Diżugwaljanza ta' Čebyšëv

Minn Wikipedija, l-enċiklopedija l-ħielsa
Aqbeż lejn: navigazzjoni, fittex

Id-diżugwaljanza ta' Čebyšëv [1] jew teorema ta' Čebyšëv hi diżugwaljanza użata l-iżjed fit-teorija tal-probabbiltà.

Id-diżugwaljanza kienet ippubblikata għall-ewwel darba fl-1853 minn Irenée-Jules Bienaymé u riskoperta indipendentement minn Pafnutij Čebyšëv xi ftit snin wara (għalhekk jgħidulha wkoll id-diżugwaljanza ta' Bienaymé-Čebyšëv ).

Id-diżugwaljanza ta' Čebyšëv tgħid li jekk il-varjabbli każwali (v.k.) \ X għandha medja (aritmetika) \  \mu u varjanza \ \sigma^2 u \ \lambda hu numru reali pożittiv, imbagħad il-probabbiltà li \ X tieħu valur bejn \ \mu-\lambda\sigma u \ \mu+\lambda\sigma hi ikbar minn \ 1-1/\lambda^2:

 \operatorname{P}(\mu - \lambda \sigma \le X \le \mu + \lambda \sigma) \ge \ 1 - \frac{1}{\lambda^2}.

F'termini oħra din id-diżugwaljanza tiżgura li, indipendentement mid-distribuzzjoni tal-v.k., l-iżjed li tista' tkun il-probabbiltà li din tieħu valuri 'l bogħod mill-medja iżjed minn \ \lambda darbiet id-devjazzjoni standard, hi \ 1/\lambda^2:

\operatorname{P}\left(|X-\mu| \ge \lambda\sigma\right)\le \frac{1}{\lambda^2}.

Pereżempju jekk nieħdu \ \lambda = \sqrt{2} naraw li mill-inqas nofs il-valuri huma fl-intervall \ ( \mu-\sqrt{2}\sigma , \mu+\sqrt{2}\sigma) . Ninnotaw li fil-każ \ \lambda >1 biss ikollna informazzjoni utli.

Tipikament, id-diżugwaljanza tagħtina limiti wiesa'. Imma in ġenerali (jiġifieri għal v.k. b'distribuzzjoni arbitrarja) ma nistgħux intejbuha. Pereżempju, għal kull \ \lambda >1, dan l-eżempju (fejn \ \sigma=1/\lambda) jilħaq il-limiti eżattament.

\begin{align}  \operatorname{P}(X=-1) &= 1/(2\lambda ^2), \\  \operatorname{P}(X=0) &= 1 - 1/\lambda ^2, \\ 
\operatorname{P}(X=1) &= 1/(2\lambda^2). \end{align}

Għal din id-distribużżjoni,

\operatorname{P}\left(\left|X-\mu\right| \ge \lambda \sigma\right) = 1/\lambda ^2.\,

Għandna ugwaljanza għal kull distribuzzjoni li hi trasformata linjari ta' din u diżugwaljanza għal kull waħda li mhijiex.

Fl-ambitu tal-istatistika deskrittiva id-diżugwaljanza tgħid li mill-inqas \ 100(1-1/\lambda^2) fil-mija tal-valuri huma bejn \ \mu-\lambda\sigma u \ \mu+\lambda\sigma. Minna nistgħu niddeduċu li indipendentement minn kif il-valuri huma distribwiti

  • mill-inqas 75% tal-valuri huma bejn \ \mu-2\sigma u \ \mu+2\sigma,
  • mill-inqas 88% tal-valuri huma bejn \ \mu-3\sigma u \ \mu+3\sigma,
  • mill-inqas 93% tal-valuri huma bejn \ \mu-4\sigma u \ \mu+4\sigma.
Prova
Għal kull ġrajja \ A, ħalli \ I_A tkun il-v.k. indikatriċi ta' \ A, jiġifieri \ I_A tiswa 1 jekk \ A tiġri u 0 jekk ma' tiġriex. Imbagħad
\begin{align}\operatorname{P}(|X-\mu| \geq k\sigma) &= \operatorname{E}(I_{|X-\mu| \geq k\sigma})
= \operatorname{E}(I_{[(X-\mu)/(k\sigma)]^2 \geq 1})\\
&\leq \operatorname{E}\left( \left( {X-\mu \over k\sigma} \right)^2 \right)
= {1 \over k^2} {\operatorname{E}((X-\mu)^2) \over \sigma^2} = {1 \over k^2}.\end{align}

Din il-prova turi għaliex il-limiti jistgħu ikunu wisgħin: in-numbru 1 hu sostitwit b' \ [(X-\mu)/(k\sigma)]^2 meta dan hu ikbar minn 1. Imma f'xi każi hu ħafna ikbar minn 1.

Noti[editja]

  1. ^ Billi hemm ħafna verżjonijiet tat-transliterazzjoni mir-Russu ta' dan l-isem (Чебышёв): Chebychev, Chebyshov, Tchebycheff jew Tschebyscheff, qegħdin nużaw it-transliterazzjoni xjentifika (International Scholarly System).