Beta termodinamika

Skala ta' konverżjoni ta' temperatura/kesħa tas-SI: It-temperaturi fuq l-iskala Kelvin jidhru bil-blu (skala Celsius bl-aħdar, skala Fahrenheit bl-aħmar), il-valuri tal-kesħa f'gigabyte għal kull nanojoule jidhru bl-iswed. Temperatura infinita (kesħa żero) tidher fil-quċċata tad-dijagramma; valuri pożittivi ta' kesħa/temperatura jinsabu fuq in-naħa tal-lemin, valuri negattivi fuq in-naħa tax-xellug.

Fil-termodinamika statistika, il-beta termodinamika, magħrufa wkoll bħala kesħa, hija r-reċiproku tat-temperatura termodinamika ta' sistema:$$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}$$ (fejn T hija t-temperatura u k_B hija l-kostanti ta' Boltzmann).

Il-beta termodinamika għandha unitajiet reċiproċi għal dawk tal-enerġija (f'[unitajiet SI]], joules reċiproċi, $[\beta ]={\textrm {J}}^{-1}$). F'unitajiet mhux termali, tista' titkejjel ukoll f'byte għal kull joule, jew b'mod aktar konvenjenti, gigabyte għal kull nanojoule; 1 K⁻¹ huwa ekwivalenti għal madwar 13,062 gigabytes għal kull nanojoule; f'temperatura ambjentali: T = 300K, β ≈ 44 GB/nJ ≈ 39 eV⁻¹ ≈ 2.4×10²⁰ J⁻¹. Il-fattur ta' konverżjoni huwa 1 GB/nJ = $8\ln 2\times 10^{18}$ J⁻¹.

Deskrizzjoni

Il-beta termodinamika hija essenzjalment il-konnessjoni bejn l-teorija tal-informazzjoni u l-interpretazzjoni tal-mekkanika statistika ta' sistema fiżika permezz tal-entropija tagħha u t-termodinamika assoċjata mal-enerġija tagħha. Tesprimi r-rispons tal-entropija għal żieda fl-enerġija. Jekk ammont żgħir ta' enerġija jiżdied mas-sistema, allura β tiddeskrivi l-ammont li s-sistema se tirrandomizza.

Permezz tad-definizzjoni statistika tat-temperatura bħala funzjoni tal-entropija, il-funzjoni tal-kesħa tista' tiġi kkalkulata fl-ensemble mikrokanoniku mill-formula

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}},={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}\left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{V,N}$

(jiġifieri, id-derivata parzjali tal-entropija S fir-rigward tal-enerġija E f'volum kostanti V u numru ta' partikuli N).

Vantaġġi

Għalkemm kompletament ekwivalenti fil-kontenut kunċettwali għat-temperatura, β ġeneralment titqies bħala kwantità aktar fundamentali mit-temperatura minħabba l-fenomenu tat-temperatura negattiva, fejn β hija kontinwa hekk kif taqsam iż-żero filwaqt li T għandha singolarità.

Barra minn hekk, β għandha l-vantaġġ li hija aktar faċli biex tinftiehem b'mod kawżali: Jekk ammont żgħir ta' sħana jiżdied ma' sistema, β hija ż-żieda fl-entropija diviża biż-żieda fis-sħana. It-temperatura hija diffiċli biex tiġi interpretata fl-istess sens, peress li mhuwiex possibbli li "tiżdied l-entropija" ma' sistema ħlief indirettament, billi jiġu modifikati kwantitajiet oħra bħat-temperatura, il-volum, jew in-numru ta' partikuli.

Interpretazzjoni statistika

Mill-perspettiva statistika, β hija kwantità numerika li tirrelata żewġ sistemi makroskopiċi f'ekwilibriju. Il-formulazzjoni eżatta hija kif ġej. Ikkunsidra żewġ sistemi, 1 u 2, f'kuntatt termali, b'enerġiji rispettivi E₁ u E₂. Nissuponu E₁ + E₂ = xi kostanti E. In-numru ta' mikrostati ta' kull sistema se jiġi indikat b'Ω₁ u Ω₂. Taħt is-suppożizzjonijiet tagħna Ω_i jiddependi biss fuq E_i. Nissuponu wkoll li kwalunkwe mikrostat tas-sistema 1 konsistenti ma' E₁ jista' jeżisti flimkien ma' kwalunkwe mikrostat tas-sistema 2 konsistenti ma' E₂. Għalhekk, in-numru ta' mikrostati għas-sistema kkombinata huwa

$\Omega =\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E-E_{1}).,$

Se niddeduċu β mill-suppożizzjoni fundamentali tal-mekkanika statistika:

Meta s-sistema kkombinata tilħaq l-ekwilibriju, in-numru Ω jiġi massimizzat.

(Fi kliem ieħor, is-sistema naturalment tfittex in-numru massimu ta' mikrostati.) Għalhekk, f'ekwilibriju,

${\frac {d}{dE_{1}}}\Omega =\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})+\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})\cdot {\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=0.$

Iżda E₁ + E₂ = E jimplika

${\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=-1.$

Għalhekk

$\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})-\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})=0$

jiġifieri

${\frac {d}{dE_{1}}}\ln \Omega _{1}={\frac {d}{dE_{2}}}\ln \Omega _{2}\quad {\mbox{f'ekwilibriju.}}$

Ir-relazzjoni ta' hawn fuq timmotiva definizzjoni ta' β:

$\beta ={\frac {d\ln \Omega }{dE}}.$

Konnessjoni tal-perspettiva statistika mal-perspettiva termodinamika

Meta żewġ sistemi jkunu f'ekwilibriju, ikollhom l-istess temperatura termodinamika T. Għalhekk b'mod intuwittiv, wieħed jistenna li β (kif definita permezz tal-mikrostati) tkun relatata ma' T b'xi mod. Din il-konnessjoni hija pprovduta mis-suppożizzjoni fundamentali ta' Boltzmann miktuba bħala

$S=k_{\rm {B}}\ln \Omega ,$

fejn k_B hija l-kostanti ta' Boltzmann, S hija l-entropija termodinamika klassika, u Ω huwa n-numru ta' mikrostati. Għalhekk

$d\ln \Omega ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}dS.$

Meta tissostitwixxi fid-definizzjoni ta' β mid-definizzjoni statistika ta' hawn fuq tagħti

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}{\frac {dS}{dE}}.$

Meta tqabbel mal-formula termodinamika

${\frac {dS}{dE}}={\frac {1}{T}},$

għandna

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}={\frac {1}{\tau }}$

fejn $\tau$ tissejjaħ it-temperatura fundamentali tas-sistema, u għandha unitajiet ta' enerġija.

Storja

Il-beta termodinamika oriġinarjament ġiet introdotta fl-1971 (bħala Kältefunktion "funzjoni tal-kesħa") minn Ingo Müller, wieħed mill-proponenti tal-iskola tal-ħsieb tat-termodinamika razzjonali, ibbażata fuq proposti preċedenti għal funzjoni ta' "temperatura reċiproka".

Ara wkoll

Distribuzzjoni ta' Boltzmann

Ensemble kanoniku

Mudell ta' Ising