Moviment Brownjan

Minn Wikipedija, l-enċiklopedija l-ħielsa
Aqbeż lejn: navigazzjoni, fittex
Il-moviment Brownjan ta' partiċella

Il- moviment Brownjan hu deskrizzjoni matematika ta' moviment każwali ta' partiċella "tqila" mgħaddsa fi fluwidu u li m'għandhiex fuqha interazzjonijiet oħra ħlief il-ħbit fuqha tal-molekuli "ħfief" tal-fluwidu ta' madwarha. Minn dan jirriżulta li l-partiċella t-tqila timxi b'moviment irregolari ħafna, li ġie deskritt għall-ewwel darba fl-1827 mill-botanista Robert Brown waqt li kien qiegħed josserva ċ-ċaqlieq ta' partiċelli fil-fluwidu fil-ġewwieni ta' trab tal-pollin[1].

Id-deskrizzjoni fiżika l-iżjed elementari ta' dan il-fenomenu hi din:

  • bejn żewġ ħabtiet, il-partiċella l-kbira timxi f'linja dritta b'veloċità kostanti;
  • il-partiċella l-kbira taċċelera meta taħbat ma' molekula tal-fluwidu jew xi ħajt.

Permezz ta' dan il-moviment nistgħu niddeskrivu l-imġiba termodinamika tal-gasijiet (teorija ċinetika tal-gasijiet), kif ukoll il-fenomenu tad-diffużjoni. Huwa wżat ħafna wkoll fil-mudelli tal-matematika finanzjarja.

Ħjiel storiku[editja]

Brown ra fil-fluwidu li kien fil-ġewwieni tat-trab tal-pollin (il-moviment Brownjan ma ġiex osservat fuq it-trab tal-pollin stess kif jingħad sikwit), xi partiċelli żgħar ħafna jiċċaqilqu b'movimenti li kienu jidhru kaotiċi. Dan ma setax jiġi spjegat permezz ta' kurrenti u lanqas permezz ta' xi fenomenu fiżiku ieħor magħruf. Għall-ewwel Brown għalhekk attribwieh għal xi attività ħajja. L-ispjegazzjoni korretta tal-fenomenu ġiet wara.

Brown ma kienx eżattament l-ewwel wieħed li għamel din l-osservazzjoni. Qal hu stess li bosta oħrajn kienu ssuġġerew l-eżistenza ta' dan il-moviment (f'konnessjoni mat-teoriji vitalisti ta' żmienu). Nistgħu insemmu lill-qasis kattoliku John Turberville Needham (1713-1781), famus f'ħajtu għas-sengħa li kellu fuq il-mikroskopju, u lill-Olandiż Jan Ingenhousz (1730 -1799) li fl-1785 iddeskriva l-moviment irregolari tat-trab tal-faħam fuq wiċċ l-alkoħol.

Matul is-seklu 20 kien hemm ħafna diskussjonijiet dwar x'kien osserva sewwa Brown. Minħabba l-kwalità medjokra tal-apparat li seta' jinqeda bih, xi wħud iddubitaw jekk kienx veru li ra l-moviment Brownjan, li kien jinvolvi partiċelli ta' xi mikrometri mill-iżjed. L-Ingliż Brian Ford reġa' għamel l-esperiment fil-bidu tas-snin 1990, bil-materjal użat minn Brown u f'kondizzjonijietet li kienu l-istess kemm jista' jkun[2]. Il-moviment kien veru osservat f'dawn il-kondizzjonijiet u hekk ġew ikkonfermati l-osservazzjonijiet ta' Brown.

Rudimenti matematiċi[editja]

Il-kunċett ta' proċess każwali[editja]

Insibuh diffiċli li nimmudellaw il-moviment Brownjan minnħabba l-fatt li dan il-moviment hu każwali u li statistikament kull partiċella ma timxix: mhuwiex moviment tal-partiċelli kollha f'daqqa bħar-riħ jew kurrent. Iżjed preċiż:

  • f'waqt mogħti, is-somma vettorjali tal-veloċitajiet tal-partiċelli hi żero (m'hemmx moviment tal-ġabra tal-partiċelli);
  • jekk insegwu partiċella mogħtija, matul iż-żmien, il-bariċentru tal-mogħdija tagħha hu l-punt minn fejn tkun telqet, tagħmel "dawra durella" madwar l-istess punt.

Hu diffiċli f'dawn il-kondizzjonijiet li nikkaratterizzaw il-moviment. Is-soluzzjoni sabha Louis Bachelier, u ppreżentaha fit-teżi tiegħu li ddefenda fid-29 ta' Marzu 1900. Wera li dak li jikkaratterizza l-moviment, m'hijiex il-medja aritmetika tal-pożizzjonijiet \langle X\rangle imma l-medja kwadrata \sqrt{\langle \, X^2 \, \rangle \ } : jekk \ x(t) hi d-distanza tal-partiċella fil-ħin \ t wara li telqet minn fejn telqet, allura :

\langle \, X^2(t) \ \rangle \ = \ \frac{1}{t} \int_{ 0}^{t} x^2(\tau) \ d \tau

Nistgħu nuru li hawn l-ispostament kwadrat medju hu proporzjonali għall-ħin[3] :

 \langle \, X^2(t) \ \rangle \ = \ 2 \, d \, D \, t

fejn \ d hi d-dimensjoni tal-moviment (linjari, pjan, spazjali), \ D il-koeffiċjent tad-diffużjoni u \ t il-ħin li jkun għadda.

Definizzjoni matematika[editja]

Nistgħu nagħtu din id-definizzjoni formali: Il-moviment Brownjan hu proċess stokastiku (B_t)_{(t \ge 0)} fejn l-inkrementi disġunti huma indipendenti u l-inkrement \ B_{t+s}-B_{t} jobdi l-liġi normali b'medja żero u varjanza \ s.

Permezz ta' din id-definizzjoni nistgħu nippruvaw xi proprjetajiet tal-moviment Brownjan, bħal pereżempju il-kontinwità tiegħu (kważi żgura[4]), il-fatt li kważi żgurament, il-mogħdija tiegħu m'hi mkien differenzjabbli, u bosta proprjetajiet oħra.

Nistgħu ukoll niddefinixxu l-moviment Brownjan permezz tal-varjanza. Din id-definizzjoni, imsejħa t-teorema ta' Lévy, tagħti din il-karatterizzazzjoni: Proċess stokastiku li hu martingala lokali u għandu varjanza \ t hu moviment Brownjan.

Il-formola ta' Einstein[editja]

Permezz tal-formola li tajna hawn fuq nistgħu nikkalkulaw il-koeffiċjent tad-diffużjoni ta' par partiċella-fluwidu. Ġaladarba nkunu nafu l-karatteristiċi tal-partiċella li qegħda tiddifuża, nistgħu niddeduċu l-karatteristiċi tal-ieħor. Jekk inkunu nafu l-karatteristiċi tat-tnejn, inkunu nistgħu nikkalkulaw in-numru ta' Avogadro bl-għajnuna tal-formola ta' Einstein (1905) :

D \ = \ \frac{R T}{6 \pi \eta \mathcal{N}_{Av} r}

fejn \ R hi l-kostanti tal-gasijiet perfetti, \ T it-temperatura, \ \eta il- viskożità tal-fluwidu, \ r ir-raġġ tal-partiċella u \mathcal{N}_{Av} in-numru ta' Avogadro. Il-fiżiku Jean Perrin ikkalkula dan in-numru fl-1908 permezz ta' din il-formola.

Xi mudelli fl-spazju Ewklidew[editja]

L-ekwazzjoni ta' Langevin (1908)[editja]

Fil-metodu ta' Langevin[5], il-partiċella Brownjana l-kbira ta' massa \ m għandha fil-waqt \ t, veloċità \ v(t) u jaħkmu fuqha żewġ forzi:

  • forza ta' frizzjoni fluwida tat-tip f \, = \, - \, k \, v, fejn \ k hi kostanti pożittiva;
  • ħoss abjad Gaussjan, \ \eta[6].

Meta napplikaw il-prinċipju fundamentali tad-dinamika ta' Newton b'dawn il-forzi niksbu l-ekwazzjoni stokastika ta' Langevin:

 m \, \frac{dv(t)}{dt} \ = \ - \, k \, v(t) \ + \ \eta(t)

Il-proċess ta' Ornstein-Uhlenbeck[editja]

Il-proċess ta' Ornstein-Uhlenbeck hu proċess stokastiku li jiddeskrivi l-veloċita ta' partiċella fi fluwidu, f'dimensjoni 1.

Niddefinuh bħala s-soluzzjoni \ X_t ta' din l-ekwazzjoni differenzjali stokastika:

dX_t=\sqrt2dB_t-X_tdt,

fejn \ B_t hu moviment Brownjan standard, u \ X_0 hi varjabbli każwali mogħtija. It-terminu \ dB_t jirrappreżenta l-għadd kbir ta' ħabtiet stokastiċi mal-partiċella, waqt li t-terminu \ -{X_t}dt jirrappreżenta l-forza tal-frizzjoni fuq il-partiċella.

Il-formola ta' Itô applikata għall-proċess \ {e^t}X_t tagħtina:

d({e^t}X_t)={e^t}{X_t}dt+{e^t}(\sqrt{2}{dB_t}-{X_t}dt)={e^t}\sqrt{2}{dB_t},

li fil-forma integrali ssir:

X_t={X_0}e^{-t}+\sqrt{2}e^{-t}\int_0^t{e^s}dB_s.

Pereżempju, jekk \ X_0 tieħu kważi żgur il-valur \ x, Il-liġi ta' \ X_t hi liġi Gaussjana b'medja \ xe^{-t} u varjanza \ 1-e^{-2t}, li tikkonverġi fil-liġi meta \ t tersaq lejn l-infinit għal liġi Gaussjana standard.

Mixjiet każwali[editja]

Nistgħu nużaw mudell ta' mixja każwali, fejn il-moviment isir b'qabziet diskreti bejn pożizzjonijiet fissi (b'movimenti f'linja dritta bejn żewġ pożizzjonijiet), bħal pereżempju fil-każ tad-diffużjoni fis-solidi. Jekk ix-\ X_i huma l-pożizzjonijiet wara xulxin ta' partiċella, wara \ n qabżiet ikollna:

\langle \, X^2_n \ \rangle \ = \ \frac{1}{n} \ \sum_{i = 1}^n \ x_i^2.

Mixja każwali f'dimensjoni waħda tal-ispazju (Eżempju)[editja]

Ejjew inħarsu lejn mixja ta' partiċella fuq l-assi Ox. Nissoponu li din il-partiċella tagħmel qabżiet ta' tul \ a bejn pożizzjonijiet ġirien ta' xulxin sitwati fuq l-għoqod tax-xibka:  \{\, n \, a \ , n \in \mathbb{Z} \, \} ta' ħadma \ a u kull qabża ddum żmien \ \tau.

Irridu nagħtu wkoll numru \  p li jissodisfa: \ 0 < p < 1. L-interpretazzjoni fiżika ta dan il-parametru hi din:

  • \ p tirrapreżenta l-probabbiltà li l-partiċella taqbeż lejn il-lemin kull darba;
  • \ q = 1 - p tirrapreżenta l-probabbiltà li l-partiċella taqbeż lejn ix-xellug kull darba.

Il-każ tal-moviment Brownjan jikkorrispondi ma' li nagħmlu l-ipoteżi ta' iżotropija spazjali. Id-direzzjonijiet fl-ispazju fiżiku huma a priori ekwivalenti u l-probabbiltajiet ta' qbiż lejn iż-żewġ direzzjonijiet huma l-istess:

p \ = \ q \ = \ \frac{1}{2}

Ix-xbiha hawn taħt turi eżempju tipiku tar-riżultat: il-partiċella titlaq minn \ 0, \ x(0)=0, u l-linja timxi mal-pożizzjonijiet suċċessivi \ x(k) tal-partiċella fil-ħinijiet \ k.

Marche au hasard.jpg

Il-probabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali[editja]

Il-probabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali niddefinuha hekk:

P(n|m,s) \ = \ P(na|ma, s\tau)

bħala l-probabbiltà li nsibu l-partiċella fuq is-sit (għoqda) \ ma fil-ħin \ s\tau meta nkunu nafu li kienet fuq is-sit \ na fil-ħin tal-bidu \ 0.

L-ipoteżi ta' iżotropija twassalna biex niktbu l-liġi tal-evoluzzjoni ta' din il-pobabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali b'dan il-mod :


P(n|m,s+1) \ = \ \frac{1}{2} \ \left[ \ P(n|m+1,s) \ + \ P(n|m-1,s)  \ \right]

Minnha niddeduċu din ir-relazzjoni:

P(n|m,s+1) \, - \, P(n|m,s) \ = \ \frac{1}{2} \ \left[ \ P(n|m+1,s) \, + \, P(n|m-1,s) \, - \, 2 \ P(n|m,s) \ \right]

Konverġenza lejn il-moviment Brownjan. Ekwazzjoni ta' Fokker-Planck[editja]

Ejjew nieħdu l-limitu kontinwu tal-aħħar ekwazzjoni, jiġifieri nieħdu l-limitu bil-parametri:

  • \tau \ \to \ 0
  • a \ \to \ 0

Meta nagħmlu l-kalkulu tal-limitu kontinwu naraw li l-kumbinazzjoni \ a^2/2\tau trid tibqa' kostanti f'dan il-limitu. Meta niżviluppaw \ P f'poteri ta' \ \tau insibu:

P(n|m,(s+1)\tau) \ - \ P(n|m,s\tau) \ = \ \tau D_2 P(n|m,s\tau)  + \ O(\tau^2).

Meta niżviluppawha f’poteri ta' \ a ikollna:

P(n|(m\pm 1)a,s) \ = \ P(n|ma,s) \, \pm \, a \tau D_1 P(n|ma,s) + \, \frac{a^2}{2} \tau D_1 ^2 P(n|ma,s) + \, O(a^3).

u jekk nagħqduhom dawn tal-aħħar flimkien inġibu:

P(n|m+1,s) \, + \, P(n|m-1,s) \, - \, 2 \ P(n|m,s) \ = \ a^2 \tau D^2_1 P(n|ma,s) + \, O(a^3).

Minn dawn nistgħu niddeduċu l-ekwazzjoni ta' Fokker-Planck :

\tau \ D_2P(x_0|x,t)\ = \ \frac{a^2}{2} \ D_1^2 P(x_0|x,t),

jew

\tau \ \frac{\partial P(x_0|x,t)}{\partial t} \ = \ \frac{a^2}{2} \ \frac{\partial^2 P(x_0|x,t)}{\partial x^2}

li nistgħu nerġgħu niktbuha:


\frac{\partial P(x_0|x,t)}{\partial t} \ = \ D \ \frac{\partial^2 P(x_0|x,t)}{\partial x^2}

meta nintroduċu l-koeffiċjent tad-diffużjoni:

D \ = \ \frac{a^2}{2\tau}.

Solution tal-ekwazzjoni ta' Fokker-Planck[editja]

Barra mill-ekwazzjoni ta' Fokker-Planck, id-densità ta' probabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali \ P(x_0|x,t) trid tissosdisfa iż-żewġ kondizzjonijiet supplementari li ġejjin:

  • in-normalizzazzjoni tal-probabbiltà totali:
\forall \ t \ > \ 0 \ , \quad \int_{-\infty}^{+\infty} dx \ P(x_0|x,t) \ = \ 1
  • il-kondizzjoni inizjali:
\lim_{t \to 0}  P(x_0|x,t) \ = \ \delta(x - x_0)

fejn \ \delta(x) hi d-distribuzzjoi ta' Dirac.

Id-densità ta' probabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali \ P(x_0|x,t) hi mela essenzjalment funzjoni ta' Green tal-ekwazzjoni ta' Fokker-Planck. Nistgħu nuru li din tinkiteb espliċament:

P(x_0|x,t)\ = \ \frac{1}{\sqrt{4 \pi D t}} \ \exp \, \left[ \ - \ \frac{(x-x_0)^2}{4 D t} \ \right]

Il-mumenti ta' din id-distribuzzjoni nistgħu nikkalkulawhom faċilment[7].

Il-moviment Brownjan fuq varjetà Riemannjana[editja]

Insejħu moviment Brownjan fuq varjetà Riemannjana \ V il-proċess każwali kontinwu Markovjan li s-semigrupp tiegħu tat-tranżizzjoni b'parametru wieħed hu mnissel minn \ 1/2 \, \Delta_V, fejn \ \Delta_V hu l-operatur ta' Laplace-Beltrami fuq il-varjetà \ V.

Noti u referenzi[editja]

  1. ^ Robert Brown ; A brief account of microscopical observations made in the months of June, July and August, 1827, on the particles contained in the pollen of plants; and on the general existence of active molecules in organic and inorganic bodies., Philosophical Magazine 4 (1828), 161-173. Wieħed jista' jaraha fil-format pdf fuq dan is-sit [1]
  2. ^ Brian J. Ford ; Brownian movement in Clarkia pollen: a reprise of the first observations, The Microscope, 40 (4): 235-241, 1992 Riproduzzjoni tal-artiklu online
  3. ^ Fil-każ ta' moviment regolari f'linja, hu l-ispostament \ x(t) li hu proporzjonali għall-ħin.
  4. ^ Ngħidu li ġrajja hi kważi żgura jew tiġri kważi żgurament jekk il-probabbiltà li tiġri hi 1.
  5. ^ Paul Langevin, Sur la théorie du mouviment Brownien, (Dwar it-teorija tal-moviment Brownjan), Comptes-rendus de l'Académie des Sciences 146 (1908), 530-532. Wieħed jista' jikkonsulta u jniżżel it-test komplut fil-format pdf mis-sit Gallica de la BNF.
  6. ^ Ħoss abjad Gaussjan \ \eta(t) hu proċess każwali b'medja żero:

    \langle \, \eta(t) \, \rangle \ = \ 0

    u totalment dekorrelat fil-ħin; in fatti l-funzjoni ta' korrelazzjoni ta' żewġ ħinijiet tieħu l-valur:

    \langle \, \eta(t_1) \ \eta(t_2) \, \rangle \ = \ \Gamma \ \delta(t_1-t_2)

    F'din il-formola, \ \Gamma hi kostanti posittiva, u \ \delta(t) hi d-distribuzzjoni ta' Dirac.


    F'dawn iż-żewġ formoli, il-medja tittieħed fuq ir-realizzazzjoniet possibbli ta' ħoss abjad Gaussjan. Nistgħu nifformulaw dan billi nintroduċu integral funzjonali li għadu msejjaħ bl-isem li tah Feynman, Integral fuq il-Mgħodijiet definit għall-meżura Gaussjana msejħa "meżura ta' Wiener" (Cf. e.g. : Mark Kac ; Integration in Function Space and some of Its Applications, (Integrazzjoni fuq spazju ta' funzjonijiet u xi applikazzjonijiet tagħha), Lezioni Fermiane, Accademia Nazionale dei Lincei, Scuola Normale Superiore, Pisa, Italy (1980). Test fil-format jinstab fuq [2]) hekk, niktbu:

    \langle \, \eta(t_1) \ \eta(t_2) \, \rangle \ = \ \int \left[ \, \mathcal{D}\eta(t) \, \right] \ \eta(t_1) \ \eta(t_2) \ \textrm{e}^{ - \frac{1}{2 \Gamma} \int_{t_1}^{t_2}\dot{\eta}^2(\tau) d \tau}

    fejn \ \dot{\eta} hi d-derivata ta' \ \eta bil-ħin \ t.

  7. ^ Biex nissemplifikaw inqegħdu \ x_0 = 0. Il-mument ta' ordni \ n hu

    \langle \,  x^n(t)  \ \rangle \ = \ \int_{-\infty}^{+\infty} dx \ x^n \ P_0(x,t)

    fejn \ P_0(x,t) = P(0|x,t). Billi l-funzjoni \ P_0 hi żewġ, il-mumenti tagħha kollha ta' ordni farada huma żero. Nistgħu faċilment nikkalkulaw il-momenti kollha ta' ordni żewġija billi nqegħdu:

    \alpha \ = \ \frac{1}{4 D t}

    u niktbu:

    \langle \,  x^n(t)  \ \rangle \ = \ \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} \ \int_{-\infty}^{+\infty} dx \ x^{2n} \ \mathrm{e}^{- \alpha x^2}  \ = \ (-1)^n \ \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} \ \frac{d^n~}{d \alpha^n} \ \left[ \, \int_{-\infty}^{+\infty} dx \ \mathrm{e}^{- \alpha x^2} \, \right].

    Niksbu espliċitament:

    \langle \,  x^n(t)  \ \rangle \ = \ (-1)^n \ \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}} \ \frac{d^n~}{d \alpha^n} \ \left[ \, \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \, \right] \ = \ (-1)^n \ \sqrt{\alpha} \ \frac{d^n~}{d \alpha^n} \ \left[ \, \frac{1}{\sqrt{\alpha}} \, \right].

    Niksbu b'mod partikulari għall-mument ta' ordni tnejn:

    \langle \,  x^2(t)  \ \rangle \ = \ - \, \sqrt{\alpha} \, \frac{d~}{d \alpha} \, \left[ \, \frac{1}{\sqrt{\alpha}} \, \right] \ = \ (- \, \sqrt{\alpha}) \, \times \, \left( - \, \frac{1}{2\alpha^{3/2}} \right) \ = \ \frac{1}{2 \alpha} \ = \ 2 D t

Bibljografija[editja]

Aspetti storiċi[editja]

  • Jean Perrin, Mouvement brownien et réalité moléculaire, (Il-moviment Brownjan u r-realtà molekulari) Annales de Chimie et de Physique 19 (it-8 serje), (1909), 5-104. Wieħed jista' jikkonsulta u jniżżel it-test komplut fil-format pdf minn fuq is-sit Gallica tal-BNF.
  • Albert Einstein, Investigations on the Theory of the Brownian Movement, (Starriġ dwar it-teorija tal-moviment Brownjan) Dover Publications, Inc. (1985), ISBN 0-486-60304-0. Edizzjoni mill-ġdid tal-artikli oriġinali ta' Einstein fuq it-teorija tal-moviment Brownjan.

Il-moviment Brownjan fl-ispazju Ewklidew[editja]

  • Bertrand Duplantier ; Le mouvement brownien, (Il-moviment Brownjan) Séminaire Poincaré : Einstein, 1905-2005 (Pariġi, 8 ta' April 2005). Test komplut disponibbli fuq [3].
  • Bernard Derrida u Eric Brunet, Le mouvement brownien et le théorème de fluctuation-dissipation, (Il-moviment Brownjan u t-teorema ta' flutwazzjoni-dissipazzjoni) f Michèle Leduc & Michel Le Bellac (edituri) ; Einstein aujourd'hui, EDP Sciences (Jannar 2005), ISBN 2-86883-768-9.
  • Paul Lévy, Processus stochastiques et mouvement brownien, (Proċessi stokastiċi u l-moviment Brownjan) Gauthier-Villars (it-2 edizzjoni - 1965). Re-editjata minn Jacques Gabay (1992), ISBN 2-87647-091-8.
  • Mark Kac, Random Walk and the Theory of Brownian Motion, (Mixjiet każwali u t-teorija tal-moviment Brownjan) American Mathematical Monthly 54(7) (1947), 369-391. Test jista' jinstab fil-format pdf fuq [4].
  • Edward Nelson, Dynamical Theories of Brownian Motion, (Teoriji dinamiċi tal-moviment Brownjan) Princeton University Press (1967). Test jista' jinstab fil-format pdf fuq [5].

Il-moviment Brownjan fuq varjetà Riemannjana[editja]

  • Elton P. Hsu ; Stochastic Analysis on Manifolds, (Analisi stokastika fuq il-varjetajiet) American Mathematical Society (Jannar 2002), ISBN 0-8218-0802-8.
  • Elton P. Hsu ; A Brief Introduction to Brownian Motion on a Riemannian Manifold, (Introduzzjoni fil-qosor għall-moviment Brownjan fuq varjetà Riemannjana) (2003). Test jista' jinstab fil-format pdf fuq [6].
  • Mark A. Pinsky ; Isotropic transport process on a Riemannian manifold, (Proċess iżotropiku tat-trasport fuq varjetà Riemannjana), Transaction of the American Mathematical Society 218 (1976), 353-360.
  • Mark A. Pinsky ; Can You Feel the Shape of a Manifold with Brownian Motion ? (Tista' tħoss il-forma ta' varjetà permezz tal-moviment Brownjan ?), Expositiones Mathematicae 2 (1984), 263-271.
  • Nicolas Th. Varopoulos ; Brownian motion and random walks on manifolds (Moviment Brownjan u mixjiet każwali fuq varjetajiet), Annales de l'Institut Fourier 34(2) (1984), 243-269. Test jista' jinstab fil-format pdf fuq [7].
  • Alexander Grigor'yan ; Analytic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds, (Sfond analitiku u ġeometriku tal-moviment Brownjan fuq varjetajiet Riemannjani), Bulletin of the American Mathematical Society 36(2) (1999), 135-249. Test jista' jinstab fuq [8].

Ħoloq esterni[editja]