Analisi komplessa

L-Analisi komplessa (jew iżjed preċiż, it-teorija tal-funzjonijiet ta’ varjabbli komplessi) hi dik il-fergħa ta’ l-analisi matematika li tapplika l-idejat tal-kalkulu infiniteżmali għall-funzjonijiet komplessi, jiġifieri għal funzjonijiet li għandhom bħala dominju u kodominju settijiet ta’ numri komplessi.

Il-kunċett ewlieni ta’ l-analisi komplessa hi l-funzjoni olomorfa: din hi funzjoni komplessa mgħammra b’nozzjoni ta’ derivata, fl-istess mod kif isir fil-każ tal-funzjonijiet reali tas-soltu. Il-funzjoni meromorfa hi estensjoni ta’ dan il-kunċett.

Rappreżentazzjoni tal-funzjoni komplessa:
$f(z)=(z^2-1)(z-2-2i)/$$(z^2+2+2i).$ It-tonalità tirrappreżenta l-argument tal-funzjoni, waqt li l-intensità tirrappreżenta il-modulu.

L-analisi komplessa hi utli ħafna f’bosta friegħi tal-matematika, bħal pereżempju, it-Teorija tan-numri u l-ġometrija alġebrija; għandha applikazzjonijiet importanti anki fil-fiżika.

Funzjonijiet olomorfi

Definizzjoni

L-analisi komplessa tapplika l-metodi tal-kalkulu infiniteżmali għan-numri komplessi. Biex nagħmlu dan, hemm bżonn li nimudellaw in-numri komplessi fil-pjan kompless, mgħammar bit-topoloġija ewklideja tas-soltu. It-topoloġija tippermettielna li nitkellmu fuq suċċessjonijiet, fuq limiti, fuq settijiet miftuħin u magħluqin fil-pjan.

L-analisi komplessa tistudja funzjonijiet

$f:A\to \mathbb C$

definiti fuq sett miftuħ $\ A$ tal-pjan kompless $\ \mathbb C$, b’valuri komplessi. B’mod analogu għal kollox ma’ dak li jsir fil-każ reali, funzjoni hi derivabbli f’sens kompless f’punt jekk ir-rapport inkrementali għandu limitu fil-punt. Jekk il-funzjoni hi derivabbli f’sens kompless f’kull punt ta’ $\ A$, ngħidulha funzjoni olomorfa.

Relazzjoni mad-differenzjabbiltà

Bl-użu ta’ l-identifikazzjoni ta’ $\mathbb C$ ma’ $\R^2$, il-funzjoni $f$ nistgħu ninterpretawha bħala funzjoni minn sett miftuħ ta’ $\R^2$ għal $\R^2$. Funzjoni derivabbli f’sens kompless hi neċessarjament differenzjabbli jekk ninterpretawha b’dal-mod. Però l-oppost mhux veru; il-kundizzjoni ta’ derivabbiltà f’sens kompless għal funzjoni differenzjabbli hi miġbura fl-ekwazzjonijiet ta’ Cauchy-Riemann.

Mappi konformi

Funzjoni olomorfa li għandha derivata kullimkien differenti minn zero, ngħidulha mappa konformi: hi mappa li tippreżerva jew iżżomm l-angoli, imma mhux neċessarjament id-distanzi. Dil-proprjetà ġejja mill-fatt li funzjoni olomorfa hi (bħal fil-każ reali) approssimabbli lokalment minn funzjoni linjari, u mill-fatt li l-funzjonijiet linjari fuq il-pjan kompless huma kompożizzjoni ta’ omotetji u rotazzjonijiet, it-tnejn operazzjonijiet konformi.

Funzjonijiet armoniċi

Min-naħa l-oħra, il-parti reali u l-parti immaġinarja ta’ funzjoni olomorfa huma t-tnejn funzjonijiet armoniċi: xi proprijetajiet tal-funzjonijiet armoniċi, bħal dik ta’ li ma tħallix massimi u minimi lokali, jintirtu mill-funzjonijiet olomorfi.

Il-Formula ta’ Cauchy

L-ingredjent ewlieni ta’ l-analisi komplessa, li m’għandux analogu fl-analisi reali , hu il-formula ta’ Cauchy. Dil-formula tagħti relazzjoni bejn il-valur $\ f(z)$ ta’ funzjoni olomorfa fil-punt $\ z$ ma’ l-integral ta’ funzjoni mibnija minn $\ f$ matul kurva sempliċi magħluqa $\ \Gamma$ li "iddur" mal-punt $\ z$:

$f(z) = {{1}\over{2\pi i}} \cdot \oint_{\Gamma} {{f(z')}\over {z'- z}} \,dz'.$

Mill-formula ta’ Cauchy joħorġu ħafna proprijetajiet tal-funzjonijiet olomorfi, li m’għandhomx analogi fl-ambitu ta’ l-analisi reali . Niddeskrivu xi wħud minn dawn il-proprijetajiet hawn taħt.

Analitiċità

Funzjoni olomorfa hi dejjem analitika. Dan ifisser li lokalment nistgħu nesprimuha bħala serje ta’ potenzi. Fi kliem ieħor, fl-ambitu kompless l-eżistenza ta’ l-ewwel derivata hi biżżejjed biex tiggarantixxi mhux biss l-eżistenza tad-derivati ta’ kull ordni, imma wkoll l-analitiċità tal-funzjoni. Dan ma jiġrix fl-ambitu reali .

Teorema ta’ Liouville

Funzjoni olomorfa hi intera jekk hi definita fuq il-pjan kompless kollu. Il-funzjonijiet interi huma dawk il-funzjonijiet li f’kull punt għandhom rappreżentazzjoni bħala serje ta’ potenzi b’raġġ ta’ konvergenza infinit. Il-funzjonijiet interi għandhom ħafna restrizzjonijiet. Fosthom, it-Teorema ta’ Liouville li jgħid li funzjoni intera li mhijiex kostanti ma jistgħax ikollha modulu limitat fil-pjan.

Għalhekk fl-ambitu kompless ma jeżistux funzjonijiet bħal l-arktanġent reali , li huma definiti fuq $\mathbb C$ kollha imma b’modulu uniformement limitat.

Teorema tal-modulu massimu

It-Teorema tal-modulu massimu, jgħid li l-modulu $\ |f(z)|$ ta' funzjoni olomorfa $\ f$ definita fuq sett miftuħ $\ A$ ma jistgħax jilħaq il-massimu. Jekk id-dominju $\ A$ hu limitat u l-funzjoni $\ f$ nistgħu nestenduha bil-kontinwità għall-għeluq ta’ $\ A$, il-modulu jilħaq il-massimu fuq wieħed mill-punti tat-xifer.

Eżempji ta’ funzjonijiet olomorfi

Il-prolungament analitiku ta’ funzjoni analitika matul kurva fil-pjan.

Kull funzjoni definita mill-bidu bl-erba’ operazzjonijiet aritmetiċi hi olomorfa fis-sett miftuħ li fih hi definita sewwa. Jekk $\ p(z)$ u $\ q(z)$ huma żewġ polinomi, il-funzjoni

$f(z)= {{p(z)}\over{q(z)}}$

hi olomorfa fuq is-sett miftuħ $\ A$ miksub billi nnaħħu minn $\ \mathbb C$ il-punti li jikkorrispondu mar-radiċi ta’ $\ q$.

Il-parti reali tas-senu kompless f'rettanglu fil-pjan.

Kull funzjoni analitika reali testendi b’mod uniku għal funzjoni olomorfa. Il-proċedura li biha l-funzjonijiet olomorfi jiġu estiżi b’mod uniku ngħidulha prolungament analitiku. In partikulari, il-funzjonijiet esponenzjali, tas-senu, u l-funzjonijiet trigonometriċi huma funzjonijiet olomorfi.

L-imġiba tal-funzjonijiet esponenzjali u s-senu fl-ambitu kompless hi iżjed għanja milli nsibu fl-ambitu reali. Per eżempju, imħabba t-Teorema ta’ Liouville il-funzjoni tas-senu mhijiex limitata fil-pjan kompless (kontra li jiġri fir-reali, fejn tvarja bejn -1 u 1). Anzi, il-funzjoni tas-senu hija surġettiva fuq il-komplessi.

Funzjonijiet meromorfi

Singularitajiet iżolati

Kunċett ieħor ċentrali fl-analisi komplessa hu dak tas-singularitajiet iżolati. Funzjoni olomorfa

$f:A\setminus \{z_0\} \to \mathbb C$

definita fuq sett miftuħ $\ A$, bil-punt intern $\ z_0$ imneħħi, għandha singularità iżolata f' $\ z_0$. Dan differenti milli jiġri fil-każ ta’ funzjonijiet reali għax l-imġiba tal-funzjoni qrib $\ z_0$ nistgħu naqsmuha fi tliet tipi, determinati mill-imġiba tal-modulu $\ |f(z)|$ qrib il-punt:

1. Jekk $\ |f(z)|$ hu limitat fl-inħawi ta’ $\ z_0$, is-singularità hi eliminabbli: il-funzjoni testendi bil-kontinwità għall-punt, u l-estensjoni tibqa’ olomorfa.
2. Jekk $\ |f(z)|$ jersaq lejn l-infinit meta $\ z$ tersaq lejn $\ z_0$, is-singularità ngħidulha pol.
3. Fil-każi l-oħra kollha, $\ |f(z)|$ m’għandiex limitu meta $\ z$ tersaq lejn $\ z_0$, u s-singularità ngħidulha essenzjali.

Sfera ta’ Riemann

Jekk il-funzjoni għandha singularità eliminabbli f’$\ z_0$, din testendi għal funzjoni olomorfa fuq $\ A$. Jekk għandha pol, possibbli wkoll nestendu l-funzjoni billi nqegħdu $\ f(z_0)=\infty$. Ir-riżultat ta’ din operazzjoni hi funzjoni ta’ tip ġdid, li ngħidula meromorfa.

Il-funzjonijiet meromorfi iġibu ruħhom lokalment bħall-funzjonijiet olomorfi: biżżejjed inżidu mal-pjan kompless, il-punt $\ \infty$, permezz tal-projezzjoni sterjografika. L-ispazju li niksbu hu topoloġikament ekwivalenti għal l-isfera, u jgħidulu l-isfera ta’ Riemann. Spiss hu identifikat mall-linja dritta projettiva komplessa $\mathbb {CP}^1$. Funzjoni meromorfa hi għalhekk funzjoni partikulari

$f:A\to\mathbb {CP}^1.$

B’din il-kostruzzjoni, il-punt fl-infinit nittrattawh bħal l-oħrajn kollha, u nistgħu naqilbu ħafna riżultati fuq il-funzjonijiet olomorfi għall-kuntest tal-funzjonijiet meromorfi. Estensjoni analoga tista’ ssir jekk id-dominju, $\ A$, jkun sett miftuħ ta’ $\mathbb {CP}^1$.

Per eżempju (trasformazzjoni ta’ Möbius):

$f(z) = {{az+b}\over{kz+d}}$

fejn $\ a,b,k,d$ huma komplessi u

$\det \begin{pmatrix} a & b \\ k & d \end{pmatrix}\neq 0$

hi funzjoni meromorfa

$f:\mathbb {CP}^1\to\mathbb {CP}^1.$

Biblijografija

Portal Matematika

• F. Casorati Teorica delle funzioni di variabili complesse ( Fratelli Fusi, Pavia, 1868)
• H. Durège Elements of the theory of functions of a complex variable with especial reference to the methods of Riemann (G.E. Fisher and I.J. Schwatt, Philadelphia, 1896)
• J. Pierpont Functions of a complex variable (Ginn & co., Boston, 1914)
• E. J. Townsend Functions Of a complex variable (Henry Holt And Company, 1915)
• T. M. MacRobert Functions of a complex variable (London, MacMillan, 1917)
• H. F. Burkhardt Theory of functions of a complex variable (D. C. Heath, Boston, 1913)
• A. R. Forsyth Theory of functions of a complex variable (Cambridge University Press, 1918)
• J. Harkness e F. Morley Introduction ToThe Theory Analytic Functions (Stechert & co., 1898)
• E. T. Whittaker e G. N. Watson Modern Analysis (Cambridge University Press, 1922)
• E. Goursat Functions of a complex variable I (Ginn & co. 1916)
• E. Goursat Functions of a complex variable II (Ginn & co. 1916)
• S.Saks e A. Zygmund Analytic functions (Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952)
• J. Houel Cours de calcul infinitésimal. Tome troisième e Cours de calcul infinitésimal. Tome troisième deuxième partie (Gauthier-Villars, 1881)
• E. Picard Traité d'Analyse (vol. 2) (Gauthier-Villars, 1893)

• Needham T., Visual Complex Analysis (Oxford, 1997).
• Henrici P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
• Kreyszig, E, Advanced Engineering Mathematics, 9 ed., Ch.13-18 (Wiley, 2006).
• Scheidemann, V., Introduction to complex analysis in several variables (Birkhauser, 2005)
• Shaw, W.T., Complex Analysis with Mathematica (Cambridge, 2006).
• Marsden & Hoffman, Basic complex analysis (Freeman, 1999).

Portal Matematika