Trasformata ta' Fourier

Minn Wikipedija, l-enċiklopedija l-ħielsa
Aqbeż lejn: navigazzjoni, fittex

It-trasformata ta' Fourier hi waħda mit-trasformati integrali l-iżjed importanti fil-matematika, b'applikazzjonijiet bla għadd fix-xjenzi, (in partikulari fil-fiżika, akustika, ottika, kristallografija), u fil-matematika stess (analisi, teorija ta' probabbiltà, statistika, teorija tan-numri, ġometrija). Fit-teorija tas-sinjali, it-trasformata ta' Fourier ninterpretawha bħala rappreżentazzjoni ta' sinjal f'termini ta' frekwenzi u ampjezzi relattivi. Eżempju utli li jista' jgħin biex nifhmu aħjar dan il-kunċett hu dak tal-mużika: permezz tat-trasformata ta' Fourier nistgħu nifirdu l-musika li nisimgħu (is-sinjal prominenti) f'mewġiet separati reżonanti magħmulin mill-istrumenti differenti, jiġifieri l-ħoss (bill-frekwenzi u l-ampjezzi relattivi) tat-tanbur, tal-kuntrabaxx, tal-kitarra, eċċ.

It-trasformata ta' Fourier żviluppaha il-matematiku Franċiż Jean Baptiste Joseph Fourier fl-1822, fit-trattat tiegħu Théorie analytique de la chaleur.

Definizzjoni[editja]

Definizzjoni: Trasformata ta' Fourier

Għal u \in L^1(\R)\!, niddefinixxu t-trasformata ta' Fourier tal-funzjoni u\! hekk:

\mathcal{F}\{u\}(\omega) = \hat{u}(\omega) := {{1}\over{\sqrt{2\pi}}} \int_{\R} e^{-{\rm i}\omega t}u(t)\,dt\qquad\forall\omega\in\R\!

Nuru l-operazzjoni bl-ittra F kalligrafika, jiġifieri:

\mathcal{F}: u\to\hat{u}\!

Nistgħu nestendu din id-definizzjoni ukoll għall-funzjonijiet u\in L^1(\R^n)\!:

Definizzjoni: Trasformata ta' Fourier

Għal u \in L^1(\R^n)\! niddefinixxu t-trasformata ta' Fourier tal-funzjoni u\! hekk:

\mathcal{F}\{u\}(\boldsymbol{\omega}) = \hat{u} (\boldsymbol{\omega}) := {{1}\over{\sqrt{2\pi}^n}} \int_{\R^n} e^{-{\rm i}\boldsymbol{\omega}\cdot \mathbf{t}}u(\mathbf{t})\,d\mathbf{t}\qquad\forall\boldsymbol{\omega}\in\R^n\!

fejn \boldsymbol{\omega}\cdot \mathbf{t}\! jirrappreżenta l-prodotti skalari.

Iżjed il-quddiem naraw it-tifsira tal-fattur {{1}\over{\sqrt{2\pi}^n}}\!.

Eżempji[editja]


Jekk u(t) = \chi_{[-1,+1]}(t)\!, jiġifieri l-funzjoni karatteristika ta' wisa' tnejn, għandna:

\hat u (\omega) = {{1}\over{\sqrt{2\pi}}} \int_{\R} e^{-i\omega t}\chi_{[-1,+1]}(t)\,dt = {{1}\over{\sqrt{2\pi}}} \int_{-1}^{+1}e^{-{\rm i}\omega t}\,dt
={{1}\over{\sqrt{2\pi}}} {\left [{{e^{-{\rm i}\omega t}}\over{-{\rm i}\omega}} \right ]}_{-1}^{+1} = {{1}\over{\sqrt{2\pi}}} {{e^{{\rm i}\omega}-e^{-{\rm i}\omega}}\over{{\rm i}\omega} }= \sqrt{{{2}\over{\pi}}} {{\sin\omega}\over{\omega}}\!

Jekk u(t)={{1}\over{1+t^2}}\!, għandna:

\hat u (\omega) = {{1}\over{\sqrt{2\pi}}} \int_{\R} e^{-{\rm i}\omega t}u(t)\,dt = {{1}\over{\sqrt{2\pi}}} \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} e^{-{\rm i}\omega t}u(t)\,dt

Issa napplikaw il-prinċipju tal-prolungament analitiku u il-lemma ta' Jordan u niksbu:

\lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} e^{-{\rm i}\omega t}u(t)\,dt = \begin{cases} \pi e^\omega & \omega < 0 \\ \pi e^{-\omega} & \omega > 0 \end{cases}

Meta nagħmlu t-tnejn flimkien niksbu:

\hat u (\omega) = {{1}\over{\sqrt{2\pi}}} \int_{\R} {{e^{-{\rm i}\omega t}}\over{1+t^2}}\,dt = \sqrt{{\pi}\over{2}} e^{-|\omega|}\!

Proprijetajiet formali[editja]

Mill-linjarità ta' l-integral toħroġ immedjatament il-linjarità tat-trasformata ta' Fourier, espliċitament:

\mathcal{F}(\alpha f + \beta g) = \alpha \mathcal{F}(f) + \beta \mathcal{F}(g)

għal kull f, g \in L^1(\mathbb{R}) u \alpha , \beta \in \mathbb{C}.

Mid-definizzjoni isegwi immedjatament li traslazzjoni ta' funzjoni tirriżulta f'moltiplikazzjoni tat-trasformata b'esponenzjali, u vice versa:

Ħalli f \in L^1(\mathbb{R}) u \alpha \in \mathbb{C}.

Jekk g(t) = f(t - \alpha), imbagħad

\hat{g}(\omega) = \hat{f}(\omega)e^{-{\rm i}\alpha\omega}

u jekk g(t) = f(t)e^{{\rm i}\alpha t}, imbagħad

\hat{g}(\omega) = \hat{f}(\omega - \alpha).

Hemm simmetriji oħra, pereżempju: jekk g(t) = f(-t), imbagħad \hat{g}(\omega) = \hat{f}(-\omega), u jekk g(t) = f(-t)^*, fejn l-asterisk jiddenota il-konjugat kompless, imbagħad \hat{g}(\omega) = \hat{f}(\omega)^*. In partikulari, jekk f hi reali u żewġija, imbagħad \hat{f} hi reali u żewġija; jekk minflok f hi reali u farrada, imbagħad \hat{f} hi immaġinarja u farrada.

B'bidla ta' varjabbli sempliċi niksbu li jekk g(t) = f(t/\lambda) b' \lambda \in\mathbb{R}, imbagħad \hat{g}(\omega) = \lambda \hat{f}(\lambda \omega).

Proprijetà importanti hi li t-trasformata ta' konvoluzzjoni (denotata b'^*) hi sempliċement il-prodott tat-trasformati. Jekk biex nissemplifikaw in-notazzjoni nużaw l-stess normalizzazzjoni tat-trasformata ta' Fourier anki għall-konvoluzzjoni, jiġifieri għal f,g \in L^1(\mathbb{R}),

(f*g)(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t-s) g(s) \mathrm{d}s,

imbagħad ikollna

\widehat{f*g} = \hat{f} \hat{g}.

Nistgħu nipprovaw din il-proprijetà billi napplikaw it-Teorema ta' Fubini.

Bl-integrazzjoni bill-parti nistgħu nipprovaw li jekk g(t) = -{\rm i}tf(t) u f,g \in L^1(\mathbb{R}), imbagħad \hat{f} hi differenzjabbli u d-derivata tingħata hekk

\hat{f}'(\omega) = \hat{g}(\omega).

Jekk vice versa f \in L^1(\mathbb{R}) hi differenzjabbli u d-derivata minn naħa tagħha hi assolutament integrabbli, f' \in L^1(\mathbb{R}), imbagħad it-trasformata tad-derivata hi \widehat{f'} (\omega) = i\omega \hat{f}(\omega). Din il-proprijetà tippermettilna nsibu s-soluzzjonijiet ta' xi ekwazzjonijiet differenzjali, billi nittrasformawhom f'ekwazzjonijiet alġebrin.

Teorema Riemann-Lebesgue[editja]

Teorema: Teorema Riemann-Lebesgue

Ħalli u \in L^1(\R^n)\!. Jekk \hat u = \mathcal{F}\{u\}, imbagħad:

  1. \hat u \in C^0(\R^n)\cap L^\infty (\R^n)\!
  2. {\left\| \hat u \right\|}_{L^\infty(\R^n)} \le {\left\| u \right\|}_{L^1(\R^n)}\!
  3. \lim_{\|\boldsymbol{\xi}\|\to\infty} \hat u (\boldsymbol{\xi}) = 0\!

Ara wkoll[editja]

Bibljografija[editja]

  • Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, vol. II: Fourier Analysis, Self-Adjointness. ISBN 0-12-585002-6