Ekwazzjonijiet Differenzjali

Minn Wikipedija, l-enċiklopedija ħielsa.

Fl-analisi matematika, ekwazzjoni differenzjali hi relazzjoni bejn funzjoni $u (x)$ mhux magħrufa u xi derivati tagħha.

Fil-każ li $u$ tkun funzjoni

$u:I\to \R$

definita f’ intervall $I\!$ ta’ $\mathbb R$ ngħidu li hi ekwazzjoni differenzjali ordinarja (imqassra ODE, akronimu ta’ ordinary differential equation). Eżempju ta’ ODE hi r-relazzjoni

$u''(x)=u(x)+u'(x)\!$ .

Il-forma l-iżjed ġenerali ta’ ekwazzjoni differenzjali ordinarja (invarjabbli) ta’ ordni $n$ hija:

$f(x, u(x), u'(x), ..., u^{(n)}(x)) = 0 \!$ .

Insejħu ordni jew grad ta’ l-ekwazzjoni, il-grad ta’ l-ogħla derivata preżenti; per eżempju:

$u''(x)=f(x,u(x),u'(x))\!$

hi ekwazzjoni differenzjali ordinarja (il-funzjoni mhux magħrufa $u$ hi funzjoni ta’ $x$ biss) tat-tieni ordni.

Funzjoni $u$ (derivabbli għal ċertu numru ta’ drabi) li tissodisfa r-relazzjoni definita mill-ekwazzjoni ngħidulha soluzzjoni ta’ l-ekwazzjoni differenzjali.

Ġeneralment, hu diffiċli jekk mhux impossibbli li nsibu espressjoni analitika ta’ funzjoni li tissodisfa ekwazzjoni differenzjali, jiġifieri nsibu soluzzjoni espliċita,. Ma dan kollu, kważi dejjem possibbli nistudjaw l-imġieba tagħha kwalitativa jew ninqdew b’ computer biex insibu approssimazzjoni permezz ta’ metodi numeriċi.

Matul is-sekli, mindu Leibniz u Newton ifformalizzaw il-kalkulu infiniteżmali, instabu xi każi fejn hu possibbli nsibu l-espressjoni analitika tas-soluzzjoni. Xi drabi nistgħu insibu soluzzjoni espliċita, jiġifieri $y=f(x)\;$ , u xi drabi oħra impliċita, jew fil-forma

$f(y)=g(x),\;\!$

li tista’ tinbidel f’forma espliċita biss jekk $f$ hi invertibbli, u f’dal-każ ikollna : $y=f^{-1}\left( g(x) \right ).$

Werrej

1 Motivazzjoni
2 Problema ta’ Cauchy
3 L-ekwazzjoni polinomjali assoċjata
4 Ekwazzjonijiet differenziali bid-derivati parzjali
5 Bibljografija
6 Ħoloq esterni

[editja] Motivazzjoni

L-ekwazzjonijiet differenziali huma l-iżjed strumenti importanti li tagħtina l-analisi matematika għall-istudju ta’ mudelli matematiċi fl-iżjed setturi tax-xjenza mferrxin, mill-fiżika għall-bijoloġija għall-ekonomija. Eżempju elementari ħafna ta’ kif l-ekwazzjonijiet differenziali jistgħu joħorġu naturalment mill-istudju ta’ sistemi huwa dan li ġej: Nissoponu li għandna popolazzjoni ta’ batteri komposta fil-bidu $\left( t=0 \right) \;$ minn $P_0\;$ individwi u nsejħu $P(t)\;$ il-popolazzjoni fil-ħin t. Wieħed jistenna li, fil-medja, f’kull waqt $t\;$ , wara ħin relativament żgħir $d t$ titwieled kwantità ta’ individwi ġodda proporzjonali għall-popolazzjoni u għall-ħin li għadda $d t$ , jiġifieri daqs $n P(t)\, dt$ fejn $n$ hu numru (li nissoponu kostanti) li jiddiskrivi r-rata tat-twelid; analogament wieħed jistenna li jmutu $m P(t)\, dt$ individwi fl-istess intervall ta’ ħin, fejn $m\;$ hu r-rata (kostanti) tal-mewt. Il-popolazzjoni fil-ħin $t + d t$ , għalhekk, tingħata mill-popolazzjoni fil-ħin $t\;$ li nżidu magħha l-popolazzjoni li għadha kif twieldet u nnaqsu dik li mietet, jiġifieri

$P(t+dt)=P(t)+nP(t)dt-mP(t)dt=P(t)+(n-m)P(t)dt. \!$

Għalhekk għandna

$\frac {P(t+dt)-P(t)} {dt}=(n-m)P(t).$

Nistgħu nagħrfu f’din l-espressjoni ir-rapport inkrementali tal-funzjoni $P (t)$ ; jekk $d t$ hu żgħir ħafna li nistġhu nissostitwixxuh bid-derivata $P'(t)$ u niktbu:

$P'(t)=(n-m)P(t). \!$

Din hi ekwazzjoni differenzjali ordinarja ta’ l-ewwel ordni. Ir-riżolużzjoni ta’ din l-ekwazzjoni tfisser is-sejba ta' kif l-imġieba tal-popolazzjoni tinbidel mal-ħin, jiġifieri l-funzjoni $P(t)\;$ li tissodisfa.

F’dal-każ faċli li nsibu s-soluzzjoni, li hi l-funzjoni:

$P(t)=P_0\, e^{(n-m)t}, \!$

funzjoni esponenzjali li tiżdied mal-ħin (b’mod "esplużiv") jekk $n > m$ , jiġifieri jekk in-natalità hi ogħla mill-mortalità, u tonqos biex tispiċċa fix-xejn malajr jekk $m > n$ .

Il-mudell li eżaminajna, però, hu semplifikat ħafna; in ġenerali, ir-rata tal-kobor mhijiex sempliċement proporzjonali għall-popolazzjoni preżenti b’kostanti tal-proporzionalità fissa: nistennew, per eżempju, li r-riżorsi disposti jkunu limitati u mhux biżżejjed biex jissodisfaw popolazzjoni arbitrarjament kbira. Nistgħu nikkonsidraw, minflok, sitwazzjonijiet iżjed komplikati bħal dawk fejn hemm iżjed popolazzjonijiet li interaġixxu bejniethom, bħal per eżempju predi u predaturi fil-mudell ta’ Volterra - Lotka.

Hekk hu importanti li jkollna metodi matematiċi biex nirriżolvu ekwazzjonijiet u sistemi ta’ ekwazzjonijiet differenzjali b’mod analitiku u niksbu soluzzjoni eżatta. Imma billi dan mhux dejjem possibbli, jinħtieġu wkoll metodi biex nirriżolvuhom numerikament, jiġifieri napprossimaw is-soluzzjoni bl-idejn jew permezz ta’ kalkulatur fl-inħawi ta’ punt wieħed jew iżjed. Mill-banda l-oħra, jidher utli wkoll l-istudju kwalitativ ta’ l-istruttura ġometrika tas-soluzzjonijiet meta nvarjaw id-dati inizjali jew il-parametri esterni, fejn sikwit jiġri li s-soluzzjoni ta’ l-ekwazzjoni differenzjali għandha klassi sħieħa ta’ funzjonijiet, li jiddipendu mill-parametri msejħin ġeneralment kundizjonijiet inizjali jew tax-xifer.

[editja] Problema ta’ Cauchy

Il-problema ta’ Cauchy assoċjat ma' ekwazzjoni differenzjali waħda jew iżjed jikkonsisti fir-riżoluzzjoni tas-sistema ffurmat mis-soluzzjoni ta' l-ekwazzjonijiet u tal-kundizzjoni inizjali. Bil-formuli:

$\begin{cases}f(x,y,y',y'', \dots , y^n)=0\ \ \rm{in}\ \ (a,b)\\ y(a)=y_0 \\ \dots \\ y^{n-1}(a)=y_{n-1} \end{cases}$

[editja] L-ekwazzjoni polinomjali assoċjata

L-ekwazzjoni polinomjali assoċjata ma’ ekwazzjoni differenzjali linjari hi l-ekwazzjoni li tinkiseb meta nbiddlu l-funzjoni $y (x)$ , mhux magħrufa, fil-varjabbli awżilljarja $λ$ b’poter rispettivament daqs l-ordni tad-derivazzjoni ta’ $y$ waqt li nżommu l-istess koeffiċjenti.

Per eżempju, jekk ningħtaw l-ekwazzjoni differenzjali $y''-5y'+6y=0\;$ , nistgħu noħolqu ekwazzjoni fil-varjabbli awżilljarja $λ$ skond ir-regola indikata fuq u niksbu $\lambda^2-5\lambda+6=0\;$ .

[editja] Ekwazzjonijiet differenziali bid-derivati parzjali

Ekwazzjoni differenzjali bid-derivati parzjali (imqassra PDE, mill-inizjali tal-kliem Ingliżi partial differential equation) hi ekwazzjoni li tinvolvi d-derivati parzjali ta’ funzjoni mhux magħrufa.

Fil-każ li u tkun funzjoni ta’ $k$ varjabbli reali indipendenti $(x_1,\ldots,x_k)$ , jiġifieri $u=u(x_1,\ldots,x_k)\!$ , ekwazzjoni differenzjali bid-derivati parzjali ta’ ordni $n$ , jkollha l-forma ġenerali:

$f \left ( x_1, \ldots , x_k , u , \ldots, {{\partial u}\over{\partial x_1^n}}, \ldots, {{\partial u}\over{\partial x_k^n}} \right ) = 0 ,$

jekk $f$ tiddipendi espliċitament minn mill-inqas waħda mid-derivati parzjali ta’ ordni $n$ ta’ $u$ .

L-idea hi li niddiskrivu l-funzjoni indirettament permezz ta’ relazzjoni bejnha u d-derivati parzjali tagħha, minflok niktbu l-funzjoni espliċitamenti. Ir-relazzjoni trid tkun lokali: trid tgħaqqad il-funzjoni mad-derivati tagħha fl-istess punt. Soluzzjoni ta’ l-ekwazzjoni hi funzjoni li tissodisfa r-relazzjoni.