Lemma ta’ Borel-Cantelli

Minn Wikipedija, l-enċiklopedija l-ħielsa

Il-Lemma ta’ Borel-Cantelli hu riżultat fit-teorija tal-probabbiltà u t-teorija tal-miżura fundamentali għall-prova tal-liġi qawwija tan-numri kbar. Il-lemma msemmija għal Émile Borel u Francesco Paolo Cantelli.

Lemma ta’ Borel-Cantelli:

Ħalli $(\Omega, \mathcal{E}, \mu)$ ikun spazju tal-miżura u $\{S_n\}_{n\in\N}$ tkun suċċessjoni ta’ sottosettijiet miżurabbli ta’ $\displaystyle{\Omega}$ . Imbagħad għandna:

$(1) \, \sum_{n=0}^{\infty}\mu(S_n)\in\mathbb{R} \Rightarrow \mu\left(\limsup_{n\to\infty}S_n\right)=0,$

fejn $\limsup$ hu l-limitu superjuri tas-suċċessjoni $S_n$ :

$\limsup_{n\to\infty} S_n = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{i=n}^{\infty}S_i.$

Prova

Bil-monotonija ta’ $\mu$ , għandna

$\mu\left(\limsup_{n\to\infty}S_n\right) = \mu\left({\bigcap_{n=1}^\infty}{\bigcup_{i=n}^\infty}S_i\right) = \lim_{n\to\infty}\mu\left(\bigcup_{i>n}S_i\right) .$

Issa bis-subadditività:

$\lim_{n\to\infty}\mu\left(\bigcup_{i>n}S_i\right) \leq \lim_{n\to\infty}\sum^\infty_{i=n}\mu(S_i).$

Għalhekk billi ta' l-aħħar hu l-limitu tal-bqija ta’ serje konverġenti, għandna

$\mu\left(\limsup_{n\to\infty}S_n\right) \leq \lim_{n\to\infty}\sum^\infty_{i=n}\mu(S_i)=0.$

In partikulari, fi spazju tal-probabbiltà $(\Omega, \mathcal{A}, \operatorname{P})$ , għal suċċessjoni ta’ ġrajjiet $\{E_n\}_{n\in\N}$ , għandna:

$(1)\sum_{n=0}^{\infty}\operatorname{P}(E_n)\in\mathbb{R} \Rightarrow \operatorname{P}\left(\limsup_{n\to\infty}E_n\right)=0.$

Fil-każ ta’ spazji tal-probabbiltà, hi veru wkoll il-propożizzjoni li ġejja (spiss imsejjħa "it-tieni lemma ta’ Borel-Cantelli"):

$(2) \, \sum_{n=0}^{\infty}\operatorname{P}(E_n)=\infty$ u $E_n$ huma indipendenti $\Rightarrow \operatorname{P}\left(\limsup_{n\to\infty}S_n\right)=1.$

Prova ta’ l-asserzjoni 2

$\operatorname{P}\left(\limsup_{n\to\infty}E_n\right)=\lim_{n \to \infty}\operatorname{P}\left(\bigcup_{i\geq n}E_i\right) ;$

$\operatorname{P}\left(\bigcup_{i\geq n}E_i\right)=1-\operatorname{P}\left(\bigcap_{i\geq n}\overline{E_i}\right)= 1-\lim_{k \to \infty}\operatorname{P}\left(\bigcap_{i= n}^k\overline{E_i}\right).$

Issa bl-indipendenza u d-diżugwaljanza $e^{-x} \geq 1-x$ ;

$1-\lim_{k \to \infty}\operatorname{P}\left(\bigcap_{i= n}^k\overline{E_i}\right)=1-\lim_{k \to \infty}\left(\prod_{i= n}^k \operatorname{P}(\overline{E_i})\right)=1-\lim_{k \to \infty}\left(\prod_{i= n}^k \left(1-\operatorname{P}(E_i)\right)\right) \geq 1-\lim_{k \to \infty} \prod_{i=n}^k e^{-\operatorname{P}(E_i)}$

$=1-\lim_{k \to \infty}e^{-\sum_{i=n}^k \operatorname{P}(E_i)}=1,$

billi s-somma tiddiverġi u hekk l-esponenzjali tersaq lejn 0. Għalhekk:

$\operatorname{P}\left(\limsup_{n\to\infty}E_n\right) \geq \lim_{n \to \infty}1=1 \Rightarrow \operatorname{P}\left(\limsup_{n\to\infty}E_n\right)=1$

Fi kliem ieħor jekk suċċessjoni ta’ ġrajjiet għandha probabbiltà sommabbli, kważi żgurament, in-numru ta’ drabi li jiġru hu finit. Jekk minflok il-probabbiltà mhijiex sommabili u l-ġrajjiet huma indipendenti kważi żgurament in-numru ta’ drabi li jiġru hu infinit. In partikulari f’numru infinit ta’ provi indipendenti kull ġrajja b’probabbiltà pożittiva tiġri numru infinit ta’ drabi.

Portal Matematika

Lemma ta’ Borel-Cantelli

Minn Wikipedija, l-enċiklopedija l-ħielsa

Visti

Għodda personali

Navigazzjoni

komunità

Fittex

Għodda

F'lingwi oħrajn