Lemma ta’ Borel-Cantelli

Minn Wikipedija, l-enċiklopedija l-ħielsa
Aqbeż lejn: navigazzjoni, fittex

Il-Lemma ta' Borel-Cantelli hu riżultat fit-teorija tal-probabbiltà u t-teorija tal-miżura fundamentali għall-prova tal-liġi qawwija tan-numri kbar. Il-lemma hi msemmija għal Émile Borel u Francesco Paolo Cantelli.

Lemma ta' Borel-Cantelli:

Ħalli (\Omega, \mathcal{E}, \mu) ikun spazju tal-miżura u \{S_n\}_{n\in\N} tkun suċċessjoni ta' sottosettijiet miżurabbli ta' \displaystyle{\Omega}. Imbagħad għandna:

(1) \, \sum_{n=0}^{\infty}\mu(S_n)\in\mathbb{R} \Rightarrow \mu\left(\limsup_{n\to\infty}S_n\right)=0,

fejn \limsup hu l-limitu superjuri tas-suċċessjoni {\displaystyle S_n}:

 \limsup_{n\to\infty} S_n = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{i=n}^{\infty}S_i.
Prova
Bil-monotonija ta' {\displaystyle \mu}, għandna
\mu\left(\limsup_{n\to\infty}S_n\right) = \mu\left({\bigcap_{n=1}^\infty}{\bigcup_{i=n}^\infty}S_i\right) = \lim_{n\to\infty}\mu\left(\bigcup_{i>n}S_i\right) .
Issa bis-subadditività:
\lim_{n\to\infty}\mu\left(\bigcup_{i>n}S_i\right) \leq \lim_{n\to\infty}\sum^\infty_{i=n}\mu(S_i).
Għalhekk billi ta' l-aħħar hu l-limitu tal-bqija ta' serje konverġenti, għandna
\mu\left(\limsup_{n\to\infty}S_n\right) \leq \lim_{n\to\infty}\sum^\infty_{i=n}\mu(S_i)=0.


In partikulari, fi spazju tal-probabbiltà (\Omega, \mathcal{A}, \operatorname{P}), għal suċċessjoni ta' ġrajjiet \{E_n\}_{n\in\N}, għandna:

 (1)\sum_{n=0}^{\infty}\operatorname{P}(E_n)\in\mathbb{R} \Rightarrow \operatorname{P}\left(\limsup_{n\to\infty}E_n\right)=0.

Fil-każ ta' spazji tal-probabbiltà, hi veru wkoll il-propożizzjoni li ġejja (spiss imsejjħa "it-tieni lemma ta' Borel-Cantelli"):

(2) \, \sum_{n=0}^{\infty}\operatorname{P}(E_n)=\infty u {\displaystyle E_n} huma indipendenti \Rightarrow \operatorname{P}\left(\limsup_{n\to\infty}S_n\right)=1.


Prova ta' l-asserzjoni 2
\operatorname{P}\left(\limsup_{n\to\infty}E_n\right)=\lim_{n \to \infty}\operatorname{P}\left(\bigcup_{i\geq n}E_i\right) ;
\operatorname{P}\left(\bigcup_{i\geq n}E_i\right)=1-\operatorname{P}\left(\bigcap_{i\geq n}\overline{E_i}\right)= 1-\lim_{k \to \infty}\operatorname{P}\left(\bigcap_{i= n}^k\overline{E_i}\right).
Issa bl-indipendenza u d-diżugwaljanza e^{-x} \geq 1-x;
1-\lim_{k \to \infty}\operatorname{P}\left(\bigcap_{i= n}^k\overline{E_i}\right)=1-\lim_{k \to \infty}\left(\prod_{i= n}^k \operatorname{P}(\overline{E_i})\right)=1-\lim_{k \to \infty}\left(\prod_{i= n}^k \left(1-\operatorname{P}(E_i)\right)\right) \geq 1-\lim_{k \to \infty} \prod_{i=n}^k e^{-\operatorname{P}(E_i)}
=1-\lim_{k \to \infty}e^{-\sum_{i=n}^k \operatorname{P}(E_i)}=1,
billi s-somma tiddiverġi u hekk l-esponenzjali tersaq lejn 0. Għalhekk:
\operatorname{P}\left(\limsup_{n\to\infty}E_n\right) \geq \lim_{n \to \infty}1=1 \Rightarrow \operatorname{P}\left(\limsup_{n\to\infty}E_n\right)=1

Fi kliem ieħor jekk suċċessjoni ta' ġrajjiet għandha probabbiltà sommabbli, kważi żgurament, in-numru ta' drabi li jiġru hu finit. Jekk minflok il-probabbiltà mhijiex sommabili u l-ġrajjiet huma indipendenti kważi żgurament in-numru ta' drabi li jiġru hu infinit. In partikulari f'numru infinit ta' provi indipendenti kull ġrajja b'probabbiltà pożittiva tiġri numru infinit ta' drabi.

Ħoloq esterni[editja]