Analisi armonika

Minn Wikipedija, l-enċiklopedija l-ħielsa
Aqbeż lejn: navigazzjoni, fittex

L-analisi armonika hi l-fergħa tal-matematika li tistudja r-rappreżentazzjoni tal-funzjonijiet u tas-sinjali bħala sovrappożizzjoni ta' mewġ fundamentali. Il-mewġ fundamentali jgħidulhom "armoniċi", minn fejn ġej l-isem "analisi armonika". Fl-analisi armonika ninvestigaw u niġġeneralizzaw l-idejat tas-serje ta' Fourier u t-trasformata ta' Fourier. Fl-aħħar żewġ sekli l-analisi armonika saret suġġett vast ħafna b'applikazzjonijiet f'bosta oqsma bħall-elaborazzjoni numerika tas-sinjali, il-mekkanika kwantistika u n-newroxjenzi.

It-trasformata ta' Fourier klassika fuq Rn għadha l-oġġett ta' riċerka, in partikulari t-trasformazzjoni ta' Fourier ta' oġġetti iżjed ġenerali bħad-distribuzzjonijiet temperati. Pereżempju jekk nimponu ċerti ħtiġijiet fuq distribuzzjoni f, nistgħu nittraduċuhom f'termini tat-trasformata ta' Fourier ta' f. It-teorema ta' Paley-Wiener hu eżempju ta' dan. Dan it-teorema jgħid li jekk f tkun distribuzzjoni mhux nulla b'support kompatt (din id-definizzjoni tinkludi wkoll il-funzjonijiet b'support kompatt), imbagħad it-trasformata ta' Fourier tagħha ma jistgħax ikollha support kompatt. Din hi forma elementari ħafna tal-prinċipju ta' indeterminazzjoni fl-ambitu ta' l-analisi armonika.

Is-serji ta' Fourier nistgħu nistudjawhom ukoll fil-kuntest ta' l-ispazji ta' Hilbert, u hekk nagħmlu rabta bejn l-analisi armonika u l-analisi funzjonali.

Analisi armonika astratta[editja]

Waħda mill-friegħi l-iżjed moderni ta' l-analisi armonika, li bdiet fit-tieni nofs tas-seklu 20, hi l-analisi matematika fuq il-gruppi topologiċi. Il- motivazzjoni ewlenija hi l-fatt li nistgħu niġġeneralizzaw bosta trasformati ta' Fourier għal trasformata ta' funzjonijiet definiti fuq gruppi lokalment kompatti.

It-teorija għall-gruppi abeljani lokalment kompatti jgħidulha d-dwalità ta' Pontryagin.

L-analisi armonika tistudja il-proprijetajiet ta' din id-dwalità u tat-trasformata ta' Fourier u l-estensjoni ta' dawn il-karatteristiċi f'ambiti differenti, pereżempju għall-gruppi ta' Lie mhux abeljani.

Fil-każ ta' gruppi generiċi mhux abeljani u lokalment kompatti, l-analisi armonika għandha rabta qawwija mat-teorija tar-rappreżentazzjonijiet tal-gruppi unitarji. Fil-każ tal-gruppi kompatti, it-teorema ta' Peter-Weyl jgħidilna kif nistgħu niksbu l-armoniċi billi nagħżlu rappreżentazzjoni irriduċibbli minn kull klassi ta' ekwivalenza ta' rappreżentazzjonijiet. Din l-għażla ta' armoniċi tiret xi proprijetajiet utli tat-trasformata ta' Fourier klassika, bħat-trasformazzjoni tal-konvoluzzjoni f'prodott punt b'punt jew il-fatt li turi ċertu komprensjoni tal-istruttura sottostanti tal-grupp.

Jekk il-grupp ma jkunx la abeljan u lanqas kompatt, m'hemm l-ebda teorija soddisfaċenti. B' "soddisfaċenti" nfissru li mill-inqas ikollna l-ekwivalenti tat-teorema ta' Plancherel. Ma dan kollu ġew analizzati ħafna każi partikulari, pereżempju SLn. F'dal-każ insibu li r-rappreżentazzjonijiet f'dimensjonijiet infiniti għandhom post kruċjali.

Friegħi oħra[editja]

  • L-istudju ta' l-awtovaluri u awtovetturi tal-Laplacejan fuq dominji, varjetajiet u (ftit inqas) grafi hu meqjus ukoll bħala fergħa ta' l-analisi armonika. Ara pereżempju Isma' l-forma ta' tambur.
  • L-analisi armonika fuq spazji Ewklidej tħares lejn il-proprijetajiet tat-trasformata ta' Fourier fuq Rn li m'għandhomx analogi fil-gruppi generiċi. Pereżempju, il-fatt li t-trasformata ta' Fourier hi invarjanti bir-rotazzjoni. Id-dekompożizzjoni tat-trasformata fil-komponenti tagħha radjali u sferiċi tagħtina oġġetti bħall-funzjonijiet ta' Bessel u l-armoniċi sferiċi.
  • L-analisi armonika b'dominji tubi tiġġeneralizza l-proprietajiet ta' l-ispazji ta' Hardy għal dimensjonijiet ogħla.

Bibljografija[editja]

  • Elias M. Stein and Guido Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971. ISBN 069108078X
  • Yitzhak Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Third edition. Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-83829-0; 0-521-54359-2