Ekwazzjoni differenzjali

Fl-analisi matematika, ekwazzjoni differenzjali hi relazzjoni bejn funzjoni ${\displaystyle u(x)}$ mhux magħrufa u xi derivati tagħha.

Fil-każ li ${\displaystyle u}$ tkun funzjoni

$u:I\to \mathbb {R}$

definita f' intervall $I\!$ ta' $\mathbb {R}$ ngħidu li hi ekwazzjoni differenzjali ordinarja (imqassra ODE, akronimu ta' ordinary differential equation). Eżempju ta' ODE hi r-relazzjoni

$u''(x)=u(x)+u'(x)\!$.

Il-forma l-iżjed ġenerali ta' ekwazzjoni differenzjali ordinarja (invarjabbli) ta' ordni $\ n$ hija:

$f(x,u(x),u'(x),...,u^{(n)}(x))=0\!$.

Insejħu ordni jew grad tal-ekwazzjoni, il-grad tal-ogħla derivata preżenti; pereżempju:

$u''(x)=f(x,u(x),u'(x))\!$

hi ekwazzjoni differenzjali ordinarja (il-funzjoni mhux magħrufa ${\displaystyle u}$ hi funzjoni ta' ${\displaystyle x}$ biss) tat-tieni ordni.

Funzjoni $\ u$ (derivabbli għal ċertu numru ta' drabi) li tissodisfa r-relazzjoni definita mill-ekwazzjoni ngħidulha soluzzjoni tal-ekwazzjoni differenzjali.

Ġeneralment, hu diffiċli jekk mhux impossibbli li nsibu espressjoni analitika ta' funzjoni li tissodisfa ekwazzjoni differenzjali, jiġifieri nsibu soluzzjoni espliċita,. Ma dan kollu, kważi dejjem possibbli nistudjaw l-imġiba tagħha kwalitativa jew ninqdew b' computer biex insibu approssimazzjoni permezz ta' metodi numeriċi.

Matul is-sekli, mindu Leibniz u Newton ifformalizzaw il-kalkulu infiniteżmali, instabu xi każi fejn hu possibbli nsibu l-espressjoni analitika tas-soluzzjoni. Xi drabi nistgħu insibu soluzzjoni espliċita, jiġifieri $\ y=f(x)\;$, u xi drabi oħra impliċita, jew fil-forma

$f(y)=g(x),\;\!$

li tista' tinbidel f'forma espliċita biss jekk $\ f$ hi invertibbli, u f'dal-każ ikollna

$y=f^{-1}\left(g(x)\right).$

Motivazzjoni

L-ekwazzjonijiet differenziali huma l-iżjed strumenti importanti li tagħtina l-analisi matematika għall-istudju ta' mudelli matematiċi fl-iżjed setturi tax-xjenza mferrxin, mill-fiżika għall-bijoloġija għall-ekonomija. Eżempju elementari ħafna ta' kif l-ekwazzjonijiet differenziali jistgħu joħorġu naturalment mill-istudju ta' sistemi huwa dan li ġej: Nissoponu li għandna popolazzjoni ta' batteri komposta fil-bidu $\left(t=0\right)\;$ minn $P_{0}\;$ individwi u nsejħu $P(t)\;$ il-popolazzjoni fil-ħin ${\displaystyle t}$. Wieħed jistenna li, fil-medja, f'kull waqt ${\displaystyle t}$, wara ħin relativament żgħir ${\displaystyle dt}$ titwieled kwantità ta' individwi ġodda proporzjonali għall-popolazzjoni u għall-ħin li għadda ${\displaystyle dt}$, jiġifieri daqs $nP(t)\,dt$ fejn $n$ hu numru (li nissoponu kostanti) li jiddeskrivi r-rata tat-twelid; analogament wieħed jistenna li jmutu $mP(t)\,dt$ individwi fl-istess intervall ta' ħin, fejn $m\;$ hu r-rata (kostanti) tal-mewt. Il-popolazzjoni fil-ħin ${\displaystyle t+dt}$, għalhekk, tingħata mill-popolazzjoni fil-ħin ${\displaystyle t}$ li nżidu magħha l-popolazzjoni li għadha kif twieldet u nnaqsu dik li mietet, jiġifieri

$P(t+dt)=P(t)+nP(t)dt-mP(t)dt=P(t)+(n-m)P(t)dt.\!$

Għalhekk għandna

${\frac {P(t+dt)-P(t)}{dt}}=(n-m)P(t).$

Nistgħu nagħrfu f'din l-espressjoni ir-rapport inkrementali tal-funzjoni ${\displaystyle P(t)}$; jekk ${\displaystyle dt}$ hu żgħir ħafna li nistġhu nissostitwuh bid-derivata ${\displaystyle P'(t)}$ u niktbu:

$P'(t)=(n-m)P(t).\!$

Din hi ekwazzjoni differenzjali ordinarja tal-ewwel ordni. Ir-riżolużzjoni ta' din l-ekwazzjoni tfisser is-sejba ta' kif l-imġiba tal-popolazzjoni tinbidel mal-ħin, jiġifieri l-funzjoni $P(t)\;$ li tissodisfa.

F'dal-każ faċli li nsibu s-soluzzjoni, li hi l-funzjoni:

$P(t)=P_{0}\,e^{(n-m)t},\!$

funzjoni esponenzjali li tiżdied mal-ħin (b'mod "esplużiv") jekk ${\displaystyle n>m<}$, jiġifieri jekk in-natalità hi ogħla mill-mortalità, u tonqos biex tispiċċa fix-xejn malajr jekk ${\displaystyle m>n}$.

Il-mudell li eżaminajna, però, hu semplifikat ħafna; in ġenerali, ir-rata tal-kobor mhijiex sempliċement proporzjonali għall-popolazzjoni preżenti b'kostanti tal-proporzionalità fissa: nistennew, pereżempju, li r-riżorsi disposti jkunu limitati u mhux biżżejjed biex jissodisfaw popolazzjoni arbitrarjament kbira. Nistgħu nikkonsidraw, minflok, sitwazzjonijiet iżjed komplikati bħal dawk fejn hemm iżjed popolazzjonijiet li interaġixxu bejniethom, bħal pereżempju predi u predaturi fil-mudell ta' Volterra - Lotka.

Hekk hu importanti li jkollna metodi matematiċi biex nirriżolvu ekwazzjonijiet u sistemi ta' ekwazzjonijiet differenzjali b'mod analitiku u niksbu soluzzjoni eżatta. Imma billi dan mhux dejjem possibbli, jinħtieġu wkoll metodi biex nirriżolvuhom numerikament, jiġifieri napprossimaw is-soluzzjoni bl-idejn jew permezz ta' kalkulatur fl-inħawi ta' punt wieħed jew iżjed. Mill-banda l-oħra, jidher utli wkoll l-istudju kwalitativ tal-istruttura ġometrika tas-soluzzjonijiet meta nvarjaw id-dati inizjali jew il-parametri esterni, fejn sikwit jiġri li s-soluzzjoni tal-ekwazzjoni differenzjali għandha klassi sħieħa ta' funzjonijiet, li jiddipendu mill-parametri msejħin ġeneralment kundizjonijiet inizjali jew tax-xifer.

Problema ta' Cauchy

Il-problema ta' Cauchy assoċjat ma' ekwazzjoni differenzjali waħda jew iżjed jikkonsisti fir-riżoluzzjoni tas-sistema ffurmat mis-soluzzjoni tal-ekwazzjonijiet u tal-kundizzjoni inizjali. Bil-formuli:

${\begin{cases}f(x,y,y',y'',\dots ,y^{n})=0\ \ {\rm {{in}\ \ (a,b)}}\\y(a)=y_{0}\\\dots \\y^{n-1}(a)=y_{n-1}\end{cases}}$

L-ekwazzjoni polinomjali assoċjata

L-ekwazzjoni polinomjali assoċjata ma' ekwazzjoni differenzjali linjari hi l-ekwazzjoni li tinkiseb meta nbiddlu l-funzjoni $\ y(x)$, mhux magħrufa, fil-varjabbli awżilljarja $\ \lambda$ b'poter rispettivament daqs l-ordni tad-derivazzjoni ta' $\ y$ waqt li nżommu l-istess koeffiċjenti.

Pereżempju, jekk ningħtaw l-ekwazzjoni differenzjali $\ y''-5y'+6y=0\;$, nistgħu noħolqu ekwazzjoni fil-varjabbli awżilljarja $\ \lambda$ skont ir-regola indikata fuq u niksbu $\ \lambda ^{2}-5\lambda +6=0\;$.

Ekwazzjonijiet differenziali bid-derivati parzjali

Ekwazzjoni differenzjali bid-derivati parzjali (imqassra PDE, mill-inizjali tal-kliem Ingliżi partial differential equation) hi ekwazzjoni li tinvolvi d-derivati parzjali ta' funzjoni mhux magħrufa.

Fil-każ li $\ u$ tkun funzjoni ta' $\ k$ varjabbli reali indipendenti $\ (x_{1},\ldots ,x_{k})$, jiġifieri $\ u=u(x_{1},\ldots ,x_{k})\!$, ekwazzjoni differenzjali bid-derivati parzjali ta' ordni $\ n$, jkollha l-forma ġenerali:

$f\left(x_{1},\ldots ,x_{k},u,\ldots ,{{\partial u} \over {\partial x_{1}^{n}}},\ldots ,{{\partial u} \over {\partial x_{k}^{n}}}\right)=0,$

jekk $\ f$ tiddipendi espliċitament minn mill-inqas waħda mid-derivati parzjali ta' ordni $\ n$ ta' $\ u$ .

L-idea hi li niddeskrivu l-funzjoni indirettament permezz ta' relazzjoni bejnha u d-derivati parzjali tagħha, minflok niktbu l-funzjoni espliċitamenti. Ir-relazzjoni trid tkun lokali: trid tgħaqqad il-funzjoni mad-derivati tagħha fl-istess punt. Soluzzjoni tal-ekwazzjoni hi funzjoni li tissodisfa r-relazzjoni.

Bibljografija

• G. Boole A treatise on differential equations (McMillan, Cambridge, 1859)
• W. W. Johnson A treatise on ordinary and partial differential equations. (J. Wiley & Sons, New York, 1889)
• E. Goursat A course of mathematical analysis, part II of volume II (Ginn & co. 1917)
• E. L. Ince Ordinary Differential Equations (Longman Greens, London, 1927)
• A. R. Forsyth A Treatise On Differential Equations (MacMillan, London, 1929)
• E. G. C. Poole Introduction To The Theory Of Linear Differential Equations (Clarendon Press, Oxford, 1936)
• E. Picard Traité d'Analyse (vol. 3) (Gauthier-Villars, 1896)
• C. Jordan Cours d'Analyse de l'Ecole Polytechnique (vol. 3) (Gauthier-Villars, 1913)

Ħoloq esterni

Portal Matematika

• EqWorld
• MathWorld