-teorema Ċiniż tal-bqija^[8] u l-liġi tar-reċiproċità kwadratika^[9]. Nistudjaw ukoll il-proprjetajiet tal-funzjonijiet multiplikattivi^[10] bħall-funzjoni ta' Möbius^[11] u l-funzjoni φ ta' Euler^[7] kif ukoll is-suċċessjonijiet ta' interi bħall-fattorjali u n-numri ta' Fibonacci^[12].

Ħafna problemi fit-teorija elementari tan-numri jidhru ħfief imma jeħtieġu ħsieb profond u approċċi ġodda, bħal dawn li ġejjin :

Il-konġettura ta’ Goldbach li tgħid li kull numru żewġ jista' jinkiteb bħala s-somma ta' żewġ primi;
Il-konġettura tan-numri primi tewmin^[13] li tgħid li hemm infinità ta' numri primi tewmin;
Il-konġettura ta' Siracusa (jew ta' Collatz jew ta' Ulam) tgħid li jekk nieħdu numru sħiħ n ikbar minn 0, u jekk n hu żewġ, nieħdu n-nofs tiegħu (n/2), inkella nieħdu t-"tripplu u wieħed" u jkollna 3n+1. Il-konġettura hi li għan-numri kollha il-proċess jikkonverġi għal 1;
It-teorema ta' Matiyasevich wera li t-teorija tal- ekwazzjonijiet diofantej hi indeċidibbli.

It-teorija analitika tan-numri

It-teorija analitika tan-numri tuża l-mekkaniżmi tal-kalkulu infiniteżmali u tal- analisi komplessa biex tħares lejn problemi fuq in-numri interi. Fost l-eżempji hemm it-teorema tan-numri primi^[14] u l-ipoteżi ta' Riemann li hi marbuta magħha. Anki problemi tat-teoria elementari tan-numri bħall-problema ta’ Waring (rappreżentazzjoni ta' numru mogħti bħala somma ta' kwadrati, kubi, etc.), il-konġettura tan-numri primi tewmin u l-konġettura ta' Goldbach nistgħu nattakkawhom b'metodi analitiċi. Il-prova tat-traxxendenza^[15] tal-kostanti matematiċi, bħal π jew e ukoll nistgħu inqisuhom parti mit-teorija tan-numri analitika. Waqt li proprjetajiet tan-numri traxxendenti^[15] ma jidhrux li għandhom x'jaqsmu man-numri interi, fil-fatti nistudjaw nkunu qegħdin infittxu l-possibbiltà li ċerti numri jiġu rappreżentati bħala radiċi ta' polinomju b'koeffiċjenti interi; in-numri traxxendenti għandhom rabta qawwija mal-approssimazzjoni Diofanteja, li tistudja l-preċiżjoni li biha nistgħu napprossimaw numru reali mogħti b'numru razzjonali.

It-teorija alġebrija tan-numri

Hawn il-kunċett ta' numru jiġi ġeneralizzat għal dak ta' numru alġebri li hu r-radiċi ta' polinomju b’koefficjenti interi. Dawn id-dominji fihom l-elementi analogi għall-interi, imsejħin interi alġebrin. F'dan l-ambjent jista' jkun li proprjetajiet tas-soltu tan-numri sħaħ (bħall-uniċità tal-fattorizzazzjoni) ma jibqgħux iżjed validi. Il-qawwa tal-metodi użati -- teorija ta' Galois, koomologija tal-kampi, teorija tal-kampi tal-klassijiet, rappreżentazzjonijiet tal-gruppi u l-funzjoni L – hi hekk li biha nerġgħu insibu ordni fuq din il-klassi ġdida ta' numri.

Ħafna problemi tat-teorija tan-numri nistgħu nattakkawhom iżjed faċilment billi nistudjawhom modulo p għall-primi kollha p. Dan il-metodu hu jissejjaħ lokalizzazzjoni u jwassal għall-bini tan-numri p-adiċi u dan il-qasam ta' studji li ħareġ mit-teorija tan-numri alġebrija jissejjaħ analisi lokali.

It-teorija ġeometrika tan-numri

It-teorija ġeometrika tan-numri tgħaqqad fiha xi kunċetti bażiċi ġeometriċi ma' problemi tat-teorija tan-numri. Tibda bit-teorema ta' Minkowski fuq il-punti retikolari fis-settijiet konvessi u l-istudju tal-ippakkjar tal-isferi. Spiss tintuża wkoll il-ġeometrija alġebrija, speċjalment it-teorija tal-kurvi ellittiċi. It-teorema famuż, l-aħħar teorema ta' Fermat^[16] , ġiet ippruvata bl-użu ta' dawn il-metodi.

It-teorija kombinatorja tan-numri

It-teorija kombinatorja tan-numri tittratta problemi tat-teorija tan-numri fejn jidħlu ideat kombinatorji fil-formulazzjoni jew soluzzjoni tagħhom. Paul Erdős kien il-fundatur ewlieni ta' din il-fergħa tat-teorija tan-numri. Fost is-suġġetti tipiċi hemm is-sistemi għattejja^[17], problemi tas-somma żero^[18], diversi settijiet ta' somom ristretti^[19] u progressjonijiet aritmetiċi^[20] fis-sett tal-interi. Il-metodi alġebrin u analitiċi għandhom qawwa kbira f'dan il-qasam.

It-teorija komputazzjonali tan-numri

Dan il-qasam jistudja l-iżjed l-algoritmi li qegħdin apposta għat-teorija tan-numri. L-algoritmi deterministiċi u probabilistiċi għall-verifika tal-primalità u l-fattorizzazzjoni tan-numri sħaħ għandhom applikazzjonijiet importanti fil-krittografija.

Storja tat-teorija tan-numri

Iċ-ċiviltà Vedika

Il-matematiċi Indjani kienu ilhom interessati li jsibu soluzzjonijiet integrali għall-ekwazzjonijiet diofantej mill-perjodu Vediku. L-użu ġeometriku l-iżjed antik tal-ekwazzjonijiet diofantej insibuh fis-Sulba Sutra, li nkitbu bejn is-sekli VIII u VI Q.K. Bawdhajana (madwar 800 Q.K.) sab żewġ settijiet ta' soluzzjonijiet integrali pożittivi ta' sistema ta' ekwazzjonijiet diofantej, u uża wkoll is-sistemi ta' ekwazzjonijiet diofantej b’erba’ varjabbli mhux magħrufin. Apastamba (madwar 600 Q.K) uża wkoll is-sistemi ta' ekwazzjonijiet diofantej b’ħames varjabbli mhux magħrufin.

L-epoka Ġajina

Fl-indja, il-matematiċi tal-epoka Ġajina żviluppaw teorija sistematika tan-numri mis-seklu IV sas-seklu II Q.K. It-test tas-Surja Praġinapti (madwar 400 Q.K.) ikklassifika n-numri kollha fi tliet settijiet, numerevoli, innumerevoli u infiniti. Kull wieħed minn dawn it-tliet settijiet imbagħad jinqasam fi tliet ordnijiet :

Numerevoli: l-iżjed baxxi, tan-nofs u l-ogħla.
Innumerevoli: Kważi numerevoli, tassew innumerevoli u innumerevolament innumerevoli.
Infiniti : Kważi finiti, tassew infiniti, infinitament infiniti.

Il-matematiċi tal-epoka Ġajina kienu l-ewwel li warrbu l-idea li l-infinitajiet kollha huma l-istess u ndaqs. Għarfu ħames tipi differenti ta infinità: infinità f'direzzjoni waħda jew tnejn (dimensjoni waħda), infintà f’superfiċju (żewġ dimensjonijiet) u infinità kullimkien (tliet dimensjonijiet) u infinità ta' dejjem (f'numru infinit ta' dimensjonijiet).

L-ogħla numru innumerevoli N tax-xogħol Ġajin jikkoresspondi mal-kunċett modern ta' alef-żero, $\aleph _{0}$ , (in-numru kardinali tas-sett infinit tal-interi 1, 2, ...), l-iċken numru trasfinit kardinali. Il-matematiċi ta' din l-epoka iddefinew ukoll sistema sħiħa ta' numri kardinali trasfiniti, li fosthom l- $\aleph _{0}$ tagħna hu l-iżgħar.

Fl-istudju tat-teorija tas-settijiet, iddistingwew żewġ tipi bażiċi ta' numri trasfiniti. Għal raġunijiet fiżiċi u ontoloġiċi għamlu distinzjoni bejn asmkjata u ananata, bejn l-infinit b'rabta riġida u b'rabta laxka.

Iċ-ċiviltà Griega

It-teorija tan-numri kienet suġġett favorit fost il-matematiċi Griegi ta' Lixandra fl-Eġittu mill-bidu tas-seklu III Q.K., li kienu jagħfu bil-kunċett tal-ekwazzjoni Diofanteja f’bosta każijiet partikulari. L-ewwel matematiku Grieg li studja dan l-ekwazzjonijiet kien Diofantu.

Diofantu fittex ukoll metodu biex jinstabu soluzzjonijiet integrali għall-ekwazzjonijiet indeterminati linjari, ekwazzjonijiet li m’għandhoma imformazzjoni biżżejjed biex jagħtu sett uniku ta' soluzzjonijiet diskreti. L-ekwazzjoni $\ x+y=5\,$ hi waħda minnhom. Diofantu sab ħafna ekwazzjonijiet indeterminati li jistgħu jiġu ridotti f'forma waħda li għaliha hi magħrufa ċerta kategorija ta' soluzzjonijiet allavolja m'hemmx soluzzjoni speċifika.

L-epoka klassika f'l-Indja

Il-matematiċi Indjani tal-perjodu medjovali studjaw l-ekwazzjonijiet diofantej b'ħafna ħerqa. Huma kienu l-ewwel li għamlu tfittxija sistematika għal metodi għad-determinazzjoni ta' soluzzjonijet integrali tal-ekwazzjonijiet diofantej. Arijabhata (fl-499) ta l-ewwel deskrizzjoni espliċita ta' soluzzjoni integrali ġenerali tal-ekwazzjoni diofanteja $\ ay+bx=c\,$ , li dehret fil-ktieb tiegħu Arijabhatija. Dan l-algoritmu, kuttaka, meqjus bħala waħda mill-kontribuzzjonijiet importanti ta’ Arijabhata fil-matematika pura, jinstabu bih is-soluzzjonijiet tal-ekwazzjonijiet diofantej f’termini ta' frazzjonijiet kontinwati. Arijabhata applika l-metodu biex jagħti s-soluzzjonijiet integrali tal-ekwazzjonijiet diofantej linjari, problema li għandu applikazzjonijiet importanti fl-astronomija. Bl-istess metodu sab ukoll is-soluzzjoni ġenerali tal-ekwazzjoni linjari indeterminata.

Brahmagupta fl-628 ħadem fuq ekwazzjonijiet diofantej iżjed diffiċli. Uża l-metodu ċakravala biex jirriżolvi l-ekwazzjonijiet diofantej kwadratiċi, fosthom xi forom tal-ekwazzjoni ta' Pell-Fermat, bħal $\ 61x^{2}+1=y^{2}\,$ . Ix-xogħol tiegħu Brahma Sphuta Siddhanta inqaleb għall-Għarbi fl-773 u għal-Latin iżjed tard fl-1126. L-ekwazzjoni $\ 61x^{2}+1=y^{2}\,$ fl-1657, il-matematiku Franċiż Pierre de Fermat ipproponiha bħala problema. Is-soluzzjoni ġenerali ta' din il-forma partikulari tal-ekwazzjoni ta' Pell-Fermat sabha 70 sena wara Leonhard Euler, waqt li s-soluzzjoni ġenerali tal-ekwazzjoni ta' Pell-Fermat sabha 100 sena wara Joseph Louis Lagrange fl-1767. Fil-waqt, ħafna sekli qabel, is-soluzzjoni ġenerali tal-ekwazzjoni ta' Pell-Fermat kien diġà sabha u kitiebha Bhaskara II fl-1150, bl-użu ta' verżjoni modifikata tal-metodu ċakravala ta' Brahmagupta, li użah ukoll biex isib is-soluzzjoni ġenerali ta' ekwazzjonijiet kwadratiċi indeterminati oħra u ta' ekwazzjonijiet diofantej kwadratiċi oħra. Il-metodu ċakravala ta' Bhaskara biex tinstab is-soluzzjoni ġenerali tal-ekwazzjoni ta' Pell-Fermat kien eħfef mill-metodu li uża Lagrange 600 sena wara.

Bhaskara sab ukoll xi soluzzjonijiet għall-ekwazzjonijiet indeterminati oħra kwadratiċi, kubiċi, kwartiċi u polinomjali ta' ordni ogħla. Narayana Pandit kompla jipperfezzjoni l-metodu ċakravala u sab iżjed soluzzjonijiet ġenerali għall-kwadratiċi indeterminati l-oħra u wkoll għall-ekwazzjonijiet polinomjali ta' ordni ogħla.

Iċ-ċiviltà Iżlamika

Mis-seklu IX, il-matematiċi misilmin bdew jinterresaw ruħhom bil-ħeġġa fit-teorija tan-numri. L-ewwel minn dawn il-matematiċi kien il-matematiku Għarbi Thabit ibn Qurra, li skopra teorema biex jinstabu pari ta' numri ħbieb^[21].

Fis-seklu X, Al-Bagdadi skopra verżjoni xi ftit differenti tat-teorema ta’ Thabit ibn Qurra. Al-Hajtham jidher li kien l-ewwel wieħed li pprova jikklassifika in-numri żewġ perfetti^[4] . Al-Hajtham kien ukoll l-ewwel li ipprova t-teorema ta' Wilson, jiġifieri, jekk $\ p$ hu sħiħ imbagħad $p\,$ jidħol ġo $1+(p-1)!\,$ . Mhux ċar jekk kienx jaf jipprova dan ir-riżultat. Dan it-teorema tissejjaħ it-teorema ta' Wilson minħabba l-kumment li għamel Edward Waring fl-1770 li John Wilson kien intebaħ b’dan ir-riżultat. John Wilson avża 'l Waring li ma kienx jaf kif jippruvah u Waring ma sabx prova. L-ewwel prova magħrufa sabha Leibniz, li ma kienx jahseb li hi uttli biżżejjed biex jippubblikaha u Euler ippubblika l-ewwel prova.

In-numri ħbieb kellhom sehem kbir fil-matematika Iżlamika. Fis-seklu XIII il-matematiku Persjan Al-Fariżi ta prova ġdida tat-teorema ta' Thabit ibn Qurra, fejn daħħal ideat ġodda li għandhom x'jaqsmu mad-dekompożi u l-metodi kombinatorji. Sab ukoll il-par tan-numri ħbieb 17 296, 18 416 li kienu attribwiti lil Euler, imma nagħfu li Al-Fariżi, kien jaf bihom qabel u forsi anki Thabit ibn Qurra stess. Fis-seklu XVII, Muħammet Baqir Jażdi sab il-par tan-numri ħbieb 9 363 584 u 9 437 056, ħafna qabel il-kontribuzzjoni ta' Euler.

It-teorija tan-numri fl-Ewropa

It-teorija tan-numri fl-Ewropa bdiet fis-sekli XVI u XVII bix-xogħol ta' François Viète, Claude-Gaspard Bachet de Méziriac u fuq kollox ta' Fermat. Euler u Lagrange ikkontribuxxew għat-teorija lejn l-aħħar tas-seklu VIII u s-suġġett beda jieħu xeħta xjentifika bix-xogħol kbir ta' Legendre (1798) u Gauss (1801). Nistgħu ngħidu l-teorija moderna tan-numri bdiet bil-ħidma ta' Gauss u l-ktieb tiegħu Disquisitiones arithmeticae (1801). Gauss qal

Il-matematika hi r-reġina tax-xjenzi u t t-teorija tan-numri hi r-reġina tal-matematika.

Čebyšëv ^[22](1850) ta limiti utli għan-numri primi bejn żewġ numri mogħtija. Riemann (1859) għamel konġettura li limitu tad-densità tan-numri primi ma taqbisx ċertu funzjoni (it-teorema tan-numri primi^[14]), daħħal l-analisi komplessa fit-teorija tal-funzjoni ζ ta' Riemann^[23] , u miż-żeri tagħha ddeduċa l-formula tan-numri primi.

L-aritmetika modulari bdiha sewwa Gauss bid-Disquisitiones arithmeticae. Hu daħħal dan is-simbolu:

a\equiv b{\pmod {c}}\;

u esplora l-parti kbira ta' dan il-qasam. Iġġeneralizza t-teorija għall-interi relattivi u skopra l-ewwel sett ta' numri sħaħ alġebrin^[24], l-interi ta' Gauss^[25]. Čebyšëv fl-1847 ppubblika xogħol bir-Russu fuq is-suġġett, u fi Franza, Joseph-Alfred Serret għamlu popolari.

Barra li ġabar fil-qosor ix-xogħol ta' qabel, Legendre stabilixxa l-ewwel applikazzjonijiet tal-liġi tar-reċiproċità kwadratika^[9]. Din il-liġi li kien proponiha Euler wara li skopriha bl-induzzjoni, ippruvaha għall-ewwel darba Legendre fix-xogħol tiegħu It-teorija tan-numri (1798) għal xi każijiet partikulari. Indipendement minn Euler u Legendre, il-liġi skopriha Gauss lejn l-1795, u dan kien l-ewwel li ta prova ġenerali. Dawn ikkontribuxxew ukoll għas-suġġett : Cauchy , Dirichlet bix-xogħol tiegħu Vorlesungen über Zahlentheorie li sar klassiku , Jacobi, li daħħal is-simbolu ta' Jacobi , Liouville, Ferdinand Eisenstein, Ernst Kummer, u Léopold Kronecker. It-teorija twessgħet minn Gauss, Jacobi u Kummer biex tħaddan ir-reċiproċità bikwadratika u kubika (ippruvata għall-ewwel darba minn Jacobi).

Lil Gauss nafulu wkoll r-rapprentazzoni tan-numri bil-forom kwadratiċi binarji. Cauchy, Louis Poinsot (1845), Lebesgue (1859, 1868), u l-iżjed Hermite kollha taw kontribut għal dan is-suġġett. Fit-teorija tal-forom ternarji, Eisenstein kien minn ta' quddiem, u minħabba fih u f' H. J. S. Smith, kien hemm progress notevoli fit-teorija tal-forom in ġenerali.

Smith ta klassifikazzjoni kompluta tal-forom kwadratiċi ternarji, u estenda r-riċerki ta' Gauss fuq il-forom kwadratiċi reali lejn il-forom komplessi. Eisenstein daħal iżjed fil-fond fli għandu x’jaqsam mar-rappreżentazzjoni tan-numri bis-somma ta' 4, 5, 6, 7, 8 kwadrati u t-teorija kompliha Smith.

Fl-istorja tat-teorija tan-numri, l-aħħar teorema ta’ Fermat ^[16] għandha post speċjali minħabba l-isforzi kbar, mifruxin fuq iżjed minn tliet mitt sena, mill-matematiċi tad-dinja kollha biex jippruvawha jew imeruha. Pierre de Fermat ta prova hu stess fil-każ partikulari n = 4. Euler, fl-1753 kważi ippruvaha għal n = 3, u daħħal fil-prova tiegħu in-numri imaġinarji. Fl-1825, Dirichlet u Legendre ippruvaw il-każ n = 5 u Gabriel Lamé l-każ n = 7 fl-1839. Dawn il-każijiet diversi kienu ppruvati bl-għajnuna tal-istruttura taċ-ċrieki Ewklidej tal-istess natura bħall-interi ta' Gauss, jiġifieri ċ-ċrieki tal-interi ta' Eisenstein u l-interi ta' Dirichlet^[26] . Kummer fl-1847 pprova t-teorema fil-każ li l-esponent n hu numru prim regolari u beda t-teorija tal-ideali. Fl-aħħar tas-seklu XIX u l-bidu tas-seklu XX, il-matematiċi ttraskuraw it-teorema ta' Fermat biex jikkonċentraw fuq is-sisien tal-matematika. Fl-1955, il-Ġappuniżi Taniyama u Shimura suġġerew li hemm rabta profonda bejn il-funzjonijiet ellittiċi u l-forom modulari, żewġ oqsma tal-matematika a priori mbegħdin ħafna minn xulxin. Jekk il-konġettura ta' Shimura-Taniyama-Weil, hi vera ifisser li t-teorema ta' Fermat hi vera wkoll. Fl-1994 Andrew Wiles, bl-għajnuna ta' Richard Taylor, ipprova din il-konġettura, u ta tweġiba pożittiva għal din il-problema famuża.

Noti u referenzi

^ Daħla tal-ktieb Algebraische Zahlentheorie. Springer, Berlin-Heidelberg-New York 1992. ISBN 3-540-54273-6.

Die Zahlentheorie nimmt unter den mathematishen Disziplinen eine ähnlich idealisierte Stellung ein wie die Mathematik selbst unter den anderen Wissenschaften.
^ L-ikbar diviżur komuni (Ik.D.K.) ta' żewġ numri interi hu l-ikbar numru naturali li jidħol fihom it-tnejn.
^ Numru prim, jew fil-qosor prim, hu numru naturali ikbar minn wieħed, li hu diviżibbli biss bih stess u b'wieħed. L-interi a u b nsejħulhom koprimi jew primi bejniethom jekk m'għandhom l-ebda diviżur komuni barra 1 u -1, jiġifieri jekk l-ikbar diviżur komuni hu 1. Pereżempju, 6 u 35 huma koprimi, imma 6 u 27 mhumiex għax3 tidħol fihom it-tnejn.
^ ^a ^b Numer inter insejħulu perfett jekk hu daqs is-somma tad-diviżuri kollha tiegħu barra hu nnifsu. Pereżempju in-numru 6 diviżibbli b'1, 2 u 3 hu perfett. L-istess għan-numru 28, li hu diviżibbli minn 1, 2, 4, 7, 14 :
6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
^ L-aritmetika modulari hi msejsa fuq il-kunċett ta' kongruwenza modulo n . Mogħtija tliet numri sħaħ a, b, n, b' n ≠ 0, ngħidu li a u b huma kongruwenti modulo n jekk id-differenza bejniethom (a − b) hi multiplu ta' n. F'dal-każ, niktbu
$a\equiv b{\pmod {n}}\,$
u ngħidu li a hu kongruwu ma' b modulo n. Pereżempju, nistgħu niktbu
$38\equiv 14{\pmod {12}}\,$
billi 38 − 14 = 24, li hu multiplu ta' 12.
^ Il It-teorema żgħir ta' Fermat jgħid li jekk p hu numru prim, imbagħad għal kull numru sħiħ a:
$a^{p}\equiv a{\pmod {p}}\,\!$ ,
jiġifieri $a^{p}-a$ hi diviżibbli b' p.
^ ^a ^b It-teorema ta' Euler (msejjaħ ukoll it-teorema ta' Fermat-Euler) tgħid li jekk n hu interu posittiv u a hu koprim ma' n, imbagħad:
$a^{\phi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}\,\!$ ,
fejn $\phi (n)$ hi l-funzjoni $\phi$ ta' Euler. Il-funzjoni phi ta' Euler φ(n), msjeħa wkoll il-funzjoni totjenti jew sempliċement il-funzjoni ta' Euler jew it-totjenti, hi definita, għal kull interu pożittiv n, bħala n-numru tal-interi posittivi inqas minn n li huma koprimi ma' n. Pereżempju, φ(8) = 4 billi n-numri koprimi ma'i 8 huma erbgħa: 1, 3, 5 u 7.
^ Il-formulazzjoni oriġinali tat-teorema Ċiniż tal-bqija, fil-ktieb tas-seklu III mill-matematiku Ċiniż Sun Zu u ppublikata mill-ġdid fl-1247 fil-ktieb ta’ Kin Ġjuxao, tagħti proposta fuq il-kongruwenzi simultanji. Jekk nissoponu li n₁, ..., n_k huma numri sħaħ u koprimi tnejn tnejn (jiġifieri l-Ik.D.K. ta' n_i u n_j hu 1 jekk i ≠ j), imbagħad nagħżlu kif nagħżlu l-interi a₁, ..., a_k, jeżisti interu x soluzzjoni tas-sistema ta' kongruwenzi
$x\equiv a_{i}{\pmod {n_{i}}}\quad \mathrm {per} \;i=1,\ldots ,k.$
Barra minn hekk, is-soluzzjonijiet kollha x ta' dan is-sistema huma kongruwenti modulo il-prodott n = n₁...n_k.
^ ^a ^b Il- liġi tar-reċiproċità kwadratika tagħti kundizzjonijiet għar-riżolvabbiltà ta' ekwazzjonijiet kwadratiċi modulo numri primi. Din kienet konġettura ta' Euler u Legendre, u ġiet ppruvata minn Gauss fl-1796. Ħalli p u q jkunu żewġ numri primi differenti u l-ebda wieħed minnhom hu 2. Dan ifisser li p u q huma kongruwi ma' 1 jew ma' 3 (mod 4). Jekk almenu wieħed minnhom hu kongruwu ma' 1 mod 4, allura il-kongruwenza
$x^{2}\equiv p\ ({\rm {mod}}\ q)$
għandha soluzzjoni x jekk u biss jekk il-kongruwenza
$y^{2}\equiv q\ ({\rm {mod}}\ p)$
għandha soluzzjoni y. Jekk minflok iż-zewġ numri primi huma kongruwi ma' 3 mod 4, allura il-kongruwenza
$x^{2}\equiv p\ ({\rm {mod}}\ q)$
għandha soluzzjoni x jekk u biss jekk il-kongruwenza
$y^{2}\equiv q\ ({\rm {mod}}\ p)$
m'għandha l-ebda soluzzjoni.
^ Funzjoni multiplikattiva f hi funzjoni fuq l-integri pożittivi bil-proprjetà li f(1) = 1 u kull meta a u b jkunu koprimi:f(ab) = f(a) f(b).
^
Il-funzjoni ta' Möbius $\mu (n)\,\!$ $\mu (n)\,\!$ hi definite għall-interi pożitivi kollha bħala :
- $\mu (1)=1\,\!$ ,
- $\mu (n)=(-1)^{k}\,\!$ jekk $n\,\!$ hu l-prodott ta' $k\,\!$ numri primi distinti,
- $\mu (n)=0\,\!$ jekk $n\,\!$ fih fattur kwadrat.
Pereżempju :
- $10=2\times 5\,\!$ , mela $\mu (10)=1\,\!$ ,
- $11\,\!$ hu prim, mela $\mu (11)=-1\,\!$ ,
- $12=2^{2}\times 3\,\!$ , mela $\mu (12)=0\,\!$ .
^ Is-suċċessjoni ta' Fibonacci hi sekwenza ta' numri sħaħ naturali li tinkiseb billi nagħtu l-valuri tal-ewwel żewġ termini, F₀:= 0 u F₁:= 1, u neħtieġu li kull wieħed wara jissodisfa F_n := F_n-1 + F_n-2. L-isem tas-sekwenza ġej mill-matematiku tas-seklu XIII, Leonardo Fibonacci minn Pisa u t-termini ta' din is-suċċessjoni nsejħulhom numri ta' Fibonacci. L-intenzjoni ta' Fibonacci kienet li jsib liġi li tiddeskrivi l-kobor tal-popolazzjoni tal-fniek.
^ Numri primi tewmin huma żewg numri primi li d-differenza bejniethom hi tnejn. Nagħmlu eċċezzjoni għall-koppja (2, 3). Dawn huma xi eżempji ta’ primi tewmin: 5 u 7, 11 u 13, u 821 u 823.
^ ^a ^b It-teorema tan-numri primi tiddeskrivi id-distribuzzjoni approssimata, asintotika tan-numri primi. Għal kull numru reali pożittiv x, niddefinixxu l-funzjoni:
$\pi (x)$ = numru tal-primi iżgħar jew daqs $x$
It-teorema tan-numri primi jgħid li:
$\pi (x)\approx {\frac {x}{\ln(x)}}$
fejn ln(x) hu l-logaritmu naturali ta' x.
^ ^a ^b Numru traxxendenti hu numru irrazzjonali li mhuwiex numru alġebri, jiġifieri m'hu s-soluzzjoni ta' ebda ekwazzjoni polinomjali tal-forma:
$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0$
fejn n ≥ 1 u l-koefficjenti a_i huma numri interi.
^ ^a ^b L-aħħar Teorema ta' Fermat tgħid li ma jeżiztux soluzzjonijiet interi pożittivi għall-ekwazzjoni:
$a^{n}+b^{n}=c^{n}\,\!$
jekk $n>2$ . L-ipoteżi kienet ifformulata minn Pierre de Fermat fl-1637. Hu ma tagħx prova u l-ipoteżi damet bla prova għal żmien twil. Fl-aħħar ġiet ippruvata fl-1995 minn Andrew Wiles.
^ Sistema għattej hu ġabra
$\{a_{1}(\mathrm {mod} \ {n_{1}}),\ \ldots ,\ a_{k}(\mathrm {mod} \ {n_{k}})\}$
ta' numru finit ta' klassijiet tal-bqija $a_{i}(\mathrm {mod} \ {n_{i}})=\{a_{i}+n_{i}x:\ x\in \mathbb {Z} \}$ li l-unjoni tagħhom tgħatti l-integri kollha.
^ Il-problemi tas-somma żero hi klassi ta' problemi kombinatorji. In ġenerali, nikkunsidraw grupp finit abeljan G. Il-problema tas-somma żero għall-integru n hi din: Sib l-iċken integru k biex kull suċċessjoni ta' elementi ta' G ta' tul k jkun fiha n termini li s-somma tagħhom hi 0.
^ Sett ta’ somom ristretti għandu l-forma
$S=\{a_{1}+\cdots +a_{n}:\ a_{1}\in A_{1},\ldots ,a_{n}\in A_{n}\ \mathrm {and} \ P(a_{1},\ldots ,a_{n})\not =0\},$
fejn $A_{1},\ldots ,A_{n}$ huma sottosettijiet finiti mhux vojta ta' kamp $\ F$ u $P(x_{1},\ldots ,x_{n})$ hu polinomju fuq $\ F$ .
^ Progressjoni aritmetika hi suċċessjoni ta' numri sħaħ li fiha id-differenza bejn terminu u ta' qablu hi kostanti. Dal-kostanti nsejħulu r-raġuni tal-progressjoni. Pereżempju, s-suċċessjoni 3, 5, 7, 9, 11, ... hi progressjoni aritmetika b’raġuni 2. Jekk l-ewwel terminu ta' progressjoni aritmetika hu a u r-raġuni hi d, allura in-n terminu tas-suċċessione hu mogħti minn:
$a_{n}=a+(n-1)d\,$ .
^ Żewġ numri huma msejħin ħbieb jekk kull wieħed minnhom hu s-somma tad-diviżuri proprji tal-ieħor.
^ Billi hemm ħafna verżjonijiet tat-transliterazzjoni mir-Russu ta' dan l-isem (Чебышёв): Chebychev, Chebyshov, Tchebycheff jew Tschebyscheff, qegħdin nużaw it-transliterazzjoni xjentifika (International Scholarly System).
^ Il-funzjoni $\ \zeta$ ta' Riemann hi funzjoni analitika komplessa meromorfa definita, għal $\Re (s)>1$ , bis-serje ta' Dirichlet: $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$ .
Ir-rabta bejn il-funzjoni $\ \zeta$ u n-numri primi stabbiliha Euler bil-formula, valida għal $\Re (s)>1$ :
$\zeta (s)\ =\ \prod _{p\in {\mathcal {P}}}\ {\frac {1}{1-p^{-s}}}$
fejn il-prodott infinit jestendi fuq is-sett ${\mathcal {P}}$ tan-numri primi.
^ Numru interu alġebri hu numru kompless li hu radiċi ta' xi polinomju (b'1 bħala l-ewwel koeffiċjent) b' koeffiċjenti integrali.
^ Interu ta' Gauss hu numru kompless li l-partijiet reali u immaġinarji tiegħu huma t-tnejn interi.
^ L-interi ta' Eisenstein huma numri komplessi tal-forma
$z=a+b\,\omega$
fejn a u b huma interi u
$\omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi {\frac {i}{3}}}$
radiċi kubika komplessa tal-unità. L-interi ta' Dirichlet huma numri komplessi tal-forma
$z=a+b\,\omega$
fejn a u b huma interi relattivi

Bibljografija

Oystein Ore (1948): Number Theory and Its History, Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-65620-9
Richard Dedekind (1963), Essays on the Theory of Numbers, Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-21010-3
Richard K. Guy (1981): Unsolved Problems in Number Theory, Springer, ISBN 0-387-90593-6
Harold Davenport, Aritmetica superiore. Zanichelli, Bologna, 1994. ISBN 88-08-09154-6
Melvyn B. Nathanson (2000): Elementary methods in number theory, Springer, ISBN 0-387-98912-9
Kenneth Ireland & Michael Rosen (1990): A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd ed., Springer, ISBN 0-387-97329-0

Ħoloq esterni

Wikimedia Commons għandha fajls multimedjali li għandhom x'jaqsmu ma': Teorija tan-numri

Portal Matematika

[1] Daħla tal-ktieb Algebraische Zahlentheorie. Springer, Berlin-Heidelberg-New York 1992. ISBN 3-540-54273-6.

Die Zahlentheorie nimmt unter den mathematishen Disziplinen eine ähnlich idealisierte Stellung ein wie die Mathematik selbst unter den anderen Wissenschaften.

[2] L-ikbar diviżur komuni (Ik.D.K.) ta' żewġ numri interi hu l-ikbar numru naturali li jidħol fihom it-tnejn.

[3] Numru prim, jew fil-qosor prim, hu numru naturali ikbar minn wieħed, li hu diviżibbli biss bih stess u b'wieħed. L-interi a u b nsejħulhom koprimi jew primi bejniethom jekk m'għandhom l-ebda diviżur komuni barra 1 u -1, jiġifieri jekk l-ikbar diviżur komuni hu 1. Pereżempju, 6 u 35 huma koprimi, imma 6 u 27 mhumiex għax3 tidħol fihom it-tnejn.

[perf-4] Numer inter insejħulu perfett jekk hu daqs is-somma tad-diviżuri kollha tiegħu barra hu nnifsu. Pereżempju in-numru 6 diviżibbli b'1, 2 u 3 hu perfett. L-istess għan-numru 28, li hu diviżibbli minn 1, 2, 4, 7, 14 :
6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

[5] L-aritmetika modulari hi msejsa fuq il-kunċett ta' kongruwenza modulo n . Mogħtija tliet numri sħaħ a, b, n, b' n ≠ 0, ngħidu li a u b huma kongruwenti modulo n jekk id-differenza bejniethom (a − b) hi multiplu ta' n. F'dal-każ, niktbu
$a\equiv b{\pmod {n}}\,$
u ngħidu li a hu kongruwu ma' b modulo n. Pereżempju, nistgħu niktbu
$38\equiv 14{\pmod {12}}\,$
billi 38 − 14 = 24, li hu multiplu ta' 12.

[6] Il It-teorema żgħir ta' Fermat jgħid li jekk p hu numru prim, imbagħad għal kull numru sħiħ a:
$a^{p}\equiv a{\pmod {p}}\,\!$ ,
jiġifieri $a^{p}-a$ hi diviżibbli b' p.

[Euler-7] It-teorema ta' Euler (msejjaħ ukoll it-teorema ta' Fermat-Euler) tgħid li jekk n hu interu posittiv u a hu koprim ma' n, imbagħad:
$a^{\phi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}\,\!$ ,
fejn $\phi (n)$ hi l-funzjoni $\phi$ ta' Euler. Il-funzjoni phi ta' Euler φ(n), msjeħa wkoll il-funzjoni totjenti jew sempliċement il-funzjoni ta' Euler jew it-totjenti, hi definita, għal kull interu pożittiv n, bħala n-numru tal-interi posittivi inqas minn n li huma koprimi ma' n. Pereżempju, φ(8) = 4 billi n-numri koprimi ma'i 8 huma erbgħa: 1, 3, 5 u 7.

[8] Il-formulazzjoni oriġinali tat-teorema Ċiniż tal-bqija, fil-ktieb tas-seklu III mill-matematiku Ċiniż Sun Zu u ppublikata mill-ġdid fl-1247 fil-ktieb ta’ Kin Ġjuxao, tagħti proposta fuq il-kongruwenzi simultanji. Jekk nissoponu li n₁, ..., n_k huma numri sħaħ u koprimi tnejn tnejn (jiġifieri l-Ik.D.K. ta' n_i u n_j hu 1 jekk i ≠ j), imbagħad nagħżlu kif nagħżlu l-interi a₁, ..., a_k, jeżisti interu x soluzzjoni tas-sistema ta' kongruwenzi
$x\equiv a_{i}{\pmod {n_{i}}}\quad \mathrm {per} \;i=1,\ldots ,k.$
Barra minn hekk, is-soluzzjonijiet kollha x ta' dan is-sistema huma kongruwenti modulo il-prodott n = n₁...n_k.

[kwad-9] Il- liġi tar-reċiproċità kwadratika tagħti kundizzjonijiet għar-riżolvabbiltà ta' ekwazzjonijiet kwadratiċi modulo numri primi. Din kienet konġettura ta' Euler u Legendre, u ġiet ppruvata minn Gauss fl-1796. Ħalli p u q jkunu żewġ numri primi differenti u l-ebda wieħed minnhom hu 2. Dan ifisser li p u q huma kongruwi ma' 1 jew ma' 3 (mod 4). Jekk almenu wieħed minnhom hu kongruwu ma' 1 mod 4, allura il-kongruwenza
$x^{2}\equiv p\ ({\rm {mod}}\ q)$
għandha soluzzjoni x jekk u biss jekk il-kongruwenza
$y^{2}\equiv q\ ({\rm {mod}}\ p)$
għandha soluzzjoni y. Jekk minflok iż-zewġ numri primi huma kongruwi ma' 3 mod 4, allura il-kongruwenza
$x^{2}\equiv p\ ({\rm {mod}}\ q)$
għandha soluzzjoni x jekk u biss jekk il-kongruwenza
$y^{2}\equiv q\ ({\rm {mod}}\ p)$
m'għandha l-ebda soluzzjoni.

[10] Funzjoni multiplikattiva f hi funzjoni fuq l-integri pożittivi bil-proprjetà li f(1) = 1 u kull meta a u b jkunu koprimi:f(ab) = f(a) f(b).

[11] Il-funzjoni ta' Möbius $\mu (n)\,\!$ hi definite għall-interi pożitivi kollha bħala :
$\mu (1)=1\,\!$ ,

$\mu (n)=(-1)^{k}\,\!$ jekk $n\,\!$ hu l-prodott ta' $k\,\!$ numri primi distinti,

$\mu (n)=0\,\!$ jekk $n\,\!$ fih fattur kwadrat.
Pereżempju :
$10=2\times 5\,\!$ , mela $\mu (10)=1\,\!$ ,

$11\,\!$ hu prim, mela $\mu (11)=-1\,\!$ ,

$12=2^{2}\times 3\,\!$ , mela $\mu (12)=0\,\!$ .

[12] $\mu (1)=1\,\!$ ,

[13] $\mu (n)=(-1)^{k}\,\!$ jekk $n\,\!$ hu l-prodott ta' $k\,\!$ numri primi distinti,

[14] $\mu (n)=0\,\!$ jekk $n\,\!$ fih fattur kwadrat.

[15] $10=2\times 5\,\!$ , mela $\mu (10)=1\,\!$ ,

[16] $11\,\!$ hu prim, mela $\mu (11)=-1\,\!$ ,

[17] $12=2^{2}\times 3\,\!$ , mela $\mu (12)=0\,\!$ .

[12] Is-suċċessjoni ta' Fibonacci hi sekwenza ta' numri sħaħ naturali li tinkiseb billi nagħtu l-valuri tal-ewwel żewġ termini, F₀:= 0 u F₁:= 1, u neħtieġu li kull wieħed wara jissodisfa F_n := F_n-1 + F_n-2. L-isem tas-sekwenza ġej mill-matematiku tas-seklu XIII, Leonardo Fibonacci minn Pisa u t-termini ta' din is-suċċessjoni nsejħulhom numri ta' Fibonacci. L-intenzjoni ta' Fibonacci kienet li jsib liġi li tiddeskrivi l-kobor tal-popolazzjoni tal-fniek.

[13] Numri primi tewmin huma żewg numri primi li d-differenza bejniethom hi tnejn. Nagħmlu eċċezzjoni għall-koppja (2, 3). Dawn huma xi eżempji ta’ primi tewmin: 5 u 7, 11 u 13, u 821 u 823.

[np-14] It-teorema tan-numri primi tiddeskrivi id-distribuzzjoni approssimata, asintotika tan-numri primi. Għal kull numru reali pożittiv x, niddefinixxu l-funzjoni:
$\pi (x)$ = numru tal-primi iżgħar jew daqs $x$
It-teorema tan-numri primi jgħid li:
$\pi (x)\approx {\frac {x}{\ln(x)}}$
fejn ln(x) hu l-logaritmu naturali ta' x.

[trax-15] Numru traxxendenti hu numru irrazzjonali li mhuwiex numru alġebri, jiġifieri m'hu s-soluzzjoni ta' ebda ekwazzjoni polinomjali tal-forma:
$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0$
fejn n ≥ 1 u l-koefficjenti a_i huma numri interi.

[Fermat-16] L-aħħar Teorema ta' Fermat tgħid li ma jeżiztux soluzzjonijiet interi pożittivi għall-ekwazzjoni:
$a^{n}+b^{n}=c^{n}\,\!$
jekk $n>2$ . L-ipoteżi kienet ifformulata minn Pierre de Fermat fl-1637. Hu ma tagħx prova u l-ipoteżi damet bla prova għal żmien twil. Fl-aħħar ġiet ippruvata fl-1995 minn Andrew Wiles.

[17] Sistema għattej hu ġabra
$\{a_{1}(\mathrm {mod} \ {n_{1}}),\ \ldots ,\ a_{k}(\mathrm {mod} \ {n_{k}})\}$
ta' numru finit ta' klassijiet tal-bqija $a_{i}(\mathrm {mod} \ {n_{i}})=\{a_{i}+n_{i}x:\ x\in \mathbb {Z} \}$ li l-unjoni tagħhom tgħatti l-integri kollha.

[18] Il-problemi tas-somma żero hi klassi ta' problemi kombinatorji. In ġenerali, nikkunsidraw grupp finit abeljan G. Il-problema tas-somma żero għall-integru n hi din: Sib l-iċken integru k biex kull suċċessjoni ta' elementi ta' G ta' tul k jkun fiha n termini li s-somma tagħhom hi 0.

[19] Sett ta’ somom ristretti għandu l-forma
$S=\{a_{1}+\cdots +a_{n}:\ a_{1}\in A_{1},\ldots ,a_{n}\in A_{n}\ \mathrm {and} \ P(a_{1},\ldots ,a_{n})\not =0\},$
fejn $A_{1},\ldots ,A_{n}$ huma sottosettijiet finiti mhux vojta ta' kamp $\ F$ u $P(x_{1},\ldots ,x_{n})$ hu polinomju fuq $\ F$ .

[20] Progressjoni aritmetika hi suċċessjoni ta' numri sħaħ li fiha id-differenza bejn terminu u ta' qablu hi kostanti. Dal-kostanti nsejħulu r-raġuni tal-progressjoni. Pereżempju, s-suċċessjoni 3, 5, 7, 9, 11, ... hi progressjoni aritmetika b’raġuni 2. Jekk l-ewwel terminu ta' progressjoni aritmetika hu a u r-raġuni hi d, allura in-n terminu tas-suċċessione hu mogħti minn:
$a_{n}=a+(n-1)d\,$ .

[21] Żewġ numri huma msejħin ħbieb jekk kull wieħed minnhom hu s-somma tad-diviżuri proprji tal-ieħor.

[22] Billi hemm ħafna verżjonijiet tat-transliterazzjoni mir-Russu ta' dan l-isem (Чебышёв): Chebychev, Chebyshov, Tchebycheff jew Tschebyscheff, qegħdin nużaw it-transliterazzjoni xjentifika (International Scholarly System).

[23] Il-funzjoni $\ \zeta$ ta' Riemann hi funzjoni analitika komplessa meromorfa definita, għal $\Re (s)>1$ , bis-serje ta' Dirichlet: $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$ .
Ir-rabta bejn il-funzjoni $\ \zeta$ u n-numri primi stabbiliha Euler bil-formula, valida għal $\Re (s)>1$ :
$\zeta (s)\ =\ \prod _{p\in {\mathcal {P}}}\ {\frac {1}{1-p^{-s}}}$
fejn il-prodott infinit jestendi fuq is-sett ${\mathcal {P}}$ tan-numri primi.

[24] Numru interu alġebri hu numru kompless li hu radiċi ta' xi polinomju (b'1 bħala l-ewwel koeffiċjent) b' koeffiċjenti integrali.

[25] Interu ta' Gauss hu numru kompless li l-partijiet reali u immaġinarji tiegħu huma t-tnejn interi.

[26] L-interi ta' Eisenstein huma numri komplessi tal-forma
$z=a+b\,\omega$
fejn a u b huma interi u
$\omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi {\frac {i}{3}}}$
radiċi kubika komplessa tal-unità. L-interi ta' Dirichlet huma numri komplessi tal-forma
$z=a+b\,\omega$
fejn a u b huma interi relattivi

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]