Diżugwaljanza ta' Čebyšëv

Id-diżugwaljanza ta' Čebyšëv jew teorema ta' Čebyšëv hi diżugwaljanza użata l-iżjed fit-teorija tal-probabbiltà.

Id-diżugwaljanza kienet ippubblikata għall-ewwel darba fl-1853 minn Irenée-Jules Bienaymé u riskoperta indipendentement minn Pafnutij Čebyšëv xi ftit snin wara (għalhekk jgħidulha wkoll id-diżugwaljanza ta' Bienaymé-Čebyšëv ).

Id-diżugwaljanza ta' Čebyšëv tgħid li jekk il-varjabbli każwali (v.k.) $\ X$ għanda medja (aritmetika) $\ \mu$ u varjanza $\ \sigma^2$ u $\ \lambda$ hu numru reali pożittiv, imbagħad il-probabbiltà li $\ X$ tieħu valur bejn $\ \mu-\lambda\sigma$ u $\ \mu+\lambda\sigma$ hi ikbar minn $\ 1-1/\lambda^2$:

$\operatorname{P}(\mu - \lambda \sigma \le X \le \mu + \lambda \sigma) \ge \ 1 - \frac{1}{\lambda^2}.$

F'termini oħra din id-diżugwaljanza tiżgura li, indipendentement mid-distribuzzjoni tal-v.k., l-iżjed li tista' tkun il-probabbiltà li din tieħu valuri 'l bogħod mill-medja iżjed minn $\ \lambda$ darbiet id-devjazzjoni standard, hi $\ 1/\lambda^2$:

$\operatorname{P}\left(|X-\mu| \ge \lambda\sigma\right)\le \frac{1}{\lambda^2}.$

Pereżempju jekk nieħdu $\ \lambda = \sqrt{2}$ naraw li mill-inqas nofs il-valuri huma fl-intervall $\ ( \mu-\sqrt{2}\sigma , \mu+\sqrt{2}\sigma)$. Ninnotaw li fil-każ $\ \lambda >1$ biss ikollna informazzjoni utli.

Tipikament, id-diżugwaljanza tagħtina limiti wiesa'. Imma in ġenerali (jiġifieri għal v.k. b'distribuzzjoni arbitrarja) ma nistgħux intejbuha. Pereżempju, għal kull $\ \lambda >1$, dan l-eżempju (fejn $\ \sigma=1/\lambda$) jilħaq il-limiti eżattament.

$\begin{align} \operatorname{P}(X=-1) &= 1/(2\lambda ^2), \\ \operatorname{P}(X=0) &= 1 - 1/\lambda ^2, \\ \operatorname{P}(X=1) &= 1/(2\lambda^2). \end{align}$

Għal din id-distribużżjoni,

$\operatorname{P}\left(\left|X-\mu\right| \ge \lambda \sigma\right) = 1/\lambda ^2.\,$

Għandna ugwaljanza għal kull distribuzzjoni li hi trasformata linjari ta' din u diżugwaljanza għal kull waħda li mhijiex.

Fl-ambitu tal-istatistika deskrittiva id-diżugwaljanza tgħid li mill-inqas $\ 100(1-1/\lambda^2)$ fil-mija tal-valuri huma bejn $\ \mu-\lambda\sigma$ u $\ \mu+\lambda\sigma$. Minna nistgħu niddeduċu li indipendentement minn kif il-valuri huma distribwiti

• mill-inqas 75% tal-valuri huma bejn $\ \mu-2\sigma$ u $\ \mu+2\sigma,$
• mill-inqas 88% tal-valuri huma bejn $\ \mu-3\sigma$ u $\ \mu+3\sigma,$
• mill-inqas 93% tal-valuri huma bejn $\ \mu-4\sigma$ u $\ \mu+4\sigma.$

Prova

Għal kull ġrajja $\ A$, ħalli $\ I_A$ tkun il-v.k. indikatriċi ta' $\ A$, jiġifieri $\ I_A$ tiswa 1 jekk $\ A$ tiġri u 0 jekk ma' tiġriex. Imbagħad

$\begin{align}\operatorname{P}(|X-\mu| \geq k\sigma) &= \operatorname{E}(I_{|X-\mu| \geq k\sigma}) = \operatorname{E}(I_{[(X-\mu)/(k\sigma)]^2 \geq 1})\\ &\leq \operatorname{E}\left( \left( {X-\mu \over k\sigma} \right)^2 \right) = {1 \over k^2} {\operatorname{E}((X-\mu)^2) \over \sigma^2} = {1 \over k^2}.\end{align}$

Din il-prova turi għaliex il-limiti jistgħu ikunu wisgħin: in-numbru 1 hu sostitwit b' $\ [(X-\mu)/(k\sigma)]^2$ meta dan hu ikbar minn 1. Imma f'xi każi hu ħafna ikbar minn 1.

Noti

Portal Matematika